T07 P18

Problema 18
Un determinado satélite de 300 kg de masa seca (ms ) describe una trayectoria
elı́ptica ecuatorial alrededor de la Tierra dada por la expresión:
r = 9009.0/[1 + 0.3 cos(θ)] (r en km)
Se pide:
a) Determinar el periodo de la órbita y el ángulo que forma el vector velocidad
con el vector posición cuando la altitud hx del satélite es de 1200 km.
b) En el momento en que el satélite se halla en su apogeo, se pretende inclinar el
plano orbital y transformar la trayectoria en circular, todo ello con una maniobra
de un solo impulso. Sabiendo que la masa mp de propulsante disponible es de
450 kg y que el impulso especı́fico Isp del motor es de 250 s, calcular el ángulo
máximo de inclinación del plano orbital.
Datos:
µT = 4.e5 km3 /s2
RT = 6378.0 km
Solución
Parámetro gravitacional de la Tierra:
µT = 4.e5 km3 /s2
Radio ecuatorial de la Tierra:
R = 6378.0 km
Excentricidad orbital e:
e = 0.3
Altitud en el punto dado:
hx = 1200 km
Masa seca del satélite:
ms = 300.0 kg
Masa del propulsante:
mp = 450.0 kg
Impulso especı́fico del motor:
Isp = 250.0 s
Aceleración de gravedad en la superficie de la Tierra:
g0 = 9.8e-3 km/s2
a)
Momento
angular orbital:
√
h = 9009.0µT = 59925 km2 /s2
Semieje mayor a:
a = 9009.0/(1 − e2 ) = 9900 km
1
Periodop
orbital:
P = 2π a3 /µT ) = 9803 s = 2.72 h
Radio orbital en el punto dado:
rx = hx + R = 7570 km
Velocidad
p orbital en el punto dado:
vx = 2µT /rx − µT /a = 8.07 km/s
Ángulo entre vector posición y vector velocidad en dicho punto:
α = sin−1 (h/rx /vx ) = 78.8 grados
b)
Radio de apogeo:
rα = a(1 + e) = 12870 km
Masa inicial total:
mi = ms + mp = 750 kg
Masa final:
mf = ms = 300 kg
Variación de velocidad disponible:
∆V = g0 Isp ln(mi /mf ) = 2.24 km/s
Velocidad en el apogeo:
vα = h/rα = 4.66 km/s
Velocidad
p circular en r = rα :
vc = µT /rα = 5.57km/s
Ángulo de inclinación máximo:
cos i = (vα2 + vc2 − ∆V 2 )/(2vα vc )
i = 23.26 grados
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