Colección de problemas de Teoría Microeconómica IV

Colección de problemas de
Teoría Microeconómica IV
Curso 3º - LE2011-2012
Iñaki Aguirre
Norma Olaizola
Marta San Martín
Fundamentos del Análisis Económico I
Universidad del País Vasco UPV/EHU
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
Tema 1. Teoría de Juegos No Cooperativos
1.- Considere los siguientes juegos en forma extensiva:
L
(4, 2)
L
(4, 2)
(2, 3)
I
2
(2, 3)
I
M
M
2
O
1
(3, 2)
1
D
2
(1, 1)
P
L
(3, 2)
M
(1, 1)
D
Juego 1
Juego 2
(2, 3)
I
(0, 0)
O
D
1
u
2
2
P
1
r
(3, 0)
s
r
(0, 3)
(1, 1)
s
(4, 2)
v
Juego 3
(1, 2)
L
(-1, 0)
T
M
1
(3, 1)
u
2
P
1
v
2
Juego 4
I
1
(0, 0)
M
O
D
2
s
(3, 1)
L
2
r
1
u
(2, 2)
v
u
(3, 0)
(0, 3)
P
Juego 5
2
1
v
(1, 1)
(1, 3)
(1, 1)
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
(i) Para todos los juegos: describa las estrategias de cada jugador y los subjuegos.
(ii) Represente en forma normal los juegos 1, 2, 3 y 5.
(iii) Obtenga los equilibrios de Nash de todos los juegos. Considerando la
representación de los juegos en forma normal, ¿qué equilibrios sobreviven a la
eliminación de estrategias débilmente dominadas?
(iv) Obtenga los equilibrios perfectos en subjuegos.
Solución
(i) Juego 1 ⇒ 3 subjuegos. Estrategias jugador 1: I y D. Estrategias jugador 2: LO, LP,
MO y MP. Juego 2 ⇒ 1 subjuego. Estrategias jugador 1: I y D. Estrategias jugador 2: L
y M. Juego 3 ⇒ 3 subjuegos. Estrategias jugador 1: Iu, Iv, Du y Dv. Estrategias jugador
2: Or, Os, Pr y Ps. Juego 4 ⇒ 4 subjuegos. Estrategias jugador 1: Lu, Lv, Mu y Mv.
Estrategias jugador 2: Tr, Ts, Pr y Ps. Juego 5 ⇒ 5 subjuegos. Estrategias jugador 1:
Iuu, Iuv, Ivu, Ivv, Duu, Duv, Dvu y Dvv. Estrategias jugador 2: LO, LP, MO y MP.
(ii) Inmediato desde apartado (i).
(iii) Juego 1 ⇒ EN ⇒ (I, MP) y (D, MO) (sobrevive a EIEDD). Juego 2 ⇒ EN ⇒ (I,
M) .
(iv) Juego 1 ⇒ EPS ⇒ (D, MO). Juego 2 ⇒ EPS ⇒ (I, M). Juego 3 ⇒ EPS ⇒ (Dv,
PS). Juego 4 ⇒ EPS ⇒ (Mu, Pr). Juego 5 ⇒ EPS ⇒ (Ivv, LP).
3
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
2.- Considere el siguiente juego en forma extensiva:
(2, 1)
T
I
2
1
(3, α)
S
P
D
a
(2, 2)
b
(1, 3)
a
(3, β)
1
2
Q
(0, 0)
b
(i) Represente el juego en forma normal.
(ii) ¿Para qué valores de α y β la combinación de estrategias (Ia, SP) constituye el
único equilibrio perfecto en subjuegos?
(iii) ¿Existen valores de α y β tales que la combinación de estrategias (Db, TP) es un
equilibrio de Nash?
(iiiv) Suponga que α = 0, ¿Hay algún valor de β que haga que la combinación de
estrategias (Da, SQ) sea un equilibrio perfecto en subjuegos?
Solución
(ii) α >1 y β < 2. (iii) No. (iv) No.
4
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
3.- Se dispone de la siguiente información sobre el juego en forma estratégica adjunto:
a) La estrategia B domina débilmente a la estrategia A del jugador 1.
b) La combinación de estrategias (C, I) no es un equilibrio de Nash.
