t2. grafos y matrices

T2. GRAFOS Y MATRICES
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MATEMÁTICAS PARA 4º ESO
MATH GRADE 10
(=1º BACHILLERATO EN ATLANTIC CANADA)
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CURRÍCULUM MATEMÁTICAS
NOVA SCOTIA
ATLANTIC CANADA
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TRADUCCIÓN: MAURICIO CONTRERAS
T2. GRAFOS Y MATRICES
MAURICIO CONTRERAS
GRAFOS Y MATRICES
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Modelizar situaciones del mundo real con grafos y matrices
Desarrollar y aplicar estrategias para resolver problemas
Representar problemas de redes como grafos
REDES Y GRAFOS
Una red es un grupo de personas, plazas, objetos, o ideas que están conectadas de alguna
forma. Por ejemplo, en nuestros cuerpos, la sangre fluye a través de una red de venas y
arterias. Trenes y aviones distribuyen a las personas entre varias localidades, y sus rutas
forman un laberinto de destinos fácilmente descrito mediante una red. Algunas de estas redes
se llaman grafos o dígrafos. Los dígrafos tienen una propiedad extra: contienen información
respecto de la dirección. Los siguientes son ejemplos de redes:
Patrón de calles en el centro Rutas de aerolíneas
Amistades directas
Los vértices y lados son las dos propiedades importantes de una red. Los vértices son los
puntos en los cuales los caminos o lados de la red se cortan. Vértices pares son aquellos en los
que un número par de lados se unen, vértices impares son aquellos en los que se unen un
número impar de lados.
a)
b)
c)
¿Puede cada lado de una red ser atravesado sin repetición?
¿Puede cada vértice ser visitado sin repetición?
¿Qué tiene que ves esto con que los vértices sean pares o impares?

MÀQUINA QUITANIEVES
La siguiente red representa el movimiento de una máquina quitanieves. Ten en cuenta que la
maquina debe pasar dos veces por cada calle, ya que así limpia la nieve de cada lado de la
calle. Explica con detalle qué recorrido hace la máquina quitanieves.
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EL CARTERO
El cartero vive en Idletown y reparte cartas a lo largo de cada carretera en los siguientes
dibujos.
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¿Puede el cartero empezar en Idletown, repartir el correo y regresar a su casa sin pasar a lo
largo de una carretera dos veces? Explica.

CUATRO PUEBLOS
Cuatro pueblos están situados de tal forma que las carreteras que los unen forman un
cuadrilátero. Un quinto pueblo está situado en la intersección de las dos diagonales del
cuadrilátero.
a)
b)
c)
Dibuja el grafo
Determina si una máquina quitanieves podría limpiar ambos lados de todas las carreteras
sin conducir a lo largo de una sección que ya ha sido limpiada
Crea un grafo de una red diferente con al menos cuatro pueblos donde el conductor
pueda limpiar cada carretera, sin volver a pasar por una carretera limpia y que finalice en
el mismo pueblo en que empezó.
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Modelizar situaciones del mundo real con grafos y matrices
Representar problemas de redes usando matrices y viceversa
Representar problemas de redes usando digrafos
Desarrollar y aplicar estrategias para resolver problemas
REDES DE TRANSPORTE
Considera la red de transporte entre cuatro pueblos A, B, C y D. Las flechas representan
rutas directas.
Esta red se puede representar por la matriz R, que representa las rutas directas desde los
pueblos situados a la izquierda hasta los situados en la parte superior. El 0 representa
que no hay un camino directo, el 1 representa un camino directo, el 2 representa dos
caminos directos como se ve en el diagrama de D a C. La matriz tiene cuatro filas y
cuatro columnas. Cada elemento se identifica por el par (fila, columna). Por ejemplo, el
elemento (4, 3) es 2.
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Al explorar el programa de vuelos de una aerolínea local, si 0 indica que no hay conexión de
vuelo, y 1 indica una sola conexión, la red se puede representar por un dígrafo, en el que si no
hay ninguna flecha, indica que ambas direcciones son posibles. Los caminos circulares que
regresan a la posición inicial, indican vuelos cortos realizados por una agencia de turismo o por
un club de vuelo.
A partir del diagrama, construye la matriz correspondiente e interprétala.

ESQUÍ
Las siguientes redes representan rastros de un esquí a la salida de Majortown. Representa
cada uno de ellos en una matriz, usando 0 para indicar que no hay conexión entre vértices, 1
para indicar que una solamente una conexión entre vértices, 2 para indicar que hay dos
conexiones entre vértices. Identifica e interpreta ele elemento (4, 3) de cada matriz.

