Problemas de Matemáticas I

Problemas de Matemáticas I -
Hoja nº 2
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS
DE ECUACIONES LINEALES
1. Teniendo en cuenta las transformaciones que conservan el rango de una matriz, calcúlese el rango de la
matriz siguiente:
æ 1
ç
ç- 1
ç
çç 0
è 3
2
1
2
1ö
÷
0 - 3 - 2 -7 ÷
÷
4 - 4 0 - 12÷
÷
1 8 6 18ø
2. Calcúlense los determinantes:
1
a)
5 -3
-1 -4
2
3
2 -1
2
9 -4
4
1
2
0
-1
1 5 0
5 4 6 3
b)
1 3 2
6 7
1
5 4
3. Desarrollando por los adjuntos de la primera columna, calcule el determinante:
1
2
-1 - 4
3 -1
5
1
2
7
-8
1
x
-1
1
2
4. Calcúlese el determinante:
1 a
b+ c
1 b c+ a
1 c a+b
5. Calcúlese la matriz inversa:
æ 1
ç
ç 2
ç
çç 4
è- 2
1er Curso - 1er Cuatrimestre
0 0 0ö
÷
3 0 0÷
÷
2 1 0÷
÷
3 1 1ø
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Hoja nº 2
6. Estúdiese la existencia de la matriz inversa, según los valores de m, de
- 1 0ö
æm
ç
÷
ç 1 m - 1 1÷
ç
÷
è1
0 1ø
7. Discutir los siguientes sistemas lineales:
ìx + y + z = m
ï
í x + (1 + m) y + z = 2 m
ïx + y + z = 4
î
ì2 x − 2 y + 6z = −3
ï
í3x + y + 13z = 1
ï5x − y + 23z = 2
î
ì2 x − 2 y + 6 z = 6
ï
í3x − y + 13z = 15
ï5x − y + 23z = 27
î
ì( m − 2) x + my + ( m + 1) z = m + 3
í
î(4 − 2 m) x + (3 − m) y + (1 − m) z = 1
8. Discútanse y resuélvanse los sistemas lineales siguientes a través de los métodos conocidos:
ì x + y + 2z = 0
ï
íx − y = 2
ï y + z = −1
î
ì mx + y = 2
í
î4 x + my = 4 + m
ìmx + y + z = 1
ï
í x + my + z = 1
ï x + y + mz = 1
î
ì− 2 x + 5 y − z = 2
ï
í4 x − y + 2 z = 5
ï6 x + 3 y + 3z = 12
î
ì3x + 3y − z = 0
ï
í−4 x − 2 y + mz = 0
ï3x + 4 y + 6z = 0
î
ì 3x − y + 2 z = 1
ï
í x + 4y + z = b
ï 2 x − 5y + az = −1
î
ì( m + 2 ) x + y + z = m − 1
ï
í mx + ( m − 1) y + z = m − 1
ï( m + 1) x + ( m + 1) z = m − 1
î
ì my = 0
ï
í( m + 1) x − z = 0
ïy + z = 0
î
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