2
1
H
I
J
A
(4, 2)
(2, 0)
(0, 3)
B
(5, 1)
(3, 2)
(c, 4)
C
(5, 1)
(6, 2)
(a, b)
Discuta la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
(i) El jugador 2 tiene una estrategia dominante.
Si la combinación de estrategias (C, J) constituye un equilibrio de Nash:
(ii) Es el único equilibrio de Nash.
(iii) La estrategia C domina estrictamente a la estrategia A.
(iv) (C, J) es el único equilibrio no basado en estrategias débilmente dominadas.
Solución
(i) Verdadera, J es una estrategia dominante.
(ii) Falsa. (a) ⇒ c ≥ 0 y si (C, J) es un EN ⇒ a ≥ c ⇒ pueden existir más equilibrios.
(iii) Falsa.
(iv) Verdadera.
5
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Colección de problemas
4.- Considere el siguiente juego en forma extensiva:
L2
L1
h1
(2, 1)
f1
(3, 0)
1
l1
2
S2
2
1
1
M1
2
r1
T2
(-1, -1)
M2
(0, 0)
l2
(2, 2)
r2
l2
(0, 4)
(4, 0)
r2
(1, 1)
(a) Defina la noción de equilibrio de Nash.
(b) ¿Es (M1 f1 r1, L2 T2 r2) un equilibrio de Nash?
(c) Defina la noción de equilibrio perfecto en subjuegos?
(d) Obtenga el equilibrio perfecto en subjuegos?
Solución
(b) No. ⇒ MR1(L2T2 r2 ) = {L1 f1l1 , L1 f1r1}
(d) EPS ⇒ (L1 f1r1 ,S2 M2 r2 ) .
5.- Considere el siguiente juego de tres jugadores en forma extensiva:
L2
L1
L3
(2, 0, 0)
M3
(2, 1, 1)
3
2
L3
(3, 2, 2)
M3
S3
(0, 2, 0)
M2
1
M1
S2
T3
3
2
T2
6
S3
T3
(4, 2, 1)
(0, 0, 3)
(-1, -2, 0)
(2, -1, -1)
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
¿Son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones? ¿ Por qué?:
(a) Se trata de un juego de información perfecta.
(b) La mejor respuesta del jugador 2 ante la combinación de estrategias de los demás
jugadores (M1, L3T3) es S2.
(c) (4, 2, 1) es un equilibrio de Nash.
(d) (M1, L2T2,L3S3) es un equilibrio de Nash.
(e) Existe un único equilibrio perfecto en subjuegos.
Solución
(a) No. (b) No, S2 no es una estrategia del jugador 2. (c) No. Un equilibrio de Nash
siempre será una combinación de estrategias. (d) No, el jugador 1 tiene incentivos a
cambiar de estrategia (v) Si. EPS ⇒ (L1, M2S2,L3T3).
6. Considere el siguiente juego de tres jugadores en forma extensiva:
(a) Defina las nociones de estrategia y equilibrio de Nash.
(0, 2, 1)
(5, 3, 4)
(10, 5, 3)
(11, 5, 11)
w
3
(9, 20, 5)
(7, 9, 11)
(9, 7, 8)
w
(b) Obtenga los equilibrios de Nash.
7
(2, 15, 6)
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
(c) Obtenga los equilibrios perfectos en subjuegos.
Solución
(b) EN: (I, MP, w), (D, LP, u) y (D, MP, u).
(c) EPS: (D, MP, u).
7.- Considere el siguiente juego simultáneo con tres jugadores
Jugador 2
H
A
Jugador 2
H
I
(5, 3, 2)
(4, 11, 1)
I
A
(1, 3, 6)
(5, 11, 0)
B
(9, 0, 3)
(4, 8, 2)
Jugador 1
Jugador 1
B
(3, 11, 0)
(0, 8, 2)
R
T
Jugador 3
Obtenga los equilibrios de Nash.
