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Universidad de Salamanca
1.
Gloria Serrano Sotelo
Departamento de MATEMÁTICAS
Espacio vectorial dual. Base dual. Funciones coordenadas
Sea E un k-espacio vectorial.
ω
El conjunto E ∗ de las aplicaciones lineales de E en k, E ∗ = {E −
→ k lineales }, es un kespacio vectorial respecto de la suma de aplicaciones lineales y del producto de una aplicación
lineal por un escalar.
E ∗ se llama espacio dual de E y los elementos de E ∗ se llaman formas lineales.
Teorema 1.1. (Base dual) Si {e1 , . . . , (
en } es una base de E , las n formas lineales
1 si i = j
{ω1 , . . . ωn } definidas por ωi (ej ) = δij =
, para 1 ≤ i, j ≤ n, forman una
0 si i 6= j
base de E ∗ , la base dual de {e1 , . . . , en }. En particular, dimk E ∗ = dimk E
Demostración.
• {ω1 , . . . ωn } generan E ∗ .
Sea ω ∈ E ∗ y ω(ei ) = λi ∈ k para i = 1 . . . n.
La forma lineal λ1 ω1 + · · · + λn ωn coincide con ω sobre la base {e1 , . . . , en }, (λ1 ω1 + · · · +
λn ωn )(ei ) = λi = ω(ei ), luego λ1 ω1 + · · · + λn ωn = ω, pues dos aplicaciones lineales que
coinciden sobre todos los vectores de una base son iguales.
• {ω1 , . . . ωn } son linealmente independientes.
Si λ1 ω1 + · · · + λn ωn = 0, para todo i = 1 . . . n se verifica que (λ1 ω1 + · · · + λn ωn )(ei ) = λi =
0.
Las formas lineales ωi son las funciones coordenadas sobre E, esto es, si e = x1 e1 + · · · + xn en
es ωi (e) = xi .
Por otra parte, si e = x1 e1 + · · · + xn en y ω = p1 ω1 + · · · + pn ωn se tiene:
ω(e) = x1 p1 + · · · + xn pn
2.
Morfismo traspuesto
T
θ◦T
Dada una aplicación lineal E −
→ E 0 , para cada θ ∈ E 0∗ la aplicación lineal E −−→ k es una
forma lineal θ ◦ T ∈ E ∗ , lo que permite definir una aplicación
T∗
E 0∗ −→ E ∗
θ 7→ θ ◦ T
que es lineal: T ∗ (λθ + µθ0 ) = (λθ + µθ0 ) ◦ T = λ(θ ◦ T ) + µ(θ0 ◦ T ) = λT ∗ (θ) + µT ∗ (θ0 ).
T ∗ es la aplicación lineal traspuesta o morfismo traspuesto de T .
T
Proposición 2.1. Si A es la matriz asociada al morfismo E −
→ E 0 respecto de las bases
T∗
{e1 , . . . , en } de E y {e01 , . . . , e0m } de E 0 , la matriz asociada al morfismo traspuesto E 0∗ −→ E ∗
respecto de las bases duales {ω10 , . . . , ωn0 } de E 0∗ y {ω1 , . . . , ωn } de E ∗ es la matriz traspuesta
de A.
Demostración. Si B = (bij ) es la matriz de T ∗ en las bases duales y A = (aij ) la matriz de
T en las bases dadas, se tiene:
m
m
n
X
X
X
∗
0
0
0
0
∗
0
T (ωj ) =
bij ωi ⇒ bij = T (ωj )(ei ) = ωj (T (ei )) = ωj (
aki ek ) =
aki ωj0 (e0k ) = aji
i=1
k=1
k=1
1
Ejemplo 2.2. Dada la aplicación lineal
T
R4 −
→ R3
(x, y, z, t) 7→ (x − 2y + t, y + z, x − t)
T∗
Calculemos bases y dimensión de Im T ∗ y ker T ∗ , siendo (R3 )∗ −→ (R4 )∗ su morfismo traspuesto.




