Apuntes

N¶umeros Reales
1.
N¶
umeros combinatorios y binomio de Newton
Dados los n¶
umeros naturales n y k, con 0 · k · n, se de¯ne el n¶
umero combinatorio n sobre K como:
à !
n
k
=
à !
n!
n(n ¡ 1):::(n ¡ k + 1)
=
1:2:3::(k ¡ 1)k
k!(n ¡ k)!
n
representa el n¶
umero de posibilidades de tomar k objetos de una colecci¶
on de n, sin importar
k
el orden. Por ejemplo: para un entrenador Ã
de !baloncesto cuyo equipo cuenta con 8 jugadores las
8
posibles alineaciones iniciales distintas ser¶³an
.
5
1.
à !
à !
2.
à !
Ã
!
3.
à !
Ã
!
n
n
=
=1
0
n
n
n
=
k
n¡k
Ã
!
n
n¡1
n¡1
=
+
k
k
k¡1
Binomio de Newton: Para cualesquiera n 2 N y x; y 2 R, se tiene
n
(x + y) =
n
X
k=0
2.
à !
à !
n
n n¡k k X
n k n¡k
x
y =
x y
k
k
k=0
Operatoria con n¶
umeros reales: potencias ra¶³ces y logaritmos
En las siguientes igualdades a y b representan n¶
umeros reales y n y m n¶
umeros naturales.
1. an = a:a::::(n) ::a para n ¸ 1 y n0 = 1
2. an :am = an+m
3.
an
= an¡m
am
(a 6
= 0)
1
4. (an )m = anm
5. an :bn = (a:b)n
6.
an
a
= ( )n
n
b
b
7.
1
= a¡n
an
8.
(¡a)n
=
(b 6
= 0)
(a 6
= 0)
(¡1)n an
=
(
an
si n es par
n
¡a si n es impar
Teniendo en cuenta que la ra¶³z n-esima de un n¶
umero se de¯ne como
p
n
a = b , a = bn
podemos establecer las siguientes igualdades
1.
p
p
kn km
n m
a =
a
p
p p
n
a:b = n a: n b
p
r
n
a
a
(b 6
= 0)
3. p
= n
n
b
b
p
p
4. ( n a)m = n am
2.
5.
qp
m
n
n
a=
6. a m =
p
a
nm
p
an
m
Dado a 2 R con a > 0 y a 6
= 1, se de¯ne el logaritmo en base a de un n¶
umero b 2 R+ como
loga b = x , ax = b
1. loga a = 1
2. loga 1 = 0
3. loga ax = x
4. aloga x = x
5. loga (xy) = loga x + loga y
6. loga
x
= loga x ¡ loga y
y
2
7. loga xy = yloga x en particular loga
p
1
n
x = loga x
n
Se llaman logaritmos neperianos o naturales a aquellos que tienen por base el n¶
umero e.
loge x = ln x = L x
La siguiente igualdad nos permite pasar de logaritmos en una base a los de otra
loga x =
logb x
logb a
y de ella se deduce que
1. log 1 x = ¡loga x
a
2. loga b:logb a = 1
3.
Valor absoluto
De¯nici¶
on: El valor absoluto jxj, de un n¶
umero real x se de¯ne como
jxj =
(
x
si x ¸ 0
¡x si x < 0
Propiedades
1. jxj ¸ 0 adem¶as jxj = 0 , x = 0
2. jxyj = jxjjyj ; jx=yj = jxj=jyj (y 6
= 0)
3. j ¡ xj = jxj ; jx ¡ yj = jy ¡ xj
4. jxj2 = jx2 j = x2
5.
p
x2 = jxj
6. Si a > 0; entonces jxj < a , ¡a < x < a, es decir, x 2 (¡a; a)
7. Si a ¸ 0; entonces jxj · a , ¡a · x · a, es decir, x 2 [¡a; a]
8. Si a > 0; entonces jx ¡ bj < a , b ¡ a < x < b + a, es decir, x 2 (b ¡ a; b + a)
9. jxj · 1 ) jxj ¸ jxjn
10. jxj ¸ 1 ) jxj · jxjn
3