Solución
(5, 3, 2) (4, 11, 1)
(1, 3, 6) (5, 11, 0)
(3, 11, 0) (0, 8, 2)
(9, 0, 3) (4, 8, 2)
8
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
8. (i) Defina las nociones de estrategia estrictamente dominada y de equilibrio de Nash
(en estrategias puras).
Considere el siguiente juego en forma normal:
H
A
1 B
C
2
I
(2, 0, 1) (4, 1, 3) (0, 3, 1)
2
I
H
J
H
J
J
A
(1, 2, 0) (4, 3, 2) (3, 3, 1)
(3, 2, 4) (3, 3, 2) (5, 1, 2) 1 B
(1, 0, 1) (3, 1, 0) (6, 3, 1) 1 B
(1, 1, 3) (3, 2, 1) (4, 4, 3)
(2, 1, 2) (2, 2, 3) (2, 0, 2)
(3, 0, 1) (4, 1, 1) (1, 0, 0)
(0, 0, 2) (1, 1, 2) (0, 2, 1)
A
C
(1, 2, 3) (4, 4, 1) (5, 1, 0)
2
I
R
S
C
T
3
(ii) ¿Qué estrategias sobreviven a la eliminación iterativa de estrategias estrictamente
dominadas? Explique detalladamente.
(iii) Obtenga el(los) equilibrio(s) de Nash en estrategias puras? Explique su respuesta.
Solución
(iii) EN: (B, J, T).
9
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
9.- (i) Defina las nociones de estrategia estrictamente dominada y de equilibrio de Nash
(en estrategias puras).
Considere el siguiente juego de cuatro jugadores en forma normal:
α
(1, 3, 2, 2) (3, 2, 3, 1)
(4, 4, 4, 3)
(1, 3, 2, 1)
(5, 2, 3, 0) (2, 1, 1, 1)
(5, 1, 2, 1)
(2, 0, 0, 2)
β
Jugador 4
(2, 1, 3, 0)
(4, 1, 0, 1) (3, 0, 2, 0)
(5, 2, 2, 4)
(2, 5, 3, 3) (1, 4, 1, 2)
(3, 7, 1, 3) (3, 6, 2, 1)
(1, 5, 1, 0)
(2, 2, 0, 1)
(7, 3, 5, 1) (3, 1, 4, 4)
(2, 3, 0, 4)
(1, 2, 1, 3)
(6, 2, 2, 2) (5, 0, 4, 0)
γ
(ii) ¿Qué estrategias sobreviven a la eliminación iterativa de estrategias estrictamente
dominadas? Explique detalladamente.
(iii) Obtenga el(los) equilibrio(s) de Nash en estrategias puras? Explique su respuesta.
10
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
10. Considere el siguiente juego con tres jugadores. En la primera etapa del juego el
jugador 1 dispone de dos posibles acciones, L y R. Una vez que ha decidido el jugador 1
el jugador 2 que no observa lo que ha jugado el jugador 1, tiene que elegir entre O y P.
Por último, le toca jugar al jugador 3 que sin observar lo que han elegido los jugadores
1 y 2 tiene que elegir entre h y s. Los pagos (desde arriba hacia abajo en el árbol de
decisión) son (2,1,3) (4,2,1) (0,2,0) (1,0,1) (4,0,2) (3,1,1) (α, β, γ) (0,0,0).
(i) Represente el juego en forma extensiva. Defina la noción de estrategia. Represente el
juego en forma normal.
(ii) Defina la noción de equilibrio de Nash. ¿Bajo qué condiciones existirá en este
juego un único equilibrio de Nash? (R, O, h) único equilibrio de Nash si a) β < 0 b) β =
0 α o γ <0. (R, P, h) único equilibrio de Nash si β>0, α ≥ 0 y γ ≥ 0 .¿Bajo qué
condiciones existirá en este juego dos equilibrios de Nash? (R, O, h) y (R, P, h) son
ambos equilibrios de Nash si β=0, α ≥ 0 y γ ≥ 0 . Explique detalladamente su respuesta.
(iii) Defina subjuego y equilibrio perfecto en subjuegos. ¿Es cierto que este juego tiene
siempre al menos un equilibrio perfecto en subjuegos? Si β > 0 y α o γ < 0 entonces no
hay equilibrio de Nash y, por tanto, tampoco hay equilibrio perfecto en subjuegos.
