83 CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN INTERVALO DE

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN
INTERVALO DE NUMEROS REALES.
Ya hemos estudiado la continuidad de una
función f en un punto c, perteneciente a su
dominio y se han establecido las condiciones
para determinar dicha continuidad.
Nota: No basta estudiar la
continuidad
en
un
punto,
también es necesario hacerlo
considerando
conjuntos
puntos o intervalos.
de
Ahora, analizaremos lo que
continuidad
de
una
ocurre con la
función
cuando
consideramos un intervalo, en vez de un
punto.
Si decimos que un intervalo I es abierto, no
podríamos establecer con exactitud donde
comienza
o
culmina
una
función.
Sin
embargo, se puede afirmar que una función
es continua en un intervalo abierto I, si ella
es continua en todo punto contenido en I.
Para
comprender
mejor
esta
situación,
consideremos el siguiente ejemplo:
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Ejemplo Nº 49.
Sea f :R → R, una función definida por:
f(x)= + x
Determinar si f es o no continua en cualquier
punto U, a la izquierda de cero.
Solución:
Se sabe que: Dom f= [0,+∞) y Rgo f = R+.
Si observamos la figura 13 y aplicamos los
criterios o condiciones de continuidad se
tiene :
1) Para x = - U,
resultado
∉
R.
−U , cuyo
f(-U) =
Luego,
f
no
está
definida en los reales negativos, por lo
tanto la función es discontinua para los
R .
Cabe preguntarnos ahora: ¿ Cómo podremos
afirmar que una función f es continua en un
intervalo cerrado [a,b] ?
Para poder dar respuesta a ello, es necesario
indicar, al igual que se hizo para un punto,
cuáles son las condiciones para que una
función sea continua en un intervalo cerrado.
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Una función f : R → R es continua en el
intervalo cerrado [a , b] contenido en el
Dominio de f, si
1)
f es continua en
intervalo abierto (a ,b)
todo
punto
del
(2).− Lím+ f ( x ) = f (a )
x →a
¡Esto se torna interesante!
(3).− Lím− f ( x ) = f (b )
x →b
También se puede afirmar que:
(I) Una función
f
es continua en el
intervalo semiabierto por la derecha [a ,b) si
y solo si, se cumplen (1) y (2).
(II) Una
función
f
es continua en el
intervalo semiabierto por la izquierda (a ,b]
si y solo si, se cumplen (1) y (3) .
Ejemplo Nº 50.
Dada la función f : R → R, definida por:
f(x) = [2X]; donde: 1 ≤ x ≤ 3
2
2
Estudie su continuidad.
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Solución
Elaboramos previamente su gráfica (figura
14) y aplicamos las condiciones establecidas,
en cada uno de los intervalos.
1)
Suponiendo
que
“n”
es
un
número
cualquiera en el intervalo abierto (1/2, 1) se
tiene : f(n) =1, por tratarse de la función
parte entera.
Además,
Lím[ 2 x ] = 1
x→ n
por tanto:
Lím f ( x) = f ( n) para todo ½ ≤ n < 1
x→n
luego
,
f
es
2) Lím+[2 x ] = 1 y
x→ 1
continua
en
(1/2
,1).
f ( 12 ) = 1
2
Luego, f
es continua a la derecha de ½.
Pero:
3) Lím− f ( x ) = Lím− [2 x ] = 1 y
x →− 1
x →− 1
por lo tanto, f
f (1) = 2 = 2
no es continua por la
izquierda de 1 y así f es continua en el
intervalo semiabierto por la derecha [1/2, 1)
Análogamente se puede probar que en el
intervalo [1 , 3/2) la función f es continua.
NOTA :
Es
conveniente
que
realice
dicha prueba.
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Ejemplo Nº 51.
Dada la función C :R→R tal que,
C(r)= 9 − r 2 . Demuestre que C es continua
en todo su Dominio.
Solución:
La gráfica de C aparece en la fig.15,
luego determinamos su dominio, el cual
está dado por el conjunto de soluciones de la
inecuación (9-r² ≥ 0) , es decir:
Dom C = [-3,3].
Lo que corresponde ahora es verificar que C
es continua en el intervalo cerrado [-3,3],
así :
1.- Para todo V ∈ ( -3,3), se tiene :
C(v) =
9 − v2
Lím 9 − r 2 = C(v);
y
r→ v
Luego C es continua en (-3,3).
2.) Lím+ 9 − r 2 = 0 = 0 = C (−3)
r→−3
Así que, C es continua a la derecha de -3 y
3.) Lím− 9 − r 2 = 0 = C( 3)
r→ −3
Por tanto, C es continua a la izquierda de 3.
Luego,
la
función
C
es
continua
en
el
intervalo [-3,3] por cumplir con (1),(2) y (3)
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