Universidad de Salamanca 1. Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS Espacio vectorial dual. Base dual. Funciones coordenadas Sea E un k-espacio vectorial. ω El conjunto E ∗ de las aplicaciones lineales de E en k, E ∗ = {E − → k lineales }, es un kespacio vectorial respecto de la suma de aplicaciones lineales y del producto de una aplicación lineal por un escalar. E ∗ se llama espacio dual de E y los elementos de E ∗ se llaman formas lineales. Teorema 1.1. (Base dual) Si {e1 , . . . , ( en } es una base de E , las n formas lineales 1 si i = j {ω1 , . . . ωn } definidas por ωi (ej ) = δij = , para 1 ≤ i, j ≤ n, forman una 0 si i 6= j base de E ∗ , la base dual de {e1 , . . . , en }. En particular, dimk E ∗ = dimk E Demostración. • {ω1 , . . . ωn } generan E ∗ . Sea ω ∈ E ∗ y ω(ei ) = λi ∈ k para i = 1 . . . n. La forma lineal λ1 ω1 + · · · + λn ωn coincide con ω sobre la base {e1 , . . . , en }, (λ1 ω1 + · · · + λn ωn )(ei ) = λi = ω(ei ), luego λ1 ω1 + · · · + λn ωn = ω, pues dos aplicaciones lineales que coinciden sobre todos los vectores de una base son iguales. • {ω1 , . . . ωn } son linealmente independientes. Si λ1 ω1 + · · · + λn ωn = 0, para todo i = 1 . . . n se verifica que (λ1 ω1 + · · · + λn ωn )(ei ) = λi = 0. Las formas lineales ωi son las funciones coordenadas sobre E, esto es, si e = x1 e1 + · · · + xn en es ωi (e) = xi . Por otra parte, si e = x1 e1 + · · · + xn en y ω = p1 ω1 + · · · + pn ωn se tiene: ω(e) = x1 p1 + · · · + xn pn 2. Morfismo traspuesto T θ◦T Dada una aplicación lineal E − → E 0 , para cada θ ∈ E 0∗ la aplicación lineal E −−→ k es una forma lineal θ ◦ T ∈ E ∗ , lo que permite definir una aplicación T∗ E 0∗ −→ E ∗ θ 7→ θ ◦ T que es lineal: T ∗ (λθ + µθ0 ) = (λθ + µθ0 ) ◦ T = λ(θ ◦ T ) + µ(θ0 ◦ T ) = λT ∗ (θ) + µT ∗ (θ0 ). T ∗ es la aplicación lineal traspuesta o morfismo traspuesto de T . T Proposición 2.1. Si A es la matriz asociada al morfismo E − → E 0 respecto de las bases T∗ {e1 , . . . , en } de E y {e01 , . . . , e0m } de E 0 , la matriz asociada al morfismo traspuesto E 0∗ −→ E ∗ respecto de las bases duales {ω10 , . . . , ωn0 } de E 0∗ y {ω1 , . . . , ωn } de E ∗ es la matriz traspuesta de A. Demostración. Si B = (bij ) es la matriz de T ∗ en las bases duales y A = (aij ) la matriz de T en las bases dadas, se tiene: m m n X X X ∗ 0 0 0 0 ∗ 0 T (ωj ) = bij ωi ⇒ bij = T (ωj )(ei ) = ωj (T (ei )) = ωj ( aki ek ) = aki ωj0 (e0k ) = aji i=1 k=1 k=1 1 Ejemplo 2.2. Dada la aplicación lineal T R4 − → R3 (x, y, z, t) 7→ (x − 2y + t, y + z, x − t) T∗ Calculemos bases y dimensión de Im T ∗ y ker T ∗ , siendo (R3 )∗ −→ (R4 )∗ su morfismo traspuesto. 