0 ² ² = + ± + + BA C By Ax

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Toda ecuación de primer grado entre las coordenadas (x, y) de un punto variable representa
una recta
Ax + By + C = 0
es entonces la forma mas general de la ecuación de una recta. La cual puede ser transformada
en cualquiera de las formas vistas anteriormente
a) si despejamos y
y = _ Ax _ C
B
B
que es la forma principal
b) dividiendo por C y pasando el término constante al segundo miembro, tenemos:
x
+
y
=1
-C/A
-C/B
que es la ecuación de segmentos
c) para transformar la ecuación general a la normal si el sistema es ortogonal
Multiplicamos la ecuación general por un factor indeterminado R, resulta
RAx + RBy + RC = 0
Determinamos R de modo que
RA = cosα
RB = sinα
Elevando al cuadrado estas dos igualdades
R²A² = cos²α
R²B² = sin²α
Sumando miembro a miembro
R²A² + R²B² = cos²α + sin²α
factorizando el primer miembro
R²(A² + B²) = 1
De donde obtenemos que:
R=
1
± A² + B²
El signo de la raíz debe elegirse de modo que RC resulte negativo, para que RC sea igual a –p.
La ecuación transformada es entonces
cos α =
A
± A² + B²
Ax + By + C
± A² + B²
cos β = sin α =
B
± A² + B²
=0
Los cosenos directores de la normal positiva de la recta son por lo tanto
Debiéndose dar a la raíz el signo contrario de C.
Ejemplo: dar la forma normal a la ecuación x – 2y + 3 = 0
Solución :
En este caso A = 1, B =- 2, C > 0, luego
1
R=
- 5
la ecaución t ransformad a es entonces
1
3
2
x+
y−
=0
5
5
5
d) el sistema de coordenadas es oblicuo con ángulo del sistema ω
También en este caso multiplicamos por R, y tenemos
RAx + RBy + RC = 0
y lo determinamos de modo que
RA = cosα
RB = cosβ
Pero β = α - ω, es decir ω = α - β
De donde
cosαcosβ + sinαsinβ = cosω
Sustituyendo en esta ecuación
cos α = RA, cos β = RB , snα = 1 − R ² A² , sinβ = 1 − R ² B²
Obtenemos la siguiente ecuación para calcular R
R² AB+ (1 − R² A²)(1 − R² B ²) =cos ω
Despejando R resulta
R=
sinω
± A² + B² − 2 AB cos ω
El signo de R queda determinado por la condición RC < 0 , y la ecuación transformada es:
( Ax + By + C ) sin ω
± A² + B ² − 2 AB cos ω
=0
Ejemplo: Dar la forma normal a la ecuación x + 2y + 3 = 0 siendo ω = 60°
Solución: en este caso A = 1, B = 2, C > 0 sinω = √3/2, cosω = ½, de donde
A² + B² - 2ABcosω = 3, la ecuación transformada es, entonces:
( x + 2 y + 3)
− 3
1
3
2
=0
O después de algunas transformaciones
_1x_y_1 =0
2
2