música y matemáticas. un espacio para la interdisciplinariedad.

MÚSICA Y MATEMÁTICAS. UN ESPACIO PARA LA
INTERDISCIPLINARIEDAD.
1. Introducción
En el año 2000 se celebró el “Año Mundial de las Matemáticas” y en el marco de esta
celebración se instauró el 12 de Mayo como el Día Escolar de las Matemáticas.
Lo que proponemos aquí es una actividad interdisciplinar para este día con el objetivo
de mostrar a nuestros alumnos y
alumnas, cómo las Matemáticas han ido
configurando algunos conceptos musicales a través de la historia y la aplicación real y
práctica que han supuesto para la Música.
2. Consideraciones históricas
Desde los pitagóricos hasta nuestros días son muchas las relaciones existentes entre
la música y las matemáticas. Pitágoras y su escuela dedicaron especial atención a los
fenómenos acústicos y musicales y estudiaron las consonancias musicales llegando a
relacionarlas con el alma y el principio ordenador del cosmos. Para el matemático
griego, la música era una rama de las matemáticas que se basaba en relaciones
métricas para establecer los principios de la acústica, así descubrieron la relación
entre la altura de un sonido y la longitud de una cuerda, estableciendo que la relación
entre ellas (altura y longitud) es de proporcionalidad inversa.
Durante la Edad Media las siete artes liberales se agrupaban en dos ramas, el trivium
y el cuadrivium. Dentro del cuadrivium (cuatro caminos al conocimiento) la música era
agrupada junto a la aritmética, la geometría y la astronomía. El escritor latino
Casiodoro (485-580) afirmaba que “la ciencia de la música es la disciplina que trata de
los números en relación con cuanto se descubre en los sonidos”. También San
Agustín (354-430) y Santo Tomás de Aquino (1225-1274) defendieron que la base de
la música era matemática, reflejando el movimiento y el orden celestial.
En el Renacimiento, el compositor y teórico de la música Zarlino (1517-1590) se
remonta a los pitagóricos y realiza sus investigaciones en torno a los fundamentos
matemáticos, físicos y acústicos de la armonía, preconizando la división de la octava
en 12 intervalos.
Durante el Barroco, el estudio del temperamento (término que se refiere al tipo de
afinación de los instrumentos musicales) siguió el camino del cálculo matemático. En
esta línea el compositor Jean Philippe Rameau (1683-1764), siguiendo a Descartes,
quiso hacer de la música no solo un arte sino una ciencia deductiva a imagen de las
matemáticas. En su obra “Traité de l’harmonie réduite à ses principes naturels” afirma
que “la música es una ciencia que debe disponer de unas reglas bien establecidas;
dichas reglas deben derivar de un principio evidente, que no puede revelarse sin el
auxilio de las matemáticas”.
El temperamento barroco ofrece una mejora de la afinación griega antigua
estableciendo la división de la escala en 12 intervalos logarítmicamente iguales.
El establecimiento de este sistema temperado es el que permite toda la evolución
posterior de la teoría musical y de la armonía en particular.
Otros ejemplos de creación musical utilizando conceptos matemáticos los tenemos en
el siglo XX. Señalamos dos: Bela Bartók (1881-1945) que desarrolló una escala
musical basándose en la sucesión de Fibonacci para su obra “Música para cuerdas,
percusión y celesta” y Ianis Xenakis (1922-2001), compositor, arquitecto y matemático
griego que utilizó los cálculos matemáticos para la elaboración de sus composiciones
como “Metastasis” o “Achoripsis”.
Una vez hecha la introducción histórica, continuaremos con una definición matemática
de la escala pitagórica y de la temperada usada por Bach, que sea asequible para el
alumnado y que les permita observar con facilidad las ventajas e inconvenientes de
cada una de ellas.
3. Conceptos previos
Antes de iniciar, debemos repasar varios conceptos musicales: nota, escala y tipos,
intervalo y tipos, tonalidad, armonía, funcionamiento y afinación de instrumentos; así
como los matemáticos: proporcionalidad inversa, fracción, potencia y raíz.
4. Escala pitagórica. Las fracciones
4.1. Escala pitagórica
Comenzamos definiendo:
• Tono: Es la distancia entre dos notas consecutivas
distintas de Si–Do y Mi-Fa. Por convenio el cociente entre
las frecuencias de estas notas es 9/8.
• Semitono natural: Es la distancia entre Si-Do y Mi-Fa.
Por convenio el cociente entre las frecuencias de estas
notas es 256/243.
Partiendo del La de 440hz se construye la escala
pitagórica simplemente multiplicando por 9/8 o 256/243.
