Problemas propuestos: 196 – 200

Problemas 196 - 200
Problema 196 (Propuesto por Pedro H.O. Pantoja, Universidad de Natal,
Brasil)
Sea p un número primo. Demostrar que
p
X
(p + k
1) (p + k
2)
(k + 1)
2(mod p)
k=0
Problema 197 (propuesto por Laurentiu Modan, Univ. de Bucarest, Rumania)
Se considera un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de radio R: Sean
; ; ; los ángulos subtendidos por los lados en el centro de la circunferencia.
i) Hallar una expresión para el área S del cuadrilátero en función de R; ; ; ; :
ii) Si en la expresión para S los términos que dependen de los ángulos son
todos iguales, y = 3 ; hallar los valores de los lados y ángulos del cuadrilátero.
Problema 198 (propuesto por el editor)
Sea M un punto interior al triángulo ABC; y N; P; Q los puntos en que
una recta corta a los lados AB, BC y a la prolongación de CA. Utilizamos la
notación [:::] para representar el área del polígono cuyos vértices se escriben
entre los corchetes.
Demostrar que si
s
[M AN ] [M BP ]
[M AQ]
+
=2
;
[M BN ] [M CP ]
[M CQ]
entonces la recta NPQ es antiparalela de CA con respecto a AB y BC.
(el problema no es nuevo. Se dará noticia de su procedencia cuando se
publique la solución)
Problema 199 (propuesto por el editor)
Demostrar que
1
X
1
n2
arctan
n=1
<
2
:
(el problema no es nuevo. Se dará noticia de su procedencia cuando se
publique la solución)
Problema 200 (propuesto por el editor)
Determinar, en función del parámetro real a; el número de raíces de la
ecuación
ax = loga x:
(el problema, obviamente, no es nuevo. Se dará noticia de su procedencia
cuando se publique la solución)
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