PRUEBAS DE HIPÓTESIS medias

PRUEBAS DE HIPÓTESIS. EJERCICIOS
Pruebas t para la media
1. Se quiere decidir sobre el siguiente sistema de hipótesis: Ho: µ = 100, Ha: µ ≠ 100. Una
muestra aleatoria de seis elementos dio como resultado los siguientes valores: 98, 105, 112, 106, 96,
115. ¿Se puede concluir que la media poblacional es diferente de 100 con un nivel de significación
de α = 0.05?
2. Un granjero puso a prueba un nuevo alimento para sus pavos navideños de una misma edad. La dieta
especial garantizaba que al cabo de 5 semanas los pavos tendrían un peso promedio de 10 libras. Al
final de las 5 semanas los pesos en libras resultantes de una muestra de 11 pavos fueron los siguientes:
9.0
10.5
11.0
9.7
8.7
11.6
10.3
10.1
8.0
8.5
9.8
Con relación al peso medio de los pavos, ¿qué se puede argumentar y concluir sobre la efectividad del
nuevo alimento? Utilice α = 0.05.
3. Un proceso de fabricación de jabón de tocador debe producir un promedio de 120 barras por lote.
Una muestra de 10 lotes dio como resultado las siguientes cifras:
108
118
120
122
119
113
124
122
120
123
Suponiendo que la población es normal, pruebe si los resultados de la muestra indican que el
proceso de manufactura está trabajando en forma correcta. (use α =0.05 ).
4. Una muestra aleatoria de 10 personas que participaron en un reciente programa de
adelgazamiento recogió las siguientes pérdidas de peso en kilos al completar el programa.
18.2
25.9
16.3
18.8
15.4
20.3
16.8
19.5
14.3
17.2
Por experiencia con programas anteriores se tienen registros de que el promedio de pérdida de peso
es de 18 kilos. ¿ Se puede considerar que el grupo de la muestra ha tenido un promedio diferente?
5. La vida media de una batería en un reloj digital es de 305 días. Se modificó la batería para que
tuviera mayor duración y, de una muestra de 20 baterías modificadas, se obtuvo una vida media de
311 días con desviación estándar de12 días. ¿La modificación incrementó la vida media de las
baterías?
Respuestas. 1) t c = 1.75 , t (α ,v ) = 2.571, se acepta Ho, 2) Ha: µ ≠ 10, t (α ,v ) = ± 2.228,
t c = -0.764, es efectivo, 3) Ha: µ ≠ 120, t (α ,v ) = ± 2.262, t c = -0.705, trabaja correctamente. 4)
Ha: µ ≠ 18 t c = 0.262, p-valor ≈ 0.40, se acepta Ho. 5) t c = 2.236, 0.02 < p-valor < 0.05.
Pruebas z para una proporción
6. Se quiere decidir sobre el siguiente sistema de hipótesis: Ho: P ≤ 0.70, Ha: P>0.70. Una muestra
de 100 observaciones reveló que p̂ = 0.75. ¿ Se puede rechazar la hipótesis nula en el nivel de
significación de 0.05?
7. Una compañía de televisión afirma que el 65% de la tele-audiencia mira su telenovela”Barreras
de amor y odio”, entre las 8:00 y 9:00 p.m. Una encuesta telefónica realizada durante ese período en
340 hogares, determino que 210 miraban la mencionada telenovela. ¿Podría afirmarse que la
audiencia ha disminuido?(Use α = 0.05).
8. Una tienda importante de electrodomésticos considera la posibilidad de introducir un servicio de
compras por Internet. El servicio se implementará si más del 40% de los usuarios de Internet
compran a través de este medio. Se entrevistó a 300 usuarios y 170 indicaron que utilizan Internet
para hacer compras. ¿Señalan los datos que se debe implementar el servicio?. Escriba las hipótesis
adecuadas al caso y decida mediante el cálculo de un p- valor.
9. De una muestra de 364 propietarios de pequeños comercios que quebraron, 102 no tuvieron
asesoramiento profesional antes de abrir el negocio. Probar la hipótesis de que no más del 25% de
esta población tuvo asesoramiento profesional antes de abrir el negocio.
10. La política de una comisión de tránsito consiste en agregar una ruta más de autobuses, si más
del 55% de los viajeros potenciales indican que la utilizarían. Una muestra de 470 usuarios reveló
que 267 tomarían una “vía norte sin pasar por el centro de la ciudad”. ¿ Cumple ésta vía con los
criterios de la comisión de tránsito?. Utilice un nivel de significación del 1%.
11. La empresa “Pollo Delicioso” afirma que 90% de sus pedidos se entrega en 10 minutos desde
que se hace el pedido. Una muestra de 100 pedidos mostró que 83 se entregaron en el tiempo
prometido. Con un nivel de significación de 0.10, ¿ se puede concluir que menos del 90% de los
pedidos se entregó en menos de 10 minutos?
