Construcción de un Circuito Controlador de Movimiento del Motor

Construcción de un Circuito Controlador de Movimiento del Motor de un
Transductor Sectorial Mecánico Utilizado en Ecografía, mediante Control PID
Manuel Baquerizo A.(1), Miguel Yapur A.(2)
Facultad de Ingeniería en Electricidad y Computación (1)
Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL)
Campus Gustavo Galindo, Km 30.5 vía Perimetral
Apartado 09-01-5863. Guayaquil-Ecuador
[email protected] (1)
(2)
Profesor FIEC-ESPOL, [email protected]
Resumen
El proyecto busca controlar la posición del cristal piezoeléctrico de un transductor sectorial mecánico. Se propone
un lazo de control con retroalimentación negativa mediante un controlador PID. Se utiliza como señal de referencia
para la posición del cristal una onda triangular que indica el tipo de movimiento a realizar. Se elabora un modelo
matemático para el motor del transductor y los parámetros del modelo son calculados a partir de su respuesta a una
onda cuadrada. A continuación se determina una función de transferencia para el controlador PID apropiada al
modelo matemático desarrollado usando la herramienta SISOTOOL de MATLAB. Mediante la ubicación de ceros en el
plano S se minimiza el sobrenivel porcentual y tiempo de asentamiento de la respuesta del sistema a la señal escalón.
Luego se implementa el circuito controlador con OPAMPS, calculando los valores para resistores y capacitores
usados en los distintos bloques del controlador PID con MATLAB.
Palabras Claves: Electrónica, Modelamiento Matemático, Control PID, SISOTOOL, MATLAB.
Abstract
The project aims to control the position of the piezoelectric crystal of a mechanical sector transducer. A control loop
with negative feedback is proposed by means of a PID controller. As a reference signal for the crystal’s position a
triangular wave is used indicating the type of movement to be performed. A mathematical model for the transducer‘s
motor is developed and the model’s parameters are calculated from its response to a square wave. Then a transfer
function for the PID controller that is appropriate for the mathematical model developed is determined using
SISOTOOL from MATLAB. By placing zeros in the S-plane the percentage overshoot and settling time of the system’s
response to the step signal is minimized. Afterwards the controller circuit is implemented using OPAMPs, calculating
the values for resistors and capacitors used in the various blocks of the PID controller with MATLAB.
Keywords: Electronics, Mathematical Modeling, PID Control, SISOTOOL, MATLAB.
1. Introducción
En general los fabricantes de equipos de ecografía
y de la industria médica son celosos de sus diseños.
Los manuales de mantenimiento con información
técnica del funcionamiento de los equipos son escasos
y en nuestro medio existen muchos equipos de
ecografía que son considerados antiguos, con más de
20 años de uso. En particular se considera complicado
encontrar reemplazos de los transductores de estos
equipos. Por lo tanto, es conveniente considerar la
posibilidad de adaptar transductores de un equipo a
otro.
En un transductor sectorial mecánico como los de
los equipos usados en ecografía, la posición del cristal
piezoeléctrico es de suma importancia, pues ellos
emiten la señal ultrasónica y detectan el eco producto
de ésta. Por ello es necesario tener un control de la
posición del cristal, que se encuentra acoplado
mecánicamente a un motor que permita minimizar el
error en estado estable, y así minimizar el tiempo de
asentamiento del sistema. Con este proyecto se busca
conseguir el control de posición del transductor
sectorial mecánico de un equipo en particular: el
ecógrafo KONTRON SIGMA1.
2. Descripción del transductor sectorial
mecánico
El transductor sectorial mecánico utilizado
pertenece al equipo de ecografía KONTRON, Modelo
SIGMA1. Este transductor tiene un cristal
piezoeléctrico
que
se
encuentra
acoplado
mecánicamente a un pequeño motor DC y utiliza un
sensor de efecto de Hall para determinar la posición
del cristal. Este cristal piezoeléctrico tiene un doble
propósito, pues se usa para enviar una señal
ultrasónica y luego capturar el eco de ésta. Por lo
tanto, es necesario poder controlar de manera precisa
la posición del cristal en todo momento.
Además, el movimiento de este cristal está
restringido y solo puede moverse en un arco de 120°,
en un barrido repetitivo, recorriendo en un sentido y
luego en el otro.
Tabla 1 Voltajes Vs. Grados y Radianes
Voltaje
Grados
Radianes
-2.13
-60
-1.0472
-0.964
-30
-0.5236
-0.237
0
0
1.344
30
0.5236
2.11
60
1.0472
Las constantes del sensor de posición son:
H1=27.48º/V y H2=0.489rad/V, con estos resultados se
obtienen estos gráficos
Figura 1. Diagrama Esquemático del Transductor
Figura 3 Curvas de Posición del Sensor de Efecto
Hall
Figura 2. Vista Anterior y Posterior del
Transductor
3. Cálculo de la constante de posición
angular del sensor de efecto hall
Para que pueda funcionar el sensor de efecto Hall,
es necesario energizarlo. Este se energiza con una
fuente de +12 V para poder medir una diferencia de
voltaje entre los terminales del sensor. La Tabla 1
indica valores medidos, de diferencias de voltaje en el
sensor para distintas posiciones del cristal. Se
considera 0° cuando el cristal se encuentra en el
centro; -60° cuando el cristal se encuentra en un
extremo del arco; y 60° cuando el cristal se encuentra
en el otro extremo del arco.
Se usa un script de Matlab con comandos que
permiten generar una función lineal con los siguientes
datos, para determinar la constante del sensor, tanto
para grados como para radianes.
4. Modelo matemático del motor dc, de
excitación separada, controlado por
voltaje
El motor del transductor es un motor DC de
excitación separada controlado por voltaje. El modelo
matemático de este motor, para la posición del rotor
en función del voltaje se encuentra en cualquier texto
de teoría de Control Automático como el texto
“Sistema de Control Moderno” de Dorf y Bishop, y
está dado por la siguiente función de transferencia:
 (s)
Km

V (s) s( Js  b)(L f s  Rf )
(1)
donde Km es la constante de flujo magnético, J es
la inercia rotacional del rotor, b es el coeficiente de
amortiguamiento del rotor, Lf es la Inductancia del
circuito del rotor y Rf es la Resistencia del circuito del
rotor.
5. Modelado matemático del transductor
sectorial mecánico
En el caso del transductor se procede a despreciar
el valor de la inductancia Lf y la función de
transferencia se reduce a
 (s)
Km

V (s) s( Js  b) Rf
(2)
que es posible reescribirla como
 (s)
K
V (s)

s(Ts  1)
(3)
Para determinar el modelo matemático es necesario
encontrar el valor de K y T. Es posible encontrar estos
valores usando una entrada escalón. Si se despeja θ(s)
y se utiliza como señal de entrada una señal escalón se
tiene
K
1
 ( s) 

s(Ts  1) s
(4)
al derivar θ(s) se obtiene
K
s (s) 
s(Ts  1) .
(5)
la respuesta en el dominio del tiempo de esta dada por
d (t )  K  (1  e t / T )
dt
.
(6)
Por lo tanto, para determinar K y T se necesita
medir la amplitud de la respuesta al escalón y la
constante de tiempo T de la función exponencial de
respuesta.
Tabla 2 Valores para calcular K
Amplitud (V)
Prueba
Onda Cuadrada
1
2
3
4
5
23.2
25.6
24.4
23
25
1
2
3
4
5
T
C ( s) 
(8)
K
i
 sK p  K d s 2

s
(9)
y también como
s  z1   ( s  z 2 )
C (s)  K 
s
(10)
Por lo tanto, para diseñar del controlador PID se
necesita ubicar los ceros de la función de tal forma
que se cumplan los siguientes 2 criterios de la
respuesta del sistema al escalón: el Sobrenivel
Porcentual menor al 5% y el Tiempo de Asentamiento
de 5ms, que es 5% del valor del periodo de la señal
que será usada para como referencia para el sistema.
2T
40
40
40
48
40
La herramienta gráfica SISOTOOL, de MATLAB
tiene la capacidad de mostrar el lugar geométrico de
las raíces y, como al modificar la ganancia del
controlador, varía la respuesta al escalón.
El controlador diseñado usando genera una función
de transferencia expresada en función de ceros, polos
y la ganancia. La función de transferencia del
controlador PID
puede ser reescrita como
Tabla 3 Valores para calcular T
Tiempo(ms)
Prueba
5. Uso de SISOTOOL de MATLAB para
diseñar el controlador PID
K


C (s)   K p  i  K d s 
s


Respuesta
6.56
6.56
8.72
8.4
8.5
Figura 4 Respuesta a Onda Cuadrada del Circuito
de Prueba
72
76
72
86
72
Se realizan 5 mediciones distintas, para luego
calcular valores promedios y usar estos en el modelo
matemático. La respuesta pasa por un bloque de
ganancia de 48.46. El valor promedio de K es 0.06568
y el valor promedio de T es 0.03955. Por lo tanto el
modelo matemático del sistema es
 ( s)
0.06568

V (s) s(0.03955s  1)
(7)
Figura 5 Lugar Geométrico de la Raíz del Sistema y
Controlador
Ajustando los ceros se obtiene la siguiente función
de transferencia para el contralor PID:
s  824  (s  25.3)
C ( s )  7674.9 
s
(11)
Donde los valores de resistores y capacitores están
dados en la siguiente tabla:
Tabla 4.4 Valores de R y C para Controlador PID
Cálculo R y C para Controlador
8


1.6 x10
C ( s )   6.52 x10 6 
 7576 s 
s


(12)
Con este controlador se tiene un Sobrenivel
Porcentual de 4.91% y se tiene un tiempo de
asentamiento de 1.58 ms
Asignados
Cc
Cb
R1d
1µF
10nF
1kΩ
Calculados
R2a, Rc
R1a, Rb
R2d
4.1MΩ
1.18kΩ
1.88MΩ
Real
4.2MΩ
1.2kΩ
2MΩ
11. Resultados
La señal de referencia, ésta tiene un Vpp de 3.04 V
y un periodo de 123 ms o una frecuencia de 8.1 Hz.
Mientras que la señal del sensor tiene un Vpp de 3.10
V y tiene un periodo de 123 ms o una frecuencia de
8.1 Hz.
Figura 6 Respuesta al Escalón del Sistema y
Controlador
6. Implementación del Circuito de Control
Para implementar el circuito de control se necesita
asignar valores a los resistores y capacitores de todas
las distintas etapas del sistema de control. El circuito
controlador contiene todas las etapas que aparecen en
el análisis del lazo de control. Estas etapas son:
 Generador de Onda Triangular (Señal de
Referencia)
 Amplificador Diferencial (Señal del Sensor)
 Amplificador Sumador Inversor (Señal de
Error)
 Controlador PID
Figura 8 Señal del Sensor
Finalmente, la señal de error tiene un pico de
negativo 204 mV y un pico de positivo de 180 mV.
Utilizando la constante H1 del sensor de efecto Hall
calculada, se puede conocer el error en grados. El pico
máximo de error en grados representa 5.5°.
6.1 Implementación del Contralador PID
Figura 9 Señal de Error
Durante la prueba se intentó el uso de la
compensación de adelanto como filtro de la señal de
alta frecuencia, más el error no desapareció. También
se intentó cambiar la constante del término derivativo,
tanto incrementándola como disminuyéndola. Pero el
error siempre se mantuvo en ese rango o incluso se
incrementó. Este fue el error mínimo en esta
configuración.
Figura 7 Diagrama Esquemático de Controlador PID
12. Conclusiones
1. El circuito de control diseñado permite el control
de la posición del cristal del transductor con un error
máximo de 204 mV y no pudo ser minimizado
variando los parámetros del controlador PID. Se
considera que este error se debe tanto a la vibración
del transductor, que no se consideró durante el
desarrollo del modelo matemático del sistema, como
al uso de un modelo matemático aproximado.
2. La herramienta SISOTOOL facilitó el diseño del
controlador al mostrar en tiempo real la respuesta del
sistema al controlador y la facilidad de alterar tanto
los ceros como los polos en el plano s.
3. El software MATLAB permitió el agilitar el
cálculo de los distintos valores de resistores y
capacitores para las etapas que forman parte del
controlador PID, pues a la hora del diseño se tenían
varios grados de libertad.
14. Referencias





Dorf, R. y Bishop, R., Sistemas de Control
Moderno, Pearson Prentice Hall 10ª Ed, 2005
Ogata, K., Ingeniería de Control Moderna,
Pearson 3ª Ed, 1998
Kuo, B., Sistemas de Control Automático,
Prentice Hall 7ª Ed, 1996
Coughlin, R. y Driscoll, F., Amplificadores
Operacionales y Circuitos Integrados Lineales,
Prentice Hall 4ª Ed, 1993
Ramsden, E., Hall-Effect Sensors Theory and
Applications, Newnes 2nd Ed, 2006