1 0 1 1 −2 0 1 −2 1 0 t ∗ ∗ A = 0 1 1 0 ⇒ At = 0 1 0 , rg A = dim Im T = 3 ⇒ dim ker T = 3−3 = 0 1 0 0 −1 1 0 −1 Se deduce: Im T ∗ = {(1, −2, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, −1)} , 3. ker T ∗ = {0} Cambio de base en el dual Sea {e1 , . . . , en } una base de E y {ω1 , . . . , ωn } su base dual en E ∗ . Y sean {ē1 , . . . , ēn } otra base de E (base nueva de E) y {ω̄1 , . . . , ω̄n } su base dual (base nueva de E ∗ ). Si representamos por B la matriz del cambio de base en E y por B ∗ la matriz de cambio de base en E ∗ , se verifica: B ∗ = (B t )−1 En efecto: La aplicación que realiza el cambio de base de matriz B es Id B hē1 , . . . , ēn i = E −−→ E = he1 , . . . , en i y su morfismo traspuesto Id t hω1 , . . . , ωn i = E ∗ −−B→ E ∗ = hω̄1 , . . . , ω̄n i es preciasamente el inverso del morfismo del cambio de base en E ∗ de matriz B ∗ , (IdB t )−1 = IdB ∗ , luego B ∗ = (B t )−1 . • Cambio de base para formas lineales Si ω = p1 ω1 + · · · + pn ωn = p̄1 ω̄1 + · · · + p̄n ω̄n , esto es, (p1 , . . . , pn ) son las coordenadas antiguas de ω y (p̄1 , . . . , p̄n ) sus coordenadas nuevas , se tiene: p̄1 p1 p̄1 p1 ... = (B ∗ )−1 · ... ⇔ ... = B t · ... ⇔ p̄1 . . . p̄n = p1 . . . pn · B p̄n pn p̄n pn Ejemplo 3.1. Sea {e1 , e2 , e3 } una base del R-espacio vectorial E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base dual. (a) Probar que los vectores ē1 = e1 − e2 , ē2 = e1 + 2e2 + e3 y ē3 = e1 + e2 forman una nueva base de E y calcular su base dual {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }. (b) Calcular la expresión de la forma lineal ω = 3ω1 + 2ω2 en la base {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } Solución 1 1 1 (a) |B| = −1 2 1 = 2 6= 0 ⇒ {ē1 , . . . , ēn } es una base de E y B es la matriz del cambio de base. 0 −1 0 1 1 1 ω̄ = ω − ω − ω3 1 1 2 1 0 1 2 2 2 1 1 AdjB = −1 0 1 ⇒ ω̄2 = −ω3 B ∗ = (B t )−1 = , pues las colum |B| 2 −1 2 3 1 1 3 ω̄3 = ω1 + ω2 + ω3 2 2 2 nas de B ∗ son las coordenadas de las formas lineales de la nueva base {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } de E ∗ respecto de la base {ω1 , ω2 , ω3 }. (b) 3 2 0 · B = 1 7 5 ⇒ ω = ω̄1 + 7ω̄2 + 5ω̄3 . 4. Espacio bidual. Teorema de Reflexividad El espacio bidual, E ∗∗ , es el dual del espacio dual E ∗ : E ∗∗ = {E ∗ → − k lineales} , dimk E ∗∗ = dimk E ∗ = dimk E . Teorema 4.1. (Reflexividad). Si E es un k-espacio vectorial de dimensión finita, la apliφ cación E → − E ∗∗ definida por φ(e)(ω) = ω(e), para cada e ∈ E y ω ∈ E ∗ , es un isomorfismo. Demostración. • φ es lineal. φ(λe+µe0 )(ω) = ω(λe+µe0 ) = λω(e)+µω(e0 ) = λφ(e)(ω)+µφ(e0 )(ω) = (λφ(e)+µφ(e0 ))(ω), para toda ω ∈ E ∗ . • φ es inyectiva. Si e ∈ ker φ es φ(e) = 0, luego φ(e)(ω) = ω(e) = 0 para toda ω ∈ E ∗ . En particular, si {ω1 , . . . , ωn } es la base dual de la base {e1 , . . . , en } en la que las coordenadas del vector e son (x1 , . . . , xn ), resulta que ωi (e) = xi = 0 para i = 1, . . . , n, lo que prueba que e = 0. • φ es epiyectiva pues es inyectiva y dimk E ∗∗ = dimk E. Observación. El teorema de Reflexividad permite identificar los vectores de E como elementos del espacio bidual E ∗∗ en el modo e(ω) = ω(e). De manera que si {ω1 , . . . , ωn } son las funciones coordenadas sobre E, los vectores {e1 , . . . , en } de su base dual se pueden entender como las funciones coordenadas sobre el espacio dual E ∗ . 5. Subespacio incidente. Dimensión. Propiedades Sea V un subespacio de E. Se define el siguiente subconjunto de E ∗ : V 0 = {ω ∈ E ∗ : ω(v) = 0 , para todo v ∈ V } Teorema 5.1. V 0 es un subespacio de E ∗ , el subespacio incidente con V , y su dimensión es: dimk V 0 = dimk E − dimk V Demostración. 1) V 0 es cerrado por combinaciones lineales. Si ω, ω 0 ∈ V 0 y λ, µ ∈ k, para cada v ∈ V se tiene: (λω + µω 0 )(v) = λω(v) + µω 0 (v) = 0 ⇒ λω + µω 0 ∈ V 0 . 2) Construyamos una base de V 0 . Sea {v1 , . . . , vm } una base de V . Ampliemos esta base para formar una base {v1 , . . . , vm , em+1 , . . . , en } de E y sea {θ1 , . . . , θm , θm+1 , . . . , θn } su base dual. Probaremos que las n − m formas lineales {θm+1 , . . . , θn } forman una base de V 0 : {θm+1 , . . . , θn } están en V 0 , ya que θm+1 (vi ) = 0, . . . , θn (vi ) = 0, para i = 1, . . . , m, pues {θ1 , . . . , θm , θm+1 , . . . , θn } es la base dual de {v1 , . . . , vm , em+1 , . . . , en }. {θm+1 , . . . , θn } generan V 0 . Si ω ∈ V 0 ⊆ E ∗ es ω = λ1 θ1 + · · · + λm θm + λm+1 θm+1 + · · · + λn θn y como ω(v) = 0 para todo v ∈ V , se tiene que ω(vi ) = λi = 0 para i = 1, . . . , m. Luego ω = λm+1 θm+1 + · · · + λn θn . {θm+1 , . . . , θn } son linealmente independientes pues forman parte de una base. Proposición 5.2. Propiedades del incidente. (1) E 0 = {0} , {0}0 = E ∗ . (2) Si E1 y E2 son subespacios de E tales que E1 ⊆ E2 se verifica E10 ⊇ E20 . (3) Si V es un subespacio de E, V 00 = V . (4) Si E1 y E2 son subespacios de E se verifica: (E1 + E2 )0 = E10 ∩ E20 , (E1 ∩ E2 )0 = E10 + E20 (5) Si E = E1 ⊕ E2 también E ∗ = E10 ⊕ E20 T T∗ (6) Si E − → E 0 es una aplicación lineal y E 0∗ −→ E ∗ su morfismo traspuesto, se verifica: ker T ∗ = (Im T )0 , Im T ∗ = (ker T )0 Demostración. (1) dimk E 0 = dimk E − dimk E = 0 ⇒ E 0 = {0}. {0}0 ⊆ E ∗ y dimk {0}0 = dimk E − 0 = dimk E ∗ ⇒ {0}0 = E ∗ . (2) Si ω ∈ E20 es ω(e2 ) = 0 para todo e2 ∈ E2 y como E1 ⊆ E2 también es ω(e1 ) = 0 para todo e1 ∈ E1 , luego ω ∈ E10 . (3) Si e ∈ V para toda ω ∈ V 0 es ω(e) = 0 y por reflexividad e(ω) = 0, luego e ∈ V 00 , ası́ V ⊆ V 00 y como dimk V 00 = dimk E ∗ − dimk V 0 = dimk E ∗ − dimk E − dimk V = dimk V es V = V 00 . (4) ) E1 ⊆ E1 + E2 ⇒ E10 ⊇ (E1 + E2 )0 ⇒ (E1 + E2 )0 ⊆ E10 ∩ E20 