Nota
La
Si
Frecuencia
440
495
4.3. Nuevas definiciones
Do
Re
521.481 586.667
Mi
660
Fa
Sol
695.309 782.222
La
880
Si usamos la definición numérica de los intervalos de quinta, cuarta y tercera quedan
las definiciones siguientes:
• Quinta: El intervalo entre dos notas es una quinta si el cociente de sus frecuencias
vale 3/2.
• Cuarta: El intervalo entre dos notas es una cuarta si el cociente de sus frecuencias
vale 4/3.
• Tercera: El intervalo entre dos notas es una tercera si el cociente de sus
frecuencias vale 5/4.
Añadiendo a cada nota de la octava un intervalo de cada tipo, puede verse como las
frecuencias se repiten. Esto supone que dichos intervalos aparecen ahora entre notas
diferentes a las empleadas en la primera definición.
La
Si
Do
Re
Mi
Fa
Sol
Octava
440
495
521.481
586.667
660
695.309
782.222
Tercera
550
618.75
869.136
~ La
586.667
Re
660
Mi
660
Mi
Cuarta
Quinta
Octava
siguiente
742.5
880
990
651.851
~ Mi
695.309
Fa
782.222
Sol
733.333
825
782.222
Sol
880
La
880
La
990
Si
1042.963
Do
977.778
~ Si
1042.963
Do
1173.333
Re
1042.963
1173.333
1320
1390.173
1564.444
927.078
4.4. Problemas con las definiciones
En la tabla anterior están marcadas las notas coincidentes. Al añadir un intervalo de
quinta, todas las notas menos Si se convierten en otra. De la misma forma, al añadir
una cuarta, la única nota que no se convierte en otra es Fa. Sin embargo al añadir el
intervalo de tercera no hay una sola coincidencia.
Para resolver estos dos problemas debemos definir cinco nuevas notas y
conformarnos con frecuencias aproximadas para formar los intervalos de tercera.
Las nuevas notas son La#, Do#, Re#, Fa# y Sol#. Se definen dividiendo cada tono en
dos semitonos. Estos semitonos no son naturales. La frecuencia de las nuevas notas
se consigue multiplicando la anterior por 256/243 o dividiendo la siguiente por esa
misma cantidad. Según hagamos una u otra cosa, obtendremos frecuencias distintas.
La
La#
Si
440
463.54 469.86
495
Mi
660
Fa
Fa#
Do
Do#
Re
Re#
521.48 549.38 556.88 586.67 618.05 626.48
Sol
Sol#
695.31 732.51 742.5 782.22 824.07 835.31
Mi
660
La
La#
Si
880
927.08 939.73
990
Las frecuencias, que al añadir un intervalo de tercera, cuarta y quinta no se
correspondían con ninguna nota, ahora sí que tienen una nota asociada de forma
exacta o aproximada.
4.5. Los números irracionales y Pitágoras
Los pitagóricos conocían los números irracionales y los llamaban magnitudes
inconmensurables. El problema es que ellos preferían trabajar con las magnitudes
conmensurables, es decir, con los números racionales. De hecho, consideraban que
los números irracionales eran un error divino y prefirieron mantenerlos en secreto.
El problema es que el número que permite dividir un tono en dos semitonos iguales es
irracional.
Sin embargo, hay que admitir que 256/243 es una aproximación muy buena de este
número.
También es cierto que Pitágoras respetó el intervalo de octava con exactitud y los de
quinta, cuarta y tercera con una buena aproximación.
En la escala pitagórica una octava tiene cinco tonos y dos semitonos. El producto de
estas cantidades es igual a 2.
Los intervalos de quinta están formados por tres tonos y un semitono. Su producto es
igual a 3/2.
Los intervalos de cuarta están formados por dos tonos y un semitono. Su producto es
igual a 4/3.
Como ya hemos dicho, el intervalo de tercera no está bien definido en esta escala.
5. La escala temperada. Los números irracionales
El fundamento matemático de la escala temperada es dividir el intervalo de octava en
doce iguales. Eso significa que debemos encontrar un número que al elevarlo a doce
resulte 2.
Esto permite obtener dos conclusiones importantes:
• El número que buscamos es irracional.
• Pitágoras encontró una aproximación fraccionaria muy buena de este número.
Veamos la tabla con las frecuencias de las notas musicales en la escala temperada.
La
La#
Si
Do
Do#
Re
440
466,164
493,883
523,251
554,365
587,330
Re#
Mi
Fa
Fa#
Sol
Sol#
622,254
659,255
698,456
739,989
783,991
830,609
5.1. Las definiciones definitivas
La escala temperada permite volver a definir los conceptos de quinta, cuarta y tercera.
Con esta nueva definición todos los intervalos de quinta, cuarta y tercera existen para
cualquier nota y tienen siempre el mismo valor. A cambio debemos emplear números
irracionales.
• Quinta: Entre dos notas hay un intervalo de quinta si están separadas 7 semitonos
o 3 tonos y 1 semitono. El cociente de sus frecuencias vale 27/12 = 1.498307.