1 0 1
1 −2 0 1
−2 1 0 
t
∗
∗


A = 0 1 1 0  ⇒ At = 
 0 1 0  , rg A = dim Im T = 3 ⇒ dim ker T = 3−3 = 0
1 0 0 −1
1 0 −1
Se deduce:
Im T ∗ = {(1, −2, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, −1)} ,
3.
ker T ∗ = {0}
Cambio de base en el dual
Sea {e1 , . . . , en } una base de E y {ω1 , . . . , ωn } su base dual en E ∗ . Y sean {ē1 , . . . , ēn } otra
base de E (base nueva de E) y {ω̄1 , . . . , ω̄n } su base dual (base nueva de E ∗ ). Si representamos
por B la matriz del cambio de base en E y por B ∗ la matriz de cambio de base en E ∗ , se
verifica:
B ∗ = (B t )−1
En efecto:
La aplicación que realiza el cambio de base de matriz B es
Id
B
hē1 , . . . , ēn i = E −−→
E = he1 , . . . , en i
y su morfismo traspuesto
Id
t
hω1 , . . . , ωn i = E ∗ −−B→ E ∗ = hω̄1 , . . . , ω̄n i
es preciasamente el inverso del morfismo del cambio de base en E ∗ de matriz B ∗ , (IdB t )−1 =
IdB ∗ , luego B ∗ = (B t )−1 .
• Cambio de base para formas lineales
Si ω = p1 ω1 + · · · + pn ωn = p̄1 ω̄1 + · · · + p̄n ω̄n , esto es, (p1 , . . . , pn ) son las coordenadas
antiguas de ω y (p̄1 , . . . , p̄n ) sus coordenadas nuevas , se tiene:
 
 
 
 
p̄1
p1
p̄1
p1
 ...  = (B ∗ )−1 ·  ...  ⇔  ...  = B t ·  ...  ⇔ p̄1 . . . p̄n = p1 . . . pn · B
p̄n
pn
p̄n
pn
Ejemplo 3.1. Sea {e1 , e2 , e3 } una base del R-espacio vectorial E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base dual.
(a) Probar que los vectores ē1 = e1 − e2 , ē2 = e1 + 2e2 + e3 y ē3 = e1 + e2 forman una nueva
base de E y calcular su base dual {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }.
(b) Calcular la expresión de la forma lineal ω = 3ω1 + 2ω2 en la base {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }
Solución 1
1
1
(a) |B| = −1 2 1 = 2 6= 0 ⇒ {ē1 , . . . , ēn } es una base de E y B es la matriz del cambio de base.
0 −1 0

1
1
1



ω̄
=
ω
−
ω
−
ω3
1
1
2

1 0 1

2
2
2
1
1
AdjB = −1 0 1 ⇒ ω̄2 = −ω3
B ∗ = (B t )−1 =
, pues las colum
|B|
2 −1 2 3

1
1
3

ω̄3 = ω1 + ω2 + ω3
2
2
2
nas de B ∗ son las coordenadas de las formas lineales de la nueva base {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } de E ∗
respecto de la base {ω1 , ω2 , ω3 }.
(b) 3 2 0 · B = 1 7 5 ⇒ ω = ω̄1 + 7ω̄2 + 5ω̄3 .