11. Dado el siguiente juego en forma estratégica:
B
C
NC
C
(a, a)
(c, d)
NC
(d, c)
(b, b)
A
(i)
¿Qué relación debe existir entre los parámetros para que sea un dilema del
prisionero?
11
Tª Microeconómica IV
(ii)
Colección de problemas
Suponga que el juego se repite un número infinito de veces. ¿Cómo debe ser el
factor de descuento para que la colusión se pueda sostener como equilibrio?
Solución
(i) c > b > a > d.
(ii)δ ≥
c−b
.
c−a
12.- Se dispone de la siguiente información sobre el juego en forma normal adjunto:
a) La estrategia B domina débilmente a la estrategia A del jugador 1.
b) La estrategia C domina estrictamente a la estrategia A del jugador 1.
c) La combinación de estrategias (C, J) no es un equilibrio de Nash.
2
1
H
I
J
A
(4, 2)
(2, 0)
(0, 3)
B
(5, 1)
(3, 2)
(c, 4)
C
(5, 1)
(6, 2)
(a, b)
Discuta la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
(i) El jugador 2 tiene una estrategia dominante.
(ii) El jugador 2 tiene una estrategia estrictamente dominada.
(iii) B es una estrategia débilmente dominada para el jugador 1.
(iv) En el juego existe un único equilibrio de Nash.
(v) En el juego existe un único equilibrio de Nash no basado en estrategias débilmente
dominadas.
Solución
a) ⇒ c ≥ 0 ; b) ⇒ a > 0 ; c) ⇒ o b < 2 o c > a o ambas.
12
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
Tema 2. El oligopolio
1.- Considere un duopolio de Cournot que se enfrenta a una función inversa de demanda
p(x) = a - bx. Sean c1 y c2 los costes marginales constantes de las empresas 1 y 2,
respectivamente (y no hay costes fijos).
(i) ¿Cuál es el equilibrio de Nash si ci <
a + cj
2
, i, j = 1, 2, j ≠ i ?
(ii) ¿Cuál sería el equilibrio de Nash si c1 < c2 < a y c2 >
a + c1
?
2
Solución
(i) xi =
*
(ii) x1 =
*
a − 2ci + c j
3b
, i, j = 1, 2, j ≠ i.
a − c1 *
, x2 = 0.
2b
2.- Considere un oligopolio de Cournot con n empresas que producen un bien
homogéneo. La función inversa de demanda es p ( x) = 10 x
−
1
2
y todas las empresas
tienen el mismo coste marginal constante, c > 0 (no hay costes fijos). (Nota: la función
−2
directa de demanda es x ( p ) = 100 p )
(i) Calcule la producción de cada empresa en el equilibrio (simétrico) de Cournot-Nash,
la producción de la industria y el precio de equilibrio.
(ii) ¿Cuáles son la producción y el precio de monopolio en este mercado? Considere el
acuerdo de colusión simétrico (reparto equitativo de la producción de monopolio) ¿Qué
cantidad produciría cada empresa si todas ellas respetan el acuerdo? Muestre que el
acuerdo de colusión simétrico no se puede sostener como equilibrio.
13
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
3.- Considere un oligopolio de Cournot con n empresas que producen un bien
homogéneo. La función inversa de demanda es p(x) = a – bx y todas las empresas
tienen el mismo coste marginal constante, c (no hay costes fijos y a > c).
(i) Obtenga la función de mejor respuesta de la empresa i ante las producciones de las
demás empresas, fi(x-i), donde x-i = x1 +..+ xi-1 +.+ xi+1 +..+ xn =
∑x
j ≠i
j
. Calcule la
producción de cada empresa en el equilibrio de Cournot-Nash, la producción de la
industria, el precio de equilibrio y el beneficio de cada empresa. Muestre que un
aumento en el número de empresas reduce la producción de cada empresa en equilibrio,
eleva la producción agregada, reduce el precio y los beneficios. ¿Qué ocurre cuando
n → ∞?