• Cuarta: Entre dos notas hay un intervalo de cuarta si están separadas 5 semitonos
o 2 tonos y 1 semitono. El cociente de sus frecuencias vale 25/12 = 1.334840.
• Tercera: Entre dos notas hay un intervalo de tercera mayor si están separadas 4
semitonos o 2 tonos. El cociente de sus frecuencias vale 24/12 = 1.259921.(Un intervalo
de tercera también puede ser menor y estar formado por 3 semitonos o 1 tono y 1
semitono).
Como puede verse, los nuevos valores de los intervalos son prácticamente iguales a
los de los definidos en la escala pitagórica.
5.2. El Barroco. Johann Sebastian Bach
Hay varios motivos para que la escala temperada apareciera
por primera vez durante el Barroco.
El más importante es la mejora de los instrumentos
musicales en este período. Con los instrumentos anteriores
la afinación era poco precisa y se desajustaba con cierta
facilidad.
Es también curioso observar que esta escala aparece de forma casi simultánea al
desarrollo del concepto matemático de logaritmo. La escala temperada es, desde el
punto de vista matemático, una escala logarítmica.
A Johann Sebastian Bach (1685-1750) debemos la monumental colección “Clave bien
temperado”.Con esta obra Bach quiso confirmar en el aspecto práctico y artístico la
adopción del sistema temperado, que como ya hemos expuesto se basa en una escala
dividida en 12 semitonos de igual valor. El “Clave bien temperado”, se estructura en
dos ciclos, cada uno de los cuales contiene 24 preludios y fugas compuestos en todas
las tonalidades mayores y menores de la escala cromática. Empieza por la tonalidad
de Do mayor, después Do menor, siguiendo con Do sostenido mayor y así
sucesivamente hasta completar toda la escala cromática.
6. Actividades propuestas
Estas actividades están dirigidas a alumnos y alumnas de segundo ciclo de ESO y
Bachillerato.
6.1. Experimento sonoro
Para comprobar la relación de proporcionalidad inversa entre la altura del sonido y la
longitud de la cuerda, vamos a realizar el siguiente experimento:
6.1.1. Materiales
•
•
•
•
•
Instrumento de cuerda (violín, guitarra u otro instrumento semejante)
Piano o teclado
Una regla
Una calculadora
Tabla de frecuencias asociadas a cada nota del piano:
Nota
Mi
Re#
Re
Do#
Do
Si
La#
La
Sol#
Sol
Fa#
Fa
Mi
Re#
Re
Do#
Do
Si
La#
Frecuencia
659.26
622.25
587.33
554.37
523.25
493.88
466.16
440.00
415.30
392.00
369.99
349.23
329.63
311.13
293.66
277.18
261.63
246.94
233.08
La
Sol#
Sol
Fa#
220.00
207.65
196.00
185.00
6.1.2. Procedimiento
Una vez decidido el instrumento que vamos a usar (en nuestro caso, un violín),
elegimos una de sus cuerdas y producimos una nota musical pisando la cuerda. En el
piano buscamos la misma nota para que el alumnado pueda compararla. Anotamos la
frecuencia que se corresponde con esa nota (consultando la tabla de frecuencias).
Medimos la longitud de la cuerda que la ha emitido. En la misma cuerda repetimos el
experimento para varias notas. Construimos una tabla de doble entrada (longitud y
altura). Verificamos que la tabla se corresponde con la de una proporción inversa.
Para ello debemos multiplicar cada valor de altura por la longitud que le corresponde.
Los valores serán aproximadamente iguales (Las diferencias son explicables por la
imprecisión en la medida de la longitud de la cuerda).
6.2. Investigación
Los alumnos y las alumnas realizarán un trabajo en el que expliquen cómo se
producen las notas musicales en los distintos tipos de instrumentos.
6.3. Audición
Para finalizar, realizaremos una audición guiada del “Clave bien temperado” de
J.S.Bach. Aquí proponemos dos versiones:
-Intérprete: Gustav Leonhardt
-Instrumento: Clavicémbalo
-Sello discográfico: Deutsche Harmonia Mundi
-Intérprete: Sviatoslav Richter
-Instrumento: Piano
-Sello discográfico: RCA Victor Europe
BIBLIOGRAFÍA
Basso, Alberto (1977). Historia de la Música,6: La época de Bach y Haendel. Madrid:
Ediciones Turner
Comotti, Giovanni (1977).Historia de la Música,1: La música en la cultura griega y
romana .Madrid: Ediciones Turner
Fubini, Enrico (1988).La estética musical desde la Antigüedad hasta el siglo XX
Madrid: Alianza Música
Morgan, Robert P. (1994) La música del siglo XX. Madrid: Ediciones Akal