4.
Espacio bidual. Teorema de Reflexividad
El espacio bidual, E ∗∗ , es el dual del espacio dual E ∗ :
E ∗∗ = {E ∗ →
− k lineales} ,
dimk E ∗∗ = dimk E ∗ = dimk E .
Teorema 4.1. (Reflexividad). Si E es un k-espacio vectorial de dimensión finita, la apliφ
cación E →
− E ∗∗ definida por φ(e)(ω) = ω(e), para cada e ∈ E y ω ∈ E ∗ , es un isomorfismo.
Demostración.
• φ es lineal.
φ(λe+µe0 )(ω) = ω(λe+µe0 ) = λω(e)+µω(e0 ) = λφ(e)(ω)+µφ(e0 )(ω) = (λφ(e)+µφ(e0 ))(ω),
para toda ω ∈ E ∗ .
• φ es inyectiva.
Si e ∈ ker φ es φ(e) = 0, luego φ(e)(ω) = ω(e) = 0 para toda ω ∈ E ∗ . En particular, si
{ω1 , . . . , ωn } es la base dual de la base {e1 , . . . , en } en la que las coordenadas del vector e
son (x1 , . . . , xn ), resulta que ωi (e) = xi = 0 para i = 1, . . . , n, lo que prueba que e = 0.
• φ es epiyectiva pues es inyectiva y dimk E ∗∗ = dimk E.
Observación. El teorema de Reflexividad permite identificar los vectores de E como elementos
del espacio bidual E ∗∗ en el modo e(ω) = ω(e). De manera que si {ω1 , . . . , ωn } son las
funciones coordenadas sobre E, los vectores {e1 , . . . , en } de su base dual se pueden entender
como las funciones coordenadas sobre el espacio dual E ∗ .
5.
Subespacio incidente. Dimensión. Propiedades
Sea V un subespacio de E. Se define el siguiente subconjunto de E ∗ :
V 0 = {ω ∈ E ∗ : ω(v) = 0 , para todo v ∈ V }
Teorema 5.1. V 0 es un subespacio de E ∗ , el subespacio incidente con V , y su dimensión
es:
dimk V 0 = dimk E − dimk V
Demostración.
1) V 0 es cerrado por combinaciones lineales.
Si ω, ω 0 ∈ V 0 y λ, µ ∈ k, para cada v ∈ V se tiene: (λω + µω 0 )(v) = λω(v) + µω 0 (v) = 0 ⇒
λω + µω 0 ∈ V 0 .
2) Construyamos una base de V 0 .
Sea {v1 , . . . , vm } una base de V . Ampliemos esta base para formar una base {v1 , . . . , vm , em+1 , . . . , en }
de E y sea {θ1 , . . . , θm , θm+1 , . . . , θn } su base dual.
Probaremos que las n − m formas lineales {θm+1 , . . . , θn } forman una base de V 0 :
{θm+1 , . . . , θn } están en V 0 , ya que θm+1 (vi ) = 0, . . . , θn (vi ) = 0, para i = 1, . . . , m,
pues {θ1 , . . . , θm , θm+1 , . . . , θn } es la base dual de {v1 , . . . , vm , em+1 , . . . , en }.
{θm+1 , . . . , θn } generan V 0 .
Si ω ∈ V 0 ⊆ E ∗ es ω = λ1 θ1 + · · · + λm θm + λm+1 θm+1 + · · · + λn θn y como