E2 ⊆ E1 + E2 ⇒ E20 ⊇ (E1 + E2 )0 ( ) 0 ω ∈ E1 ⇒ ω(e1 ) = 0 , ∀e1 ∈ E1 Por otra parte, para cada ω ∈ E10 ∩E20 ⇒ , luego ω(e1 + ω ∈ E20 ⇒ ω(e2 ) = 0 , ∀e2 ∈ E2 e2 ) = 0 para todo e1 + e2 ∈ E1 + E2 y por tanto ω ∈ (E1 + E2 )0 , lo que prueba que E10 ∩ E20 ⊆ (E1 + E2 )0 y(ası́ (E1 + E2 )0 = E10 ∩ E20 . ) E = E1 + E2 ⇒ E 0 = (E1 + E2 )0 ⇒ {0} = E10 ∩ E20 (5) Si E = E1 ⊕ E2 ⇒ , luego E1 ∩ E2 = {0} ⇒ (E1 ∩ E2 )0 = {0}0 ⇒ E10 + E20 = E ∗ E ∗ = E10 ⊕ E20 . (6) (Im T )0 = {ω 0 ∈ E 0∗ : ω 0 (T (e)) = 0 , ∀e ∈ E} = {ω 0 ∈ E 0∗ : T ∗ ω 0 = 0} = ker T ∗ Im T ∗ = {ω ∈ E ∗ : ω = T ∗ \ω 0 = ω 0 ◦ T } == {ω ∈ E ∗ : ω(e) = 0 , ∀e ∈ ker T } = (ker T )0 6. Ecuaciones paramétricas e implı́citas de un subespacio Sea V un subespacio de E y {v1 , . . . , vm } una base de V . Para todo e ∈ V se tiene: Ecuación paramétrico vectorial de V : e = λ1 v1 + · · · + λm vm , para ciertos λi ∈ k. Si se expresa esa ecuación en coordenadas respecto de una base de E, e = (x1 , . . . , xn ), vj = (a1j , . . . , anj ), se obtienen unas ecuaciones paramétricas de V : x1 = λ1 a11 + · · · + λm a1m .. .. .. . . . xn = λ1 an1 + · · · + λm anm De la ecuación paramétrico vectorial se sigue que la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores e, v1 , . . . , vm , respecto de una base de E, tiene rango m, rg(e, v1 , . . . , vm ) = m, para todo e ∈ V . De modo que, elegido un menor de orden m no nulo, esta condición equivale a la anulación de n − m menores de orden m + 1, que dan el número mı́nimo de ecuaciones linealmente independientes que definen unas ecuaciones implı́citas de V . Ejemplo 6.1. Sea V el subespacio de R4 generado por los vectores {v1 = (1, 0, 1, 1), v2 = (0, 1, 1, 1), v3 = (1, −1, 0, 0)}. Calculemos unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones implı́citas de V . dim V = rg(v1 , v2 , v3 ) = 2, V = hv1 , v2 i. • Ecuación paramétrico vectorial de V : e = λv1 + µv2 , para todo e ∈ V . x = λ y = µ . • Ecuaciones paramétricas z = λ + µ t=λ+µ • Ecuaciones implı́citas x 1 0 ⇒ −x − y + z = 0 y 0 1 x 1 0 y 0 1 z 1 1 =2⇒ rg z 1 1 x 1 0 t 1 1 y 0 1 ⇒ −x − y + t = 0 t 1 1 7. Subespacio incidente y ecuaciones implı́citas Sea V un subespacio de E de dimensión m. Por reflexividad se tiene: V = {e ∈ E : e(ω) = ω(e) = 0 para todo ω ∈ V 0 } Luego si se conoce una base del subespacio incidente con V , V 0 = hθ1 , . . . , θn−m i, el subespacio V queda determinado por las n − m escuaciones: V = {e ∈ E : θ1 (e) = · · · = θn−m (e) = 0} , que en coordenadas respecto de una base de E y su base dual dan unas ecuaciones implı́citas de V . Ejemplo 7.1. Sean {e1 , e2 , e3 , e4 } una base de E y {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 } su base dual. Si V es el subespacio de E del que se conoce una base {θ1 = 2ω1 − 3ω3 + ω4 , θ2 = ω1 − 2ω2 + ω3 − 3ω4 } de su subespacio incidente V 0 , unas ecuaciones implı́citas de V son: θ1 (e) = 0 e=xe1 +ye2 +ze3 +te4 2x − 3z + t = 0 −−−−−−−−−−−−→ x − 2y + z − 3t = 0 θ2 (e) = 0 Recı́procamente si se conocen unas ecuaciones implı́citas del subespacio V se tiene automáticamente una base de su subespacio incidente V 0 . x − y + 2t = 0 V ≡ ⇒ V 0 = hω1 − ω2 + 2ω4 , 2ω2 − 3ω3 i . 2y − 3z = 0 8. Problemas propuestos 1. Sean {e1 , e2 , e3 } una base de E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base dual. Probar que las formas lineales ω̄1 = 2ω1 − 3ω2 , ω̄1 = ω1 + ω2 − ω3 y ω̄1 = ω2 + ω3 forman una base de E ∗ y calcular su base dual {ē1 , ē2 , ē3 } 2. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientes reales, E = {ax2 + bx + c : a, b, c ∈ R}. (a) Demostrar que los polinomios 1 + x2 , x + x2 , 1 + x + x2 forman una base de E. (b) Sea {ω 1 , ω 2 , ω 3 } la base dual de la base anterior y {ω1 , ω2 , ω3 } la base dual de {1, x, x2 }. Calcular las coordenadas de ω 1 , ω 2 , ω 3 en la base {ω1 , ω2 , ω3 }. (c) Considerando el morfismo derivada D : E → E dado por D(p(x)) = p0 (x), calcular las coordenadas de la imagen de ω1 en la base {ω 1 , ω 2 , ω 3 } por el morfismo inducido en el dual. 3. Sea E un R-espacio vectorial, {e1 , e2 , e3 } una base de E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base dual. Sea T el endomorfismo de E definido por T (x, y, z) = (−3x + 2y + z, 3x + y + 5z, −3x − 3z) . Si T ∗ : E ∗ → E ∗ es el endomorfismo inducido en el dual, averigua si las formas lineales T ∗ (ω1 + 2ω2 ), T ∗ (2ω1 + ω2 ), T ∗ (ω1 + ω2 ) forman una base de E ∗ . 4. Sea E el espacio vectorial real de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 2. Sea {ω1 , ω2 , ω3 } la base dual de la base {1, x, x2 }. Se definen las aplicaciones ω 1 , ω 2 , ω 3 : E → R por las fórmulas: Z 1 Z 1 Z 1 ω 1 (p(x)) = p(x)dx , ω 2 (p(x)) = xp(x)dx , ω 3 (p(x)) = x2 p(x)dx 0 0 0 ∗ Pruébese que {ω 1 , ω 2 , ω 3 } es una base de E . Hállense las coordenadas de dichos elementos respecto de la base {ω1 , ω2 , ω3 }. Determinar en E una base para la cual {ω 1 , ω 2 , ω 3 } sea su base dual. 5. Sea E1 el subespacio de R4 generado por los vectores e1 = (1, 0, 1, 0), e2 = (2, 5, 4, 0) y sea E2 el subespacio de R4 generado por los vectores u1 = (0, 5, 5, 0), u2 = (5, 5, 7, 0), u3 = (−10, 1, 5, 1). (a) Calcula una base y la dimensión de los subespacios E1 , E2 E1 + E2 y E1 ∩ E2 . (b) Halla los subespacios incidentes de los del apartado anterior. 6. En un espacio vectorial de dimensión 5 sea {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 } una base y {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 } su base dual. Sea F el subespacio generado por los vectores u1 = e1 + e2 + e3 , u2 = e2 − e4 , u3 = e3 + 2e4 − e5 Hállese la dimensión de F y calcúlese una base de su espacio incidente. 7. Sea {e1 , e2 , e3 } una base de un R-espacio vectorial E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base dual. Dada la aplicación lineal T : E ∗ → E definida por T (ω1 ) = e1 − e2 , T (ω2 ) = 2e1 + e2 + e3 , T (ω3 ) = 3e2 + e3 Calcular bases de ker T , Im T , (ker T )◦ , (Im T )◦ . 8. Hallar las ecuaciones paramétricas e implı́citas del subespacio de R4 generado por los vectores (−2, 2, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (−6, 7, 4, 3). 9. Se consideran los siguientes subespacios de R4 generados por: E1 =< (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, −1, 1, −1) > E2 =< (1, 2, 3, 4), (−1, 0, 1, 3), (0, 1, −1, 2), (1, 2, −1, 4) > E3 =< (1, 2, 3, 0), (1, 0, 1, 0), (0, −1, 2, 0), (−1, 1, 3, 0) > Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones implı́citas de dichos subespacios. 10. Se considera en Q5 el subespacio V determinado por las ecuaciones 2x1 −x2 +x4 −x5 = 0, 4x1 + 2x2 + x5 = 0, 3x2 − x4 + 2x5 = 0. Determinar las ecuaciones paramétricas de V y calcular un suplementario. 11. Hallar las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial de R3 definido por 2x−y+z = 0. Deducir una base del mismo y calcular respecto de ella las coordenadas del vector (1, 3, 1). 12. Hallar las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial de R4 que tiene por ecuaciones implı́citas x + y − z + t = 0, x − y + z = 0. 13. Sean E1 y E2 los siguientes subespacios de R4 : E1 ≡ h(1, 1, 1, 0), (0, −1, −1, 0), (2, 1, 1, 0)i x+t=0 E2 ≡ x − y + z + 2t = 0 (a) (b) (c) (d ) Calcular bases y dimensiones de E1 , E2 , E1 ∩ E2 y E1 + E2 . ¿Es cierto que R4 = E1 ⊕ E2 ?. Calcular un suplementario de E1 . Calcular una base del subespacio incidente (E1 )◦ y las ecuaciones implı́citas de E1 . Calcular unas ecuaciones paramétricas de E2 . 14. Sea E un R-espacio vectorial de dimensión 3, {e1 , e2 , e3 } una base de E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base dual. (a) Dados los subespacios F =< e1 − e2 , 2e1 − e3 > y F 0 =< 2e2 + e3 , e1 + e2 + e3 >, calcula una base de (F ∩ F 0 )◦ y las ecuaciones implı́citas y paramétricas de F ∩ F 0 . (b) Demuestra que las formas lineales {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } definidas por ω̄1 (e) = x + y + z, ω̄2 (e) = y − 2z, ω̄3 (e) = x + y para cada vector e = xe1 + ye2 + ze3 , forman una base del espacio dual E ∗ . Calcula una base {ē1 , ē2 , ē3 } de E cuya base dual sea {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }. (c) Calcula las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 en la base {ē1 , ē2 , ē3 } y el incidente del subespacio < u > en función de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }.