Septiembre de 2003

Teoría Clásica de Optimización de Carteras
Š Los inversores deben elegir estrategias de inversión y
de consumo óptimas. Dado capital inicial, deben
componer cartera para maximizar su utilidad esperada.
Š El objeto de la teoría de carteras es dar respuesta a este
tipo de problemas.
Š El origen de esta teoría es la aproximación mediavarianza de H. Markowitz (1952), también conocida
como Teoría Clásica de Optimización de Carteras
(TCOC).
Š Esta aportación le valió el Nobel en 1990.
TCOC: Formulación
Š El inversor dispone de n activos, cuyos respectivos
retornos (Ri) son variables aleatorias:
µ i = E[ Ri ]
σ i , j = Cov[ Ri , R j ]
Š El rendimiento de la cartera puede escribirse como
n
R = ∑ wi Ri
1
donde wi es el peso en la cartera del activo i
Š El rendimiento esperado de la cartera y su desviación
típica serán:
n
E[ R] = ∑ wi µ i
1
n
σ [ R] = ∑ wi w jσ i , j
i , j =1
TCOC: Objetivos
Š La TCOC busca carteras que verifiquen:
(problema dual)
Š Dada una cota superior para la varianza del
rendimiento de nuestra cartera, queremos una cartera
factible que maximice el retorno esperado.
Max
n
∑w µ
i
s.t.
i
n
∑w w σ
i
i , j =1
1
j
i, j
≤σ
Š Dada una cota inferior para el rendimiento esperado
de nuestra cartera, queremos una cartera factible que
minimice la varianza de dicho rendimiento.
n
Min
∑w w σ
i , j =1
i
j
n
i, j
s.t.
∑w µ
i
1
i
≥µ
TCOC: La Frontera Eficiente
Š Es relativamente fácil diseñar una hoja de cálculo que
permita construir la frontera eficiente: conjunto de
carteras para las cuales se maximizan los rendimientos
correspondientes a un nivel de riesgo dado.
TCOC: Limitaciones
Š A pesar del reconocimiento académico obtenido, escaso
impacto en tareas de diseño y construcción de carteras
Š Los gestores de activos tienden a pensar en términos de
pesos relativos dentro de una cartera, y no en predecir
vectores de retorno y volatilidad esperados para cada uno
de los activos de su universo de elección
Š Los resultados que se obtienen son poco intuitivos y
demasiado sensibles a factores arbitrariamente fijados
(vector de retornos esperados y, en menor medida, matriz
de covarianzas)
Modelo de Black – Litterman (B – L)
Š Objetivo: construcción de carteras eficientes estables
(poco sensibles a inputs) e intuitivas (reflejan la visión
de mercado del gestor)
Š Aproximación bayesiana al problema:
Equilibrio de Mercado
Visión de Mercado
Retornos Implícitos
Nuevo Vector de Pesos
Vector Retornos Ex Post
B – L: Formulación Teórica
Š n activos, con capitalizaciones Mi i=1,...,n
Š R = (R1,...,Rn) es el vector de excesos de retornos.
Š Suponemos que R ≈ N [ E ( R), Σ]
Š Punto de partida: Exceso de Retorno Implícitos de
Equilibrio ( Π )
Š
Max ω ' µ − λω ' Σω
1
2
ω = (λΣ )−1 µ
donde wi = peso de activo i en benchmark
Π = λΣω
B – L: Formulación Teórica (2)
Š ¿Por qué los llamamos Exceso de Retorno Implícitos
de Equilibrio?
Š CAPM: Precios de activos se ajustan hasta que sus
retornos esperados son tales que (si todos los inversores
tienen la misma visión de mercado), demanda = oferta
Š Así, la distribución de retornos implícita en el equilibrio
(Distribución de Equilibrio) es la siguiente:
N ≈ ( Π , τΣ )
donde τ es una constante.
B – L: Formulación Teórica (3)
Š E[R] es inobservable. Suponemos que se distribuye
normalmente, y que distribución de probabilidad es
proporcional al producto de dos normales:
Š Distribución de Equilibrio
Š Distribución de Visión de Mercado
Š Visión de Mercado: Creencias sobre combinaciones
lineales de elementos de E[R]
Š La visión de mercado se expresa como PE[R] = Q + ε
P (kxn) identifica a activos implicados en cada visón
Q (kx1) es el vector de visiones
ε ≈ N (0, Ω)
B – L: Formulación Teórica (4)
Š Así, la distribución de retornos según la visión de
mercado es la siguiente:
N ≈ (Q, Ω)
Š Puede probarse que E[R] se distribuye normalmente con
media igual a
[
E[ R ] = (τΣ ) + P ' Ω P
−1
−1
] [(τΣ)
−1
y matriz de covarianzas igual a
[
(
Var[ R] = (τΣ ) + P' Ω P
−1
−1
)]
−1
−1
Π + P ' Ω −1 P
]
B - L: Conclusiones
Š Pesos óptimos: desviaciones de los pesos de mercado en
las direcciones de activos sobre los que se expresan
visiones
Š En ausencia de visiones de mercado que difieran de las
reflejadas en Π , un inversor debería invertir en las
proporciones dictadas por la cartera de mercado.
Š Consistente con la gestión pasiva: la cartera es igual al
"benchmark"con pesos proporcionales a la capitalización
de mercado en ausencia de visión de mercado
B – L modificado
Š B – L ofrece resultados demasiado sensibles a la
confianza en las visiones de mercado
Š Por ello, se ha desarrollado una versión modificada del
mismo
Š Ingredientes:
Š Los pesos de mercado se modifican según visiones
de mercado Æ Pesos modificados
Š Matriz de Covarianzas dinámica:
Š En base a datos históricos mensuales (mínimo: 10 años)
ŠBackField Test : Simulación hacia atrás con “decay”
ŠSe reestima cada 2 meses
B – L modificado (2)
Š Se calcula el vector de excesos de retorno de equilibrio
implícito:
Π = λΣω
Š Interpretación: NO retornos esperados, SINO umbrales
de rentabilidad mínima exigida a los activos
Š Si Π > retorno esperado, demasiado peso asignado
Š Si Π< retorno esperado, insuficiente peso asignado
Š Fine-tuning de modelo es imprescindible
Š Ajuste de los pesos asignados hasta que retornos
implícitos de equilibrio consistentes con expectativas.
B – L modificado: Consideraciones prácticas
Š Problema: Ausencia de track-record mínimo
Š Solución: Back-Testing con decay
Š Consideraciones prácticas:
ŠEs imprescindible fine-tuning
Š Los retornos de activos alternativos deben ser
reescalados: sesgos de selección, liquidez, y crecimiento
de mercado
B – L modificado: Conclusiones
Š Menos metódico que B- L, pero mayor robustez (no
depende de la confianza en las creencias)
Š Otra herramienta más en el proceso de asignación de
activos
Bibliografía
Š Markowitz, “Portfolio Selection”, Journal of Finance,
March 1952
Š Black y Litterman “Global Portfolio Optimization”,
Financial Analysts Journal, September-October 1992.
Š Perold y Sharpe “Dynamic Strategies for Asset Allocation” ,
t Allocation” , Financial Analysts Journal, Jan.-Feb. 1988.
cation model: three years of practical experience”, Goldman Sachs,
Š
ee years of practical experience”, Goldman Sachs, June 1998
Thomas Idzorek “A step-by-step guide to the Black-Litterman
Š
k-Litterman model”, unpublished working paper February 2003
He
y Litterman,
“The Intuition
behind
Black-Litterman
model
k-Litterman
model portfolios”,
Goldman
Sachs,
December 1999
Integración de la asignación óptima de activos
en el proceso de gestión
Š El método de asignación de activos debe integrarse en el
proceso de gestión.
Š Esto implica integrar tanto la información como la
capacidad de decisión.
Š Cómo se comparan:
Š Markowitz (media-varianza)
ŠBlack-Litterman
ŠBlack-Litterman simplificado