ω(v) = 0 para todo v ∈ V , se tiene que ω(vi ) = λi = 0 para i = 1, . . . , m. Luego
ω = λm+1 θm+1 + · · · + λn θn .
{θm+1 , . . . , θn } son linealmente independientes pues forman parte de una base.
Proposición 5.2. Propiedades del incidente.
(1) E 0 = {0} , {0}0 = E ∗ .
(2) Si E1 y E2 son subespacios de E tales que E1 ⊆ E2 se verifica E10 ⊇ E20 .
(3) Si V es un subespacio de E, V 00 = V .
(4) Si E1 y E2 son subespacios de E se verifica:
(E1 + E2 )0 = E10 ∩ E20 ,
(E1 ∩ E2 )0 = E10 + E20
(5) Si E = E1 ⊕ E2 también E ∗ = E10 ⊕ E20
T
T∗
(6) Si E −
→ E 0 es una aplicación lineal y E 0∗ −→ E ∗ su morfismo traspuesto, se verifica:
ker T ∗ = (Im T )0 ,
Im T ∗ = (ker T )0
Demostración.
(1) dimk E 0 = dimk E − dimk E = 0 ⇒ E 0 = {0}.
{0}0 ⊆ E ∗ y dimk {0}0 = dimk E − 0 = dimk E ∗ ⇒ {0}0 = E ∗ .
(2) Si ω ∈ E20 es ω(e2 ) = 0 para todo e2 ∈ E2 y como E1 ⊆ E2 también es ω(e1 ) = 0 para
todo e1 ∈ E1 , luego ω ∈ E10 .
(3) Si e ∈ V para toda ω ∈ V 0 es ω(e) = 0 y por reflexividad e(ω) = 0, luego e ∈ V 00 ,
ası́ V ⊆ V 00 y como dimk V 00 = dimk E ∗ − dimk V 0 = dimk E ∗ − dimk E − dimk V = dimk V
es V = V 00 .
(4)
)
E1 ⊆ E1 + E2 ⇒ E10 ⊇ (E1 + E2 )0
⇒ (E1 + E2 )0 ⊆ E10 ∩ E20
E2 ⊆ E1 + E2 ⇒ E20 ⊇ (E1 + E2 )0
(
)
0
ω ∈ E1 ⇒ ω(e1 ) = 0 , ∀e1 ∈ E1
Por otra parte, para cada ω ∈ E10 ∩E20 ⇒
, luego ω(e1 +
ω ∈ E20 ⇒ ω(e2 ) = 0 , ∀e2 ∈ E2
e2 ) = 0 para todo e1 + e2 ∈ E1 + E2 y por tanto ω ∈ (E1 + E2 )0 , lo que prueba que
E10 ∩ E20 ⊆ (E1 + E2 )0 y(ası́ (E1 + E2 )0 = E10 ∩ E20 .
)
E = E1 + E2 ⇒ E 0 = (E1 + E2 )0 ⇒ {0} = E10 ∩ E20
(5) Si E = E1 ⊕ E2 ⇒
, luego
E1 ∩ E2 = {0} ⇒ (E1 ∩ E2 )0 = {0}0 ⇒ E10 + E20 = E ∗
E ∗ = E10 ⊕ E20 .
(6)
(Im T )0 = {ω 0 ∈ E 0∗ : ω 0 (T (e)) = 0 , ∀e ∈ E} = {ω 0 ∈ E 0∗ : T ∗ ω 0 = 0} = ker T ∗
Im T ∗ = {ω ∈ E ∗ : ω = T ∗ \ω 0 = ω 0 ◦ T } == {ω ∈ E ∗ : ω(e) = 0 , ∀e ∈ ker T } = (ker T )0
6.
Ecuaciones paramétricas e implı́citas de un subespacio
Sea V un subespacio de E y {v1 , . . . , vm } una base de V . Para todo e ∈ V se tiene:
Ecuación paramétrico vectorial de V : e = λ1 v1 + · · · + λm vm , para ciertos λi ∈ k.
Si se expresa esa ecuación en coordenadas respecto de una base de E, e = (x1 , . . . , xn ),
vj = (a1j , . . . , anj ), se obtienen unas ecuaciones paramétricas de V :


x1 = λ1 a11 + · · · + λm a1m
..
..
..
.
.
.


xn = λ1 an1 + · · · + λm anm
De la ecuación paramétrico vectorial se sigue que la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores e, v1 , . . . , vm , respecto de una base de E, tiene rango m,
rg(e, v1 , . . . , vm ) = m, para todo e ∈ V .
De modo que, elegido un menor de orden m no nulo, esta condición equivale a la anulación
de n − m menores de orden m + 1, que dan el número mı́nimo de ecuaciones linealmente
independientes que definen unas ecuaciones implı́citas de V .
Ejemplo 6.1. Sea V el subespacio de R4 generado por los vectores {v1 = (1, 0, 1, 1), v2 =
(0, 1, 1, 1), v3 = (1, −1, 0, 0)}. Calculemos unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones
implı́citas de V .
dim V = rg(v1 , v2 , v3 ) = 2, V = hv1 , v2 i.
• Ecuación paramétrico vectorial
de V : e = λv1 + µv2 , para todo e ∈ V .

x
=
λ



y = µ
.
• Ecuaciones paramétricas
z = λ + µ



t=λ+µ
• Ecuaciones implı́citas

 x
1
0







⇒ −x − y + z = 0


y
0
1
x 1 0






 y 0 1
z 1 1
=2⇒
rg 
 z 1 1
x 1 0 







t 1 1


y
0
1
⇒
−x
−
y
+
t
=
0




t 1 1
7.
Subespacio incidente y ecuaciones implı́citas
Sea V un subespacio de E de dimensión m.
Por reflexividad se tiene:
V = {e ∈ E : e(ω) = ω(e) = 0 para todo ω ∈ V 0 }
Luego si se conoce una base del subespacio incidente con V , V 0 = hθ1 , . . . , θn−m i, el subespacio V queda determinado por las n − m escuaciones:
V = {e ∈ E : θ1 (e) = · · · = θn−m (e) = 0} ,
que en coordenadas respecto de una base de E y su base dual dan unas ecuaciones implı́citas
de V .
Ejemplo 7.1. Sean {e1 , e2 , e3 , e4 } una base de E y {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 } su base dual. Si V es el
subespacio de E del que se conoce una base {θ1 = 2ω1 − 3ω3 + ω4 , θ2 = ω1 − 2ω2 + ω3 − 3ω4 }
de su subespacio incidente V 0 , unas ecuaciones implı́citas de V son:
θ1 (e) = 0 e=xe1 +ye2 +ze3 +te4
2x − 3z + t = 0
−−−−−−−−−−−−→
x − 2y + z − 3t = 0
θ2 (e) = 0
Recı́procamente si se conocen unas ecuaciones implı́citas del subespacio V se tiene automáticamente una base de su subespacio incidente V 0 .
x − y + 2t = 0
V ≡
⇒ V 0 = hω1 − ω2 + 2ω4 , 2ω2 − 3ω3 i .
2y − 3z = 0
8.
Problemas propuestos
1. Sean {e1 , e2 , e3 } una base de E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base dual. Probar que las formas lineales
ω̄1 = 2ω1 − 3ω2 , ω̄1 = ω1 + ω2 − ω3 y ω̄1 = ω2 + ω3 forman una base de E ∗ y calcular su base
dual {ē1 , ē2 , ē3 }
2. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientes
reales, E = {ax2 + bx + c : a, b, c ∈ R}.
(a) Demostrar que los polinomios 1 + x2 , x + x2 , 1 + x + x2 forman una base de E.
(b) Sea {ω 1 , ω 2 , ω 3 } la base dual de la base anterior y {ω1 , ω2 , ω3 } la base dual de {1, x, x2 }.
Calcular las coordenadas de ω 1 , ω 2 , ω 3 en la base {ω1 , ω2 , ω3 }.
(c) Considerando el morfismo derivada D : E → E dado por D(p(x)) = p0 (x), calcular las
coordenadas de la imagen de ω1 en la base {ω 1 , ω 2 , ω 3 } por el morfismo inducido en
el dual.
3. Sea E un R-espacio vectorial, {e1 , e2 , e3 } una base de E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base dual. Sea
T el endomorfismo de E definido por T (x, y, z) = (−3x + 2y + z, 3x + y + 5z, −3x − 3z) .
Si T ∗ : E ∗ → E ∗ es el endomorfismo inducido en el dual, averigua si las formas lineales
T ∗ (ω1 + 2ω2 ), T ∗ (2ω1 + ω2 ), T ∗ (ω1 + ω2 ) forman una base de E ∗ .
4. Sea E el espacio vectorial real de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 2. Sea {ω1 , ω2 , ω3 } la base dual de la base {1, x, x2 }. Se definen las
aplicaciones ω 1 , ω 2 , ω 3 : E → R por las fórmulas:
Z 1
Z 1
Z 1
ω 1 (p(x)) =
