I Semejanza de triángulos 1.- Según la figura, si DE // AB , ¿ es

I Semejanza de triángulos
1.- Según la figura, si AB // DE ,
¿ es
 ABC   DCE ?
A
B
C
D
E
Sol
Si AB // DE , entonces
 D=  B
( alternos internos entre paralelas )
y
 E =  A ( alternos internos entre paralelas)
 ABC   DCE
por lo tanto :
2.- ¿ Son semejantes los triángulos ?
C
8
B
15
Q
35º
10
L
35º
R
12
J
Sol
como
15 12

10
8
y ademas
entonces  CRJ   LBQ
 R =  B = 35º
3.- ¿ son semejantes los triángulos TMQ y CJX ?
T
18
12
15
Q
J
M
10
8
C
X
12
Sol
como
18 12 15


12
8
10
entonces
 ABC   DEF
4.- ¿Como medirías la altura de una CEIBA (la CEIBA es uno los árbol de mayor
tamaño en Puerto Rico) ?
Sol
Primero podrías medir la distancia que te separa de la CEIBA, por ejemplo 100 metros.
Enseguida, podrías tomar una vara de un metro de largo y ponerla entre ti y la CEIBA, de
modo que la oculte exactamente. Si mides a qué distancia de ti bebe estar esa vara,
puedes ya hacer un dibujo de la situación como en la figura.
x
1m
1m
4m
1
4
=
𝑥 100
1 ∗ 100
𝑥=
4
𝑥 = 25
100m
5.- La figura representa dos triángulos semejantes. Los triángulos no están dibujados a
escala. En el triángulo ABC, ¿cuál es la longitud del lado BC ?
Sol
Si denotamos al lado BC por x, entonces.
En el triangulo más pequeño se tiene que
𝑥
cos 37 = 5
15
En el triangulo grande se tiene que cos 37 = 20
Entonces
𝑥
15
5∗15
15
= 20 → 𝑥 = 20 = 4
5
II Círculos: Ecuaciones con centro en (h,k)
Recordar que la ecuación general del círculo es 𝑥 − ℎ
2
+ 𝑦−𝑘
2
= 𝑟2
6.- Determina el radio de las siguientes circunferencias:
a) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9
b) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16
Sol
a) La circunferencia es de centro en el origen (h,k)=(0,0), además 𝑟 2 = 9, por tanto 𝑟 =
3.
b) La circunferencia es de centro en el origen (h,k)=(0,0), además 𝑟 2 = 16, por tanto 𝑟 = 4
7.- Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en (-3,2) y radio 6.
Sol
ℎ = −3 , 𝑘 = 2 𝑦 𝑟 = 6 al sustituir estos valores en la ecuación general del círculo se
obtiene,
(𝑥 − (−3))2 + (𝑦 − 2)2 = 62
(𝑥 + 3)2 + 𝑦 − 2 2 = 36
8.- Encontrar el radio y el centro del círculo 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 6𝑦 − 15 = 0.
Sol
𝑥 2 + 2𝑥 + (𝑦 2 + 6𝑦) − 15 = 0
𝑥 2 + 2𝑥 + 1 − 1 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 9 − 9 − 15 = 0
𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 9 − 1 − 9 − 15 = 0
𝑥 + 1 2 + 𝑦 + 3 2 − 25 = 0
𝑥 + 1 2 + 𝑦 + 3 2 = 25
Entonces el centro del círculo es (-1,-3) y radio 5
9.- Hallar la ecuación de la circunferencia si tiene como radio 40.
Sol
𝑥 − (−2) 2 + 𝑦 − 3 2 = 40
𝑥 + 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 40
2
III Áreas
10.- Hallar el área de la figura sombreada.
Sol
* calculamos el área total de la figura incluido el semicírculo.
Paso 1 hallamos el área del rectángulo 𝐴1 = 6 ∗ 4 = 24
𝑏∗ℎ
5∗4
Paso 2 Hallamos el área del triángulo 𝐴2 = 2 = 2 = 10
El área total de la figura es 𝐴𝑡 = 𝐴1 + 𝐴2 = 34
Como queremos el área de la región sombreada entonces al área total le restamos el área
del semicírculo.
𝐴𝑠 = 𝐴𝑡 −
1
1
𝜋𝑟 2 = 34 − 𝜋 ∗ 22 = 34 − 2𝜋
2
2
11.- Hallar el área de la región sombreada
Sol
Las áreas que sobre salen son semicírculos de radio 2, los semicírculos en blanco
también tienen radio 2, por tanto los semicírculos sombreados podemos rellenar a los
semicírculos en blanco, como se muestra en las figura.
Antes
Despues
Por tanto el área de la región sombreada terminaría siendo el área del cuadrilátero,
entonces el área de la región sombreada es 𝐴𝑠 = 8 ∗ 4 = 32
IV Perímetros
12.- Un triangulo es bordeado por tres cuadrados. Si las áreas de los cuadrados son 225,
196 y 169 (ver figura) ¿cuál es el perímetro del triangulo?.
Sol

El lado del cuadrado ABFE denotaremos por X, además el cuadrado tiene área
169, entonces 𝑋 2 = 169, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑋 = 13
 El lado del cuadrado ACKM denotaremos por Y, demás el cuadrado tiene área
196, entonces 𝑌 2 = 196, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑌 = 14.
 El lado del cuadrado BCJI denotaremos por Z, además el cuadrado tiene área 225,
𝑍 2 = 225 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑍 = 15
El perímetro del triangulo es X+Y+Z=13+14+15=42.
13.- En las representaciones de polígonos en las que se indican las medidas de sus
lados. Calculan el perímetro y comentan sus procedimientos.
1 cm
1 cm
2 cm
2cm
3cm
1 cm
1cm
2 cm
Sol



De la primera figura 𝑝 = 3𝑐𝑚 + 1𝑐𝑚 + 2𝑐𝑚 + 1𝑐𝑚 + 1𝑐𝑚 + 2𝑐𝑚 = 10𝑐𝑚
De la segunda figura 𝑝 = 2 ∗ 7 = 14𝑐𝑚
De la tercera figura 𝑝 = 1𝑐𝑚 ∗ 10 = 10𝑐𝑚
14.- Hallar el perímetro de figura sombreada, si cada cuadrado tiene 2cm de lado.
Sol
Contamos los lados sombreados son 22
𝑃 = 2𝑐𝑚 ∗ 22 = 44𝑐𝑚
3 cm
15.- En el hexágono se tiene que el área sombreada es 9 𝑚2 ¿ cuál es el perímetro del
hexágono?.
Sol
Sabemos que los lados de todo hexágono miden igual y que cada triangulo tienen el
mismo lado, por tanto son triángulos equiláteros, para hallar el perímetro necesitamos
conocer cuánto mide el lado del triángulo sombreado.
Extraemos el triángulo sombreado para realizar los cálculos
𝐵∗𝐻
El área del triángulo es 𝐴 = 2 , donde B=L
Para hallar la altura hacemos el siguiente cálculo
𝐻
𝑆𝑒𝑛 60 =
𝐿
3 𝐻
=
2
𝐿
𝐿∗ 3
𝐻=
2
𝐿∗𝐿∗ 3
𝐿2 ∗
Por tanto el área del triangulo es 𝐴 = 4 = 4
3
Como el área del triángulo sombreado es 9, entonces
𝐿2 ∗ 3
4
= 9, 𝐿2 =
9∗4
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
3
𝐿 = 432
El perímetro del hexágono queda determinado por 𝑃 = 6 ∗ 432 = 2592 𝑚