(ii) Considere el acuerdo de colusión simétrico (reparto equitativo de la producción de
monopolio) y muestre que no se puede sostener como equilibrio.
(iii) ¿Es el juego de duopolio de Cournot un dilema del prisionero?
Solución
(i)
x* =
fi(x-i)
=
 a − c − bx− i 
max 
,0  ;
2b


a−c
,
b(n + 1)
i
=
1,...,
n;
n(a − c) * a + nc * (a − c) 2
;p =
; πi =
, i = 1,...., n.
n +1
b(n + 1)2
b(n + 1)
lim xi* (n) = 0 ; lim x* (n) =
n→∞
xi* =
n→∞
a−c
*
*
; lim p (n) = c ; lim π i (n) = 0 .
n→
∞
n→
∞
b
x m (a − c )
(ii) El acuerdo de colusión simétrico, x =
, i = 1,..., n no es equilibrio
=
n
2bn
m
i
(a − c)(n + 1)
xm
x m ( a − c)
m
m
= fi ((n − 1) ) = f i ( x−i ) > xi =
=
.
de Nash ya que:
4bn
n
n
2bn
14
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
(iii) Un juego es un dilema del prisionero si cada jugador tiene una estrategia
dominante, y el equilibrio de Nash resultante no es eficiente (existe otra asignación que
proporciona mayores pagos a ambos jugadores). El juego de duopolio de Cournot no es
un dilema del prisionero, ya que los jugadores no tienen estrategias dominantes. Aunque
es cierto que las empresas obtendrían mayores beneficios si cooperasen.
4.- Considere un mercado con n empresas que producen un bien homogéneo. La función
inversa de demanda es p(x) = a – x y todas las empresas tienen el mismo coste
marginal constante, c (no hay costes fijos y a > c).
(i) Suponga que n = 3 y las tres empresas eligen simultáneamente sus niveles de
producción. Obtenga la función de mejor respuesta de la empresa i ante las
producciones de las demás empresas, fi(x-i). Calcule la producción de cada empresa en
el equilibrio de Cournot-Nash, la producción de la industria, el precio de equilibrio y el
beneficio de cada empresa.
(ii) Considere el siguiente juego en tres etapas:
Etapa 1: la empresa 1 elige su nivel de producción x1≥ 0.
Etapa 2: la empresa 2 elige su nivel de producción x2≥ 0, después de observar x1.
Etapa 3: la empresa 3 elige su nivel de producción x3≥ 0, después de observar x1 e x2.
(a) Obtener el equilibrio perfecto en subjuegos, las producciones de las empresas, el
precio de mercado y los beneficios.
(b) Obtenga otro equilibrio de Nash que no sea perfecto en subjuegos. Explique su
respuesta.
15
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
(iii) Considere el siguiente juego en tres etapas:
Etapa 1: la empresa 1 elige su nivel de producción x1≥ 0.
Etapa 2: la empresa 2 elige su nivel de producción x2≥ 0, sin observar x1.
Etapa 3: la empresa 3 elige su nivel de producción x3≥ 0, sin observar x1 e x2.
(a) Represente el juego en forma normal.
(b) Obtenga el equilibrio de Nash y el equilibrio perfecto en subjuegos. Compare la
solución con el equilibrio de Cournot.
Solución
a−c
3(a − c)
 a − c − x− i 
*
,0  ; xi* =
, i = 1, 2, 3; x =
;
2
4
4


(i) fi(x-i) = max 
a + 3c * (a − c) 2
p =
; πi =
, i = 1, 2, 3.
4
16
*
(ii) (a)
EPS: x1 =
*
a−c
 a − c − x1 
= x m ; x2* ( x1 ) = max 
,0  ;
2
2


 a − c − x1 − x2 
x3* ( x1 , x2 ) = max 
,0 
2


x3* = x3* ( x1* , x2* ) =
π 1* =
x1* =
a−c
;
2
x2* = x2* ( x1* ) =
a − c * 7(a − c) * a + 7c
;x =
;p =
8
8
8
(a − c) 2 * (a − c) 2 * (a − c) 2
; π2 =
; π3 =
.
16
32
64
(b) x1 =
a−c
a − c

a − c

; x2 ( x1 ) = 
, ∀ x1  x3 ( x1 , x2 ) = 
, ∀ x1 e x2  .
4
 4

 4

16
a−c
;
4
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
5.- Considere dos empresas que venden productos diferenciados cuyas funciones
inversas de demanda vienen dadas por:
p1 ( x1 , x2 ) = α − β x1 − γ x2 
 (1)
p2 ( x1 , x2 ) = α − β x2 − γ x1 
Las funciones directas de demanda son:
x1 ( p1 , p2 ) = a − bp1 + dp2 
 (2)
x2 ( p1 , p2 ) = a − bp2 + dp1 
(i) Muestre que a =
α
β +γ
;b =
β
β −γ
2
yd =
2
γ
β −γ 2
2
.
Suponga que los costes de producción de las empresas son nulos.
(ii) Obtenga el equilibrio de Nash cuando las empresas compiten simultáneamente en
cantidades (equilibrio de Cournot).
(iii) Obtenga el equilibrio de Nash cuando las empresas compiten simultáneamente en
precios (equilibrio de Bertrand).
(iv) Muestre que, en comparación con los resultados en Bertrand, las producciones de
las empresas son menores y los precios mayores en Cournot.
Solución
(ii) xi =
c
α
αβ
, pic =
, i = 1,2.
2β + γ
2β + γ
(iii) pi =
a
ab
, xib =
, i = 1, 2.
2b − d
2b − d
(iv) pi =
α (β − γ ) b
αβ
, xi =
, i = 1, 2.
2β − γ
( β + γ )(2 β − γ )
b
b
Por tanto, pi < pi , xi > xi , i = 1,2.
b
c
b
c
17
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
6.- Considere un duopolio de Bertrand que produce un bien homogéneo. La función de
demanda es x ( p ) = 100 p
−2
y las empresas tienen el mismo coste marginal constante,
c > 0 (no hay costes fijos).
(i) Caracterice el equilibrio de Bertrand-Nash (describa el juego en forma normal, la
demanda residual de cada empresa, defina la noción de equilibrio, muestre que la
solución propuesta es efectivamente un equilibrio de Nash y que es único), obtenga la
producción de la industria en equilibrio y el beneficio de cada empresa.
(ii) ¿Cuáles serían el precio y la producción de monopolio en este mercado? ¿Qué
combinación de estrategias representaría el acuerdo de colusión? Muestre que el
acuerdo de colusión no se puede sostener como equilibrio.
(iii) Compare la producción agregada del equilibrio de Bertrand con la producción
eficiente. Calcule la pérdida irrecuperable de eficiencia.
7.- Considere un oligopolio de Cournot con n empresas que producen un bien
homogéneo. La función inversa de demanda es p ( x ) = a − bx y todas las empresas
tienen el mismo coste marginal constante, c (no hay costes fijos y a > c).
(i) Calcule la producción de cada empresa en el equilibrio de Cournot-Nash, la
producción de la industria, el precio de equilibrio y el beneficio de cada empresa.
(ii) Considere el acuerdo de colusión simétrico (reparto equitativo de la producción de
monopolio) y muestre que no se puede sostener como equilibrio. Calcule el beneficio
que obtendría una empresa si las demás respetan el acuerdo de colusión y ella se desvía
óptimamente.
(iii) Suponga que el juego se repite durante infinitos periodos. Obtenga el factor de
descuento crítico a partir del cual la colusión se puede sostener como equilibrio del
juego repetido. Muestre que el factor de descuento crítico aumenta al aumentar el
18
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
número de empresas y, por tanto, que cuanto mayor sea el número de empresas más
difícil es que la colusión sea estable.
Solución
(n + 1) 2 (a − c) 2
(ii) π = π i ( f i ( x ), x ) =
16bn 2
d
i
m
−i
m
−i
π id − π im
(n + 1) 2
(iii) δ (n) = d
=
π i − π i* (n + 1)2 + 4n
d δ ( n)
>0
dn
lim δ (n) = 1
n →∞
19
Tª Microeconómica IV
Colección de problemas
Tema 3. El monopolio
1.- Demuestre gráfica y analíticamente que un monopolista que se enfrenta a una
demanda lineal producirá en el tramo elástico de la demanda si su coste marginal
constante de producción c es positivo y en el punto de elasticidad unitaria si c = 0.
Solución
ε (x) = ∞
p
ε (x) >1
p(x)
ε (x) = 1
ε (x) <1
ε (x) = 0
x
r' (x)
2.- Considere un monopolista con una función de costes C(x) = cx, con c > 0, y una
función inversa de demanda p(x), con p’(x) < 0. Suponga que p(0) > c.
m
dp
(i) ¿Cómo es
si la función inversa de demanda es estrictamente convexa? ¿Cuál
dc
m
dp
es si la inversa de demanda es p ( x ) = a − b ln x ?
dc
m
dp
(ii) ¿Cómo es
si la función inversa de demanda es lineal?
dc
m
dp
(iii) ¿Cómo es
si la función inversa de demanda es estrictamente cóncava?
dc
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Colección de problemas
Solución
m
m
m
dp
1 dp
dp
1
dp
1
> .
= 1. (ii)
= . (iii)
< .
(i)
dc
2 dc
dc
2
dc
2
3.- Considere dos funciones de costes alternativas para el monopolista: C1 ( x ) y
C2 ( x) . Suponga que las funciones de costes son diferenciables y que
C2' ( x) > C1' ( x) ∀x . Demuestre que el precio de monopolio es una función no
decreciente del coste marginal.
Solución
m
m
m
m
Sean ( p1 , x1 ) y ( p2 , x2 ) el precio y la producción de monopolio cuando los costes
son C1 ( x ) y C2 ( x ) , respectivamente. Por maximización de beneficios (argumento de
rentabilidad revelada):
p1m x1m − C1 ( x1m ) ≥ p2m x2m − C1 ( x2m )
p2m x2m − C2 ( x2m ) ≥ p1m x1m − C2 ( x1m )
Sumando
C2 ( x1m ) − C2 ( x2m ) ≥ C1 ( x1m ) − C1 ( x2m )
Por tanto,
∫
x1m
x2m
[C2' ( z ) − C1' ( z )]dz ≥ 0
Por hipótesis C2 ( x ) > C1 ( x ) ∀x , luego x1 ≥ x2 . Como p '( x ) < 0 se concluye
'
'
m
p2m ≥ p1m .
21
m
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4.- Considere un monopolista que se enfrenta a una función inversa de demanda lineal
p(x) = a − bx y coste marginal constante c > 0.
(i) Obtenga el precio, la producción y el beneficio del monopolista.
(ii) Calcule el bienestar social correspondiente a la producción de monopolio.
(iii) Obtenga la producción eficiente y la pérdida irrecuperable de eficiencia.
Solución
a − c m a + c m (a − c)
(i) x =
;p =
;π =
2b
2
4b
2
m
xm
(ii) W (x ) = ∫0
m
3(a − c)
[u' (z) − c' (z)]dz =
8b
2
xe
(a − c)
(a − c) 2
(iii) x =
; PIE = ∫ m [u '( z ) − c '( z )]dz =
x
b
8b
e
5.- Considere un monopolista que se enfrenta a una función de demanda x ( p ) = Ap
con b > 1 y coste marginal constante c > 0.
(i) Obtenga el precio, la producción y el beneficio del monopolista.
(ii) Calcule el bienestar social correspondiente a la producción de monopolio.
(iii) Obtenga la producción eficiente y la pérdida irrecuperable de eficiencia.
Solución
− ( b−1)
 b  −b m
b
A b 
m
(i) x = A 
c ; p =
c; π = 
c
 b −1 
b−1
b  b −1 
m
xm
(ii) W (x ) = ∫0
m
 b  −b (2b − 1) − (b −1)
[u' (z) − c' (z)]dz = A 

c
 b −1 (b − 1)2
22
−b
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(iii) x = Ac
e
Colección de problemas
−b
− (b−1)

A
− b −b (2b −1)
− (b−1) (b − 1)


PIE = ∫x m [u' (z) − c' (z)]dz =
c


(b − 1)
(b − 1)− (b−1)
x*
6.- ¿Si deseamos que un monopolista produzca la cantidad eficiente qué debemos hacer:
subvencionarle o gravarle con un impuesto por unidad?