AEROPUERTOS
Algunos aeropuertos en Canadá están conectados por vuelos directos. Representa la siguiente
información usando: a) un dígrafo, b) una matriz.
“Hay cuatro vuelos directos desde Sydney hasta Halifax y seis vuelos directos regresan a
Sydney. Hay dos vuelos directos desde Deer Lake hasta Halifax y regreso. Hay un vuelo directo
desde Halifax a Moncton, otro desde Halifax a Fredericton, y solo un que regresa de
Fredericton a Halifax. Hay dos vuelos directos desde Charlottetown hasta Moncton, pero solo
uno de Moncton a Chasrlotretown”.
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
Desarrollar, analizar y aplicar procedimientos para multiplicar matrices
Desarrollar y aplicar estrategias para resolver problemas
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CASAS Y PUERTAS
Un constructor construye cuatro casas (A, B, C y D) en tres lugares diferentes: Norte, Sur y
Este. Halla el número total de puertas que se requieren para las nuevas casas en el Norte.
Utiliza para ello las siguientes tablas, en las que tienes detallado el número de casas y el
número de puertas.

CASAS, PUERTAS Y VENTANAS
La matriz X da la cantidad de cada uno de los modelos de casa construidos el último año, y la
matriz Y da el número de puertas exteriores y ventanas en cada uno de los cuatro modelos.
Si el constructor quiere saber cuántas puertas debe enviar a la zona norte, debe multiplicar la
primera fila de la matriz X por la primera columna de la matriz Y. Para hallar las ventanas de la
zona Este, debe multiplicar la tercera fila de la matriz X por la segunda columna de Y.
a)
Averigua cuántas puertas y cuántas ventanas debe enviar a la zona Sur.
Como cada elemento en la fila 1 de la matriz X representa el número de casas en la zona
Norte, y cada elemento en la columna 1 de Y representa el número de puertas en cada
modelo, el elemento de la fila 1, columna 1 de la matriz XY representa el número total de
puertas y ventanas en la zona Norte. Entonces, la matriz XY da el número de puertas y
ventanas para cada casa. Cada elemento de la matriz XY se halla multiplicando la fila apropiada
de la matriz X por la columna apropiada de la matriz Y.
b)
¿Qué significa el elemento (2, 2) de la matriz XY?

PREDICCIÓN DEL TIEMPO
En algunas situaciones aleatorias, las matrices pueden usarse para representar probabilidades,
y las operaciones con matrices se pueden usar para predecir sucesos futuros. Supón, por
ejemplo, que los datos recogidos sobre el tiempo en una localidad particular muestran que al
68% de días lluviosos, le sigue otro día de lluvia; y que al 35% de días sin lluvia le siguen días de
lluvia. Construye una matriz que relacione el tiempo de hoy con el tiempo de mañana.
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1)
Escribe con porcentajes y decimales la siguiente matriz:
2)
La matriz [1, 0] (si, no) se usa para indicar que hoy llueve, y la matriz [0, 1] (no, si) indica
que hoy no llueve. Supongamos que hoy en lunes y no llueve, y se necesita conocer la
probabilidad de lluvia para el miércoles. La matriz [0, 1] representa el tiempo de hoy. La
predicción para el martes se calcula multiplicando por [0, 1] la matriz de porcentajes del
apartado 1). Determina e interpreta el resultado.
3)
La predicción del miércoles se obtiene por un cálculo similar, usando la matriz
representativa de la predicción del martes. Halla la probabilidad de lluvia para el
miércoles.
¿Qué probabilidad hay de que no llueva el miércoles?
Explica por qué en 3) has multiplicado la matriz para la predicción del martes por la matriz
del apartado 1)
Si el proceso continua, ¿qué ocurrirá en la porción de días en los que es posible que
llueva?
4)
5)
6)

ALMACÉN
Un almacén vende tres tipos de bolígrafos: tinta, fieltro y rotuladores, y tres tipos de lápices:
duro, blando y medio. Representa la siguiente información en matrices y halla el coste total de
bolígrafos y lápices antes de Marzo. El dueño del almacén compra 250 tinta, 125 fieltro y 75
rotuladores; 500 lápices blandos, 250 lápices medios y 50 lápices duros en Enero. Cada mes
que sigue, compra el 15% más de cada tipo, ya que se venden bien. El coste en enero para los
bolígrafos: tinta: 1,35€, fieltro: 0,89€, y rotulador: 1,09€; para los lápices: duro: 0,49€, blando:
0,37€ y medio: 0,40€. Cada uno de los costes es decreciente, en Febrero un 10% y en marzo,
un 15% de los costes de enero.
Construye una matriz para representar el precio de venta e inventa un problema para que lo
resuelvan tus compañeros.
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Desarrollar, analizar y aplicar procedimientos para multiplicar matrices
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POTENCIAS
El siguiente grafo se puede representar por la matriz N.
Al ser la matriz cuadrada, la nueva matriz que se obtiene al calcular N2 da el número de
caminos compuestos por dos lados que unen un vértice con otro. Por ejemplo, el segundo
elemento de la primera fila de la matriz N2 indica que hay dos caminos compuestos de dos
lados que conectan A con B. Uno es ACB por dentro y el otro ACB por fuera.
Calcula e interpreta N3.
“Dos matrices se pueden multiplicar solo si el número de filas de la primera matriz es el
mismo que el número de columnas de la segunda matriz, y el número de elementos de
cada fila se empareja con el número de elementos de cada columna.”

MATRICES
a)
b)
Explica con tus palabras cuando es posible y cuando no es posible multiplicar dos
matrices.
Describe qué tipo de matrices pueden ser cuadradas

MULTIPLICACIÓN
a)
Realiza las siguientes operaciones. Para las siguientes matrices halla la matriz resultado y
registra las dimensiones de cada matriz:
b)
Para las dimensiones anotadas, haz una conjetura sobre cómo se puede predecir el
tamaño de la matriz resultado.
Repite los apartados a) y b) para las siguientes matrices, si es posible. Si no, explica por
qué no es posible.
c)
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d)
¿Qué conjetura podemos hacer sobre las dimensiones de la matriz producto?

INVENTA
a)
Inventa dos matrices A y B para mostrar que AB≠BA y otro par de matrices C y D, para
mostrar que CD=DC. ¿Qué conclusión puedes hacer de esto?
Inventa un problema que trate con transporte entre cinco pueblos o ciudades;
represéntalo con un grafo y una matriz; eleva al cubo la matriz e interpreta la matriz
resultado.
b)
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Resolver problemas de redes usando matrices
Desarrollar, analizar y aplicar procedimientos para multiplicar matrices
POTENCIAS
Dada la siguiente red de vuelos de una aerolínea local, si 0 representa que no hay conexión de
vuelo y 1 que hay solo una vía de conexión, la siguiente matriz N representa todos los posibles
vuelos directos.
La matriz N2 es el resultado de multiplicar NxN.
¿Qué significado tiene la matriz N2?
Para resolver este problema, empieza con un problema más fácil. Construye una matriz
3x3 y etiqueta las filas y columnas con T (Toronto), O (Ottawa) y H (Hamilton). Construye
un dígrafo.
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Las dos formas representan el número de maneras de ir desde Toronto (fila 1) hasta
Toronto (columna 1). Observando el dígrafo, podrás ver que hay un vuelo de Toronto a
Ottawa y otro de Ottawa a Toronto. Esta combinación es una de las del recorrido
Toronto – Toronto. La otra es Toronto – Hamilton y Hamilton –Toronto. Por tanto, la
matriz A2 representa vuelos con una escala.
Regresando al problema original, verás que aparece un 3 en la matriz. ¿Qué significa?
El dígrafo muestra en el camino de Washington a Ottawa, que Halifax es el único vuelo con
conexión de Washington a Halifax. ¿Dónde está representado este valor en la matriz N2?

RED DE TRANSPORTE
El siguiente grafo representa una red de transporte entre cuatro ciudades A, B, C y D. Usa tu
calculadora para hallar la matriz R2 e interpreta el significado de los elementos (3, 1), (2, 3) y
(1, 2).

VUELOS
La matriz M representa el número de vuelos directos entre tres ciudades.
a)
b)
c)
Interpreta el significado del elemento en la fila 1, columna 1 y en la fila 3, columna 2.
Dibuja un dígrafo para representar la matriz.
Explica el significado del elemento de la fila 2, columna 3 de la matriz M2.
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CARRETERAS
Las carreteras entre algunos pueblos en el rural New Brunswick se muestran en este grafo:
a)
b)
c)
d)
Representa la red con una matriz, usando un 1 para una conexión y un 0 para no
conexión, etc.
Muestra en el gráfico las tres maneras de ir desde S hasta M, cada una atravesando de un
pueblo a otro. Muestra, usando matrices, cómo se puede verificar esto.
Doris, que está en el pueblo E, quiere ir al pueblo M, pero quiere pasar a través de otro
pueblo antes de llegar a M. Construye una matriz que muestre la respuesta de cuántas
posibles rutas puede tomar.
Inventa un problema para el cual pueda ser importante conocer el número de rutas a
través de un pueblo antes de coger otro. Resuelve el problema, después pasa el problema
a tu compañero para ver si puede resolverlo.
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Resolver problemas usando tecnología gráfica
AEROPUERTOS
Dada la siguiente red de vuelos directos entre aeropuertos:
a)
b)
c)
Representa esta red mediante una matriz
Explica como podemos decirle a Henry que hay 12 vuelos con una sola escala desde Saint
John a Fredericton y a Saint John. Muestra, usando matrices, como se puede verificar
esto.
Elaine está en Charlottetown y quiere viajar a Edmundston:
i) ¿Puede ir allí con un vuelo directo? Explica
ii) ¿Puede ir allí con un vuelo de una escala? Explica
iii) ¿Puede ir allí con una vuelo de dos escalas? Explica
iv) Muestra una matriz que represente todos los vuelos de dos escalas posibles para todos
los aeropuertos.
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MAURICIO CONTRERAS
Construcción y análisis de las propiedades de los grafos
Representación y resolución de problemas mediante grafos
Representación de grafos mediante matrices
Estrategias para multiplicar matrices e interpretación en contexto
Cálculo e interpretación de potencias de matrices
Uso de tecnología gráfica para multiplicar y hallar potencias de matrices
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