p(x)dx , ω 2 (p(x)) =
xp(x)dx , ω 3 (p(x)) =
x2 p(x)dx
0
0
0
∗
Pruébese que {ω 1 , ω 2 , ω 3 } es una base de E . Hállense las coordenadas de dichos elementos
respecto de la base {ω1 , ω2 , ω3 }. Determinar en E una base para la cual {ω 1 , ω 2 , ω 3 } sea su
base dual.
5. Sea E1 el subespacio de R4 generado por los vectores e1 = (1, 0, 1, 0), e2 = (2, 5, 4, 0)
y sea E2 el subespacio de R4 generado por los vectores u1 = (0, 5, 5, 0), u2 = (5, 5, 7, 0),
u3 = (−10, 1, 5, 1).
(a) Calcula una base y la dimensión de los subespacios E1 , E2 E1 + E2 y E1 ∩ E2 .
(b) Halla los subespacios incidentes de los del apartado anterior.
6. En un espacio vectorial de dimensión 5 sea {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 } una base y {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 }
su base dual. Sea F el subespacio generado por los vectores
u1 = e1 + e2 + e3 , u2 = e2 − e4 , u3 = e3 + 2e4 − e5
Hállese la dimensión de F y calcúlese una base de su espacio incidente.
7. Sea {e1 , e2 , e3 } una base de un R-espacio vectorial E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base dual. Dada la
aplicación lineal T : E ∗ → E definida por
T (ω1 ) = e1 − e2 , T (ω2 ) = 2e1 + e2 + e3 , T (ω3 ) = 3e2 + e3
Calcular bases de ker T , Im T , (ker T )◦ , (Im T )◦ .
8. Hallar las ecuaciones paramétricas e implı́citas del subespacio de R4 generado por los
vectores (−2, 2, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (−6, 7, 4, 3).
9. Se consideran los siguientes subespacios de R4 generados por:
E1 =< (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, −1, 1, −1) >
E2 =< (1, 2, 3, 4), (−1, 0, 1, 3), (0, 1, −1, 2), (1, 2, −1, 4) >
E3 =< (1, 2, 3, 0), (1, 0, 1, 0), (0, −1, 2, 0), (−1, 1, 3, 0) >
Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones implı́citas de dichos subespacios.
10. Se considera en Q5 el subespacio V determinado por las ecuaciones 2x1 −x2 +x4 −x5 = 0,
4x1 + 2x2 + x5 = 0, 3x2 − x4 + 2x5 = 0. Determinar las ecuaciones paramétricas de V y
calcular un suplementario.
11. Hallar las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial de R3 definido por 2x−y+z =
0. Deducir una base del mismo y calcular respecto de ella las coordenadas del vector (1, 3, 1).
12. Hallar las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial de R4 que tiene por ecuaciones implı́citas x + y − z + t = 0, x − y + z = 0.
13. Sean E1 y E2 los siguientes subespacios de R4 :
E1 ≡ h(1, 1, 1, 0), (0, −1, −1, 0), (2, 1, 1, 0)i
x+t=0
E2 ≡
x − y + z + 2t = 0
(a)
(b)
(c)
(d )
Calcular bases y dimensiones de E1 , E2 , E1 ∩ E2 y E1 + E2 .
¿Es cierto que R4 = E1 ⊕ E2 ?. Calcular un suplementario de E1 .
Calcular una base del subespacio incidente (E1 )◦ y las ecuaciones implı́citas de E1 .
Calcular unas ecuaciones paramétricas de E2 .
14. Sea E un R-espacio vectorial de dimensión 3, {e1 , e2 , e3 } una base de E y {ω1 , ω2 , ω3 }
su base dual.
(a) Dados los subespacios F =< e1 − e2 , 2e1 − e3 > y F 0 =< 2e2 + e3 , e1 + e2 + e3 >,
calcula una base de (F ∩ F 0 )◦ y las ecuaciones implı́citas y paramétricas de F ∩ F 0 .
(b) Demuestra que las formas lineales {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } definidas por
ω̄1 (e) = x + y + z,
ω̄2 (e) = y − 2z,
ω̄3 (e) = x + y
para cada vector e = xe1 + ye2 + ze3 , forman una base del espacio dual E ∗ . Calcula
una base {ē1 , ē2 , ē3 } de E cuya base dual sea {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }.
(c) Calcula las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 en la base {ē1 , ē2 , ē3 } y el incidente
del subespacio < u > en función de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }.