Sea V un R"espacio vectorial, se llama form

FORMAS BILINEALES Y FORMAS CUADRÁTICAS.
Primeras de…niciones y ejemplos.
Def.: Sea V un R-espacio vectorial, se llama forma bilineal a una aplicación
f : V V ! R que cumple:
i) f (x + x0 ; y) = f (x; y) + f (x0 ; y)
ii) f (x; y + y 0 ) = f (x; y) + f (x; y 0 )
iii) f ( x; y) = f (x; y)
iv) f (x; y) = f (x; y)
para todo x; x0 ; y; y 0 2 V y 2 R:
Si además f (x; y) = f (y; x) rx; y 2 V se llama forma bilineal simétrica.
Ejemplos:
1) La aplicación producto escalar usual h; i : Rn Rn ! R dada por
n
X
h!
x;!
yi=
xi yi es una forma bilineal donde xi ; yi son las componentes de
i=1
los vectores !
x; !
y 2 Rn :
2)La aplicación T : Rn+1 Rn+1 ! R dada por
n
X
T (!
x;!
y)=
xi yi xn+1 yn+1
i=1
es bilineal y se llama métrica de Lorentz-Minkowski.
Def.: Sea V un R-espacio vectorial y sea f : V V ! R una forma bilineal.
Se llama forma cuadrática asociada a f a la aplicación w : V ! R dada
por w(!
x ) = f (!
x;!
x ) y cumple:
!
i) w( x ) = 2 w(!
x)
!
ii) w( 0 ) = 0
iii) w(!
x +!
y ) = w(!
x ) + w(!
y ) + f (!
x;!
y ) + f (!
y ;!
x)
!
!
ry; x 2V
Ejemplos:
1) La aplicación w : R4 ! R dada por:
w((x; y; z; t)) = 2x2 + 2xt 6yz + 4z 2 + 4tz + t2 es una forma cuadrática.
3
2)La aplicación w : R0
! R dada 1
por:
0
1
1 4 2
x
w((x; y; z)) = (x y z) @ 4 3 3 A @ y A = x2 +3y 2 +7z 2 +8xy+4xz+6yz
2 3 7
z
es una forma cuadrática.
Primeros resultados.
1
Proposición:Sea w : V ! R una forma cuadrática. Entonces, siempre
existe una única matriz cuadrada y simétrica A 2 Mn (R) tal que:
w(!
x) =!
x t A!
x para todo !
x 2 V: (Ver ejemplo 2 anterior).
Además la aplicación bilineal asociada f viene dada por:
f (!
x;!
y)=!
x t A!
y:
Def.: A la expresión w(!
x) =!
x t A!
x se le llama expresión matricial de la
n X
n
X
forma cuadrática y a w(!
x) =
aij xi xj expresión polinómica de w,
i=1 j=1
donde aij son los elementos de la matriz A 2 Mn (R) , xk las componentes
del vector !
x y w : Rn ! R .
Proposición: Toda forma cuadrática real w : Rn ! R dada por
w(!
x) =!
x t A!
x se puede reducir a una expresión diagonal !
yt !
y
siendo = diag( 1 ; 2 ; :::; n ) la matriz diagonal formada por los
valores propios de A , esto es:
n
X
2
w(!
x) =!
x t A!
x =!
yt !
y =
( = P 1 AP con P regular)
i yi
i=1
A esta expresión se le llama expresión canónica (o ecuación reducida)
de la forma cuadrática.
Clasi…cación de formas cuadráticas reales.
Def.: Sea V un R-espacio vectorial y w : V ! R una forma cuadrática.
w puede ser:
!
1. De…nida positiva si w(x) > 0 rx 2 V; x 6= 0
!
2. De…nida negativa si w(x) < 0 rx 2 V; x 6= 0
3. Semide…nida positiva si w(x) 0 rx 2 V
4. Semide…nida negativa si w(x) 0 rx 2 V
5. Inde…nida cuando el signo de la forma cuadrática es variable.
Def.: Sea V un R-espacio vectorial y w : V ! R una forma cuadrática,
con matriz asociada A 2 Mn (R):Se llama signatura de w ( sig(w) ) al
par (p; q) donde p es el número de valores propios positivos y q el de
negativos de la matriz A:
Se cumple que rango(A) = p + q:
Proposición(Método de los valores propios):
Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n y w : V ! R una forma
cuadrática con matriz asociada A 2 Mn (R):Entonces:
1. w es de…nida positiva si, y solo si, sig(w) = (n; 0):
2. w es de…nida negativa si, y solo si, sig(w) = (0; n):
3. w es semide…nida positiva si, y solo si, sig(w) = (r; 0); r < n:
2
4. w es semide…nida negativa si, y solo si, sig(w) = (0; r); r < n:
5. En cualquier otro caso inde…nida.
Def.:Dada una matriz A 2 Mn (R) , se llaman menores principales a:
a11 a12 a13
a11 a12
A1 = a11 , A2 =
, A3 = a21 a22 a23 ,..., An = jAj
a21 a22
a31 a32 a33
Proposición(Método de los menores principales):
Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n y w : V ! R una forma
cuadrática con matriz asociada A 2 Mn (R):Entonces:
1. w es de…nida positiva si, y solo si, A1 > 0; A2 > 0; :::; An > 0:
2. w es de…nida negativa si, y solo si, A1 < 0; A2 > 0; :::; ( 1)n An > 0:
3. A1 > 0; A2 > 0; :::; An = 0 ) :w es semide…nida positiva
4. A1 < 0; A2 > 0; :::; ( 1)n 1 An 1 > 0; An = 0 ) w es semidef. negativa:
3