Solución
Impuesto por unidad producida: t
π' (x tm ) = p(x tm ) + x tm p' (x tm ) − c' (x tm ) − t = 0
Si queremos que xt = x entonces t = x p '( x ) < 0 .
m
e
e
e
7.- Un monopolista vende en dos mercados y aunque puede cobrar precios distintos en
los dos, debe vender todas las unidades dentro de un mercado al mismo precio.
(i) Si las funciones de demanda son lineales, xi ( pi ) =
ai 1
− pi , i = 1, 2 , y el coste
bi bi
marginal de producción es nulo, ¿en qué condiciones relativas a los parámetros decidirá
el monopolista no practicar la discriminación de precios? (ii)¿Bajo qué condiciones la
discriminación de precios representará una mejora en el sentido de Pareto con respecto
al precio uniforme?
(iii) Si las funciones de demanda son xi ( pi ) = Ai pi
− bi
, i = 1,2 , y coste marginal
constante c > 0, en qué condiciones relativas a los parámetros decidirá el monopolista
no practicar la discriminación de precios. (Suponga soluciones interiores).
Solución
(i) a1 = a2
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{m
Colección de problemas
(ii) Si p = max p1 , p2
m
m
}y p1m ≠ p2m
(iii) b1 = b2
8.- Un monopolista es capaz de distinguir dentro de su mercado total tres submercados
completamente separados cuyas demandas lineales aparecen representadas en el gráfico
adjunto. Suponga que el coste marginal constante es igual a c > 0.
p
x1 ( p1 )
x2 ( p2 )
x3 ( p3 )
c
x
¿En qué mercado establecerá el monopolista el mayor precio? Demostrar.
Solución
Con demanda lineal: pi (x ) = ai − bi x ; xi ( p ) =
ε i ( x) =
ai − bi x
p
y ε i ( p) =
bi x
ai − p
Por tanto, p1 = p2 = p3 = p
m
m
m
m
24
ai 1
− p
bi bi
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Colección de problemas
9.- Considere un mercado en el que hay dos consumidores con las siguientes funciones
de utilidad:
2
(x )
U1 (x1 , y1 ) = 4x1 − 1 + y1 ;
2
2
(x )
U 2 (x 2 , y 2 ) = ax 2 − 2 + y2 con 4 > a >0
2
donde x i , i =1,2, es la cantidad del bien x consumida por el individuo i, yi es la
cantidad de renta que le queda al consumidor i para comprar otros bienes y mi es la
dotación inicial de renta de cada individuo. El bien x es producido por un monopolista
cuya función de coste total de producción es C(x) = x.
(i) Muestre que el consumidor 1 tiene una disposición total a pagar y una disposición
marginal a pagar por el bien x mayor que el consumidor 2 para todo x. Obtenga las
funciones inversas de demanda.
*
*
*
*
(ii) Obtenga las combinaciones precio-cantidad (r1 , x1 ) y (r2 , x2 ) que maximizan los
beneficios del monopolista y el valor de éstos cuando puede practicar la discriminación
*
*
de precios de primer grado o discriminación perfecta. Muestre que x1 y x 2 son
socialmente eficientes.
(iii) Obtenga las combinaciones precio-cantidad ( r˜1 , x˜ 1 ) y ( r˜2 , x˜ 2 ) correspondientes a
la discriminación de precios de segundo grado. ¿Cómo debe ser el parámetro a para que
el monopolista decida servir el bien a los dos consumidores?
Solución
(ii)
r1*
= 7.5 ,
x1*
=
3 , r2*
a2 −1
*
=
y x 2 = a −1 .
2
(iii) r˜1 = 7.5 − (2a − 5)(4 − a) , x˜ 1 = x1 = 3 , r˜2 = 2.5(2a − 5) y x˜ 2 = 2a − 5 .
*
a > 2.5
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