Problemas propuestos 186-190

Problemas 186 - 190
Problema 186 (propuesto por Luis Gómez-Sánchez, Universidad de Oriente, Venezuela)
Sean los números naturales a; b; c tales que a < b < c y a2 + b2 > c2 :
Demostrar que existe un único entero que satisface la inecuación
x
x
x
a2x+1 + b2x+1 + c2x+1 + (a + b) (ab) < (a + c) (ac) + (b + c) (bc) :
Problema 187 (propuesto por Panagiote Ligouras, Bari, Italia)
Sean a; b; c los lados; ma ; mb ; mc las medianas; ha ; hb ; hc las alturas; la ; lb ; lc
las bisectrices y R el radio del círculo circunscrito al triángulo ABC: Demostrar
que
X la3 ma m2a h2a
h2a (la2 h2a )
12R2 :
c{clica
Problema 188 (propuesto por Roberto Bosch Cabrera, La Habana, Cuba)
Determinar todos los polígonos regulares para los que existe una curva cúbica
de ecuación
y = x3 + ax2 + bx + c;
a; b; c reales,
que pasa por todos sus vértices.
Problema 189 (propuesto por el editor)
A; B; C; D; E son cinco puntos en una circunferencia. Se trazan cónicas tangentes a los lados de los triángulos BCD; CDA; DAB y ABC, respectivamente,
y para las cuales E es un foco. Demostrar que todas son parábolas, y que sus
directrices son tangentes a otra parábola de foco E:
Nota: este problema no es nuevo. Se dará noticia de su procedencia cuando
se publique la solución)
Problema 190 (propuesto por el editor)
La quinta potencia de un número entero es congruente con 5, módulo 91.
Demostrar que el número es congruente con 31, módulo 91.
Nota: este problema no es nuevo. Se dará noticia de su procedencia cuando
se publique la solución)
1