Respuestas: 6) z c = 1.091 , z ε = 1.64. 7) Ha: P < 0.65, z c = -1.25 , z ε = -1.64. 8) Ha:
P > =.40 ,P( z > 5.89) = 0.00000, si. 9) Ha: P > 0.25, P( z > 1.33) = 0.0918, 10) Ha: P > 0.55,
z c = 0.79 , z ε = 2.32, no. 10) Ha: P < 0.90, P(z < -2.33) = 0.0099, si.
Pruebas para diferencia de promedios (muestras independientes)
Conocidas σ 1 y σ 2
12. Se quiere decidir sobre el siguiente sistema de hipótesis: Ho: µ 1 = µ 2 y Ha: µ 1 ≠ µ 2 . Una
muestra de 40 observaciones de una población con desviación estándar poblacional de 5 produjo
una media muestral de 102. Otra muestra de 50 observaciones de una segunda población, con
desviación poblacional de 6, arrojó una media de 99. Decida sobre las hipótesis empleando un nivel
de significación de 0.04.
13. Los niveles de productividad de sendas muestras de 10 trabajadores en dos plantas de una
misma empresa productora se dan en el cuadro. Considere que las varianzas poblacionales son 9 y
16 para la planta 1 y la planta 2 respectivamente.
Planta 1
Planta 2
85
91
90
91
88
87
79
88
95
98
88
84
89
93
85
80
91
90
84
90
Empleando un nivel de significación de 0.05, argumente si existen diferencias entre los niveles
medios de productividad de los empleados entre las dos plantas..
14. Una empresa estudia los tiempos de entrega de dos proveedores de materia prima. Los
resultados de dos muestras independientes de los tiempos de resurtido ( en días) en los pedidos
hechos a ambos proveedores se dan en el siguiente cuadro
Número de pedidos
Media aritmética
Varianzas poblacionales
Proveedor A Proveedor B
50
30
14
12.5
9
4
Comprobar para α =0.05 si los tiempos de entrega son iguales contra la alternativa de que el
proveedor A se tarda, en promedio, más tiempo que el proveedor B.
Respuestas. 12) Ha : µ1 ≠ µ 2 , zα = 2.05 , z c = 2.59, 13) Ha : µ 1 ≠ µ 2 , zα = 1.96 , z c = 1.14, 14) Ha : µ a > µ b , z c = 2.68 , z ε = 1.64, se rechaza Ho.
Desconocidas σ 1 y σ 2 ( suponiendo que son iguales)
15. Se quiere decidir sobre el siguiente sistema de hipótesis: Ho: µ 1 = µ 2 y Ha: µ 1 ≠ µ 2 . Una
muestra aleatoria de 10 observaciones produjo una media muestral de 23 y desviación estándar de 4.
Una muestra aleatoria de 8 observaciones de otra población reveló una media muestral de 26 y una
desviación estándar de la muestra de 5. ¿Hay alguna diferencia entre las medias poblacionales? Use
α = 0.05.
16. Los resultados de una prueba de conocimientos básicos informáticos, aplicada a 16 profesores
de instituciones educativas privadas y a 20 profesores de instituciones públicas, arrojó los siguientes
datos:
Privadas
Públicas
Número de profesores
16
20
Media aritmética
92.4
86.3
Desviaciones muestrales
15.4
10.2
¿Existe alguna diferencia entre los conocimientos promedios de ambos grupos? Use α =0.10
17. La directora de presupuestos de una compañía quiere comparar los gastos diarios en viáticos del
personal de ventas con los gastos del personal de Auditoría; para lo cual recopiló la siguiente
información:
Ventas($)
131 135 146 165 136 142
Audtoría($)
130 102 129 143 149 120 139
¿ Puede concluir la directora que los gastos diarios medios en viáticos son mayores para el personal
de ventas que para el personal de Auditoría? Utilice un p-valor para su conclusión.
18. El fabricante de un reproductor MP3 desea saber si una reducción de 10% en el precio es
suficiente para aumentar las ventas de su producto. Para investigar esto, selecciona al azar 8 tiendas
y vende el producto a precio reducido, luego selecciona otras 7 tiendas al azar y lo vende a precio
normal. Los números de unidades vendidas durante el mes anterior en las tiendas seleccionadas se
dan en el cuadro:
Precio normal
Precio reducido
138
128
121 88
134 152
115 141
135 114
125
106
96
112 120
¿ Puede concluir el fabricante que la reducción en el precio generó un aumento en las ventas?
Probar para α =0.01.
Respuestas: 15) (Sp = 4.4651) t c = 1.416 , t (α ,v ) = 2.12, 16) Ha : µ 1 ≠ µ 2 , t c = 1.4255 ,
t (α ,v ) = 1.691, no. 17) x1 = 142.5, x 2 = 130.29, s1 = 12.2434, s 2 = 15.7873 , 18) Ha : µ 1 < µ 2
t c = -0.8189 , t (α ,v ) = - 2.65
Desconocidas σ 1 y σ 2 (suponiendo que son diferentes)
19. Se quiere decidir sobre el siguiente sistema de hipótesis: Ho: µ1 = µ 2 y Ha: µ1 ≠ µ 2 . Una
muestra aleatoria de 15 elementos de la primera población produjo una media de 50 y una
desviación estándar de 5. Una muestra aleatoria de 12 elementos para la segunda población reveló
una media de 46 y una desviación estándar de 15. ¿Hay alguna diferencia entre las medias
poblacionales? Use α = 0.05.
20. Dos grupos de empleados de una fábrica fueron seleccionados de manera aleatoria para recibir
entrenamiento en cierta operación. Cada grupo fue entrenado por un método diferente y, al final del
entrenamiento, se registró el tiempo en minutos que cada uno tardó en realizar la operación. El
resumen de resultados muestrales es el siguiente:
Método 1
24
45
200
tamaño
Media
varianza
Método 2
18
55
276
Compruebe si existen diferencias significativas en los promedios poblacionales, al entrenar al
personal, empleando esos dos métodos. (use α= 0.05).
Respuestas. 19) Ha : µ 1 ≠ µ 2 , t c = 0.8855 , t (α ,v ) = 2.16. Acepta Ho. 20) Ha : µ1 ≠ µ 2 , t c = 2.0556 , t ( 0.025, 35) = - 2.031.
Pruebas para diferencia de promedios (muestras apareadas)
21. Se quiere decidir sobre el siguiente sistema de hipótesis: Ho: µ d ≤ 0 y Ha: µ d > 0. En la
información muestral siguiente se da el número de unidades defectuosas producidas en los turnos
matutino y vespertino en una muestra de 5 días durante el mes pasado.
días
1
2
3
4
5
matutino
10
12
15
19
11
vespertino 8
9
12
15
14
Con un nivel de significación de 0.05, ¿se puede concluir que se producen más defectos en el turno
vespertino?
22. Una empresa manufacturera tiene dos métodos con los que sus obreros pueden realizar una tarea
de producción. Los tiempos de terminación (en minutos), por ambos métodos, de un mismo grupo
de 6 obreros se dan en el siguiente cuadro:
Trabajador
Método 1
Método 2
1
6.0
5.4
2
5.0
5.2
3
7.0
6.5
4
6.2
5.9
5
6.0
6.0
6
6.4
5.8
Compruebe si existen diferencias entre las medias de los tiempos de terminación por ambos
métodos. Utilice p-valor.
23. Se realizó un estudio con el objeto de conocer si la hipnosis es efectiva para reducir el dolor.
Los grados de dolor (medidos en una escala para tal propósito) experimentados por 8 personas antes
y después de la hipnosis se presentan en el siguiente cuadro:
Antes
6.6
Después 6.8
6.5
5.4
9
8.2
10.3
8.5
11.3
10.9
8.1
6.1
6.3
4.9
A un nivel de significación de 1%, ¿qué se puede concluir?
11.6
9.1
24. El Banco CONSTRUCCIÖN desea comparar a las dos agencias que utiliza para realizar avalúos
de casas. Para ello seleccionó una muestra de diez propiedades residenciales y programó un avalúo
por cada agencia. Los resultados reportados en miles de dólares son:
Casa
Agencia 1
Agencia 2
1
135
128
2
110
105
3
131
119
4
142
140
5
105
98
6
130
123
7
131
127
8
110
115
9
125
122
10
149
145
Empleando un nivel de confianza del 95%, argumente si existen diferencias entre los avalúos
medios poblacionales de las dos agencias.
25. Se llevó a cabo una encuesta entre los miembros del Club del libro del mes, para determinar si
pasan más tiempo viendo televisión que leyendo. Suponga que en una muestra de 15 encuestados se
obtuvieron las horas semanales que dedican a ver televisión y las que se dedican a la lectura. Con
un nivel de significación de 0.05, ¿se puede llegar a la conclusión que los miembros del Club del
libro del mes pasan más tiempo, en promedio, viendo televisión que leyendo?
1
2
3
4
5
6
7
8
Televisión
10
14
16
18
15
14
10
12
Leyendo
6
16
8
10
10
8
14
14
9
10
11
12
13
14
15
Televisión
4
8
16
5
8
19
11
Leyendo
7
8
5
10
3
10
6
Respuestas. 21) Ha : µ d > 0 , t c = -0.8189 , t (α ,v ) = 2.032. 22) Ha : µ d ≠ 0
0.05 < p-valor < 0.10, acepta Ho. 23) Ha : µ d > 0 , t c = 3.9106, t (α ,v ) = 2.998, si.
24) Ha : µ d ≠ 0 t c = 3.3045, t(0.025, 9) = 2.262 , hay diferencias.
t c = 2.195 .