´Algebra Lineal III: Sistemas de ecuaciones lineales. Problemas

Álgebra Lineal III: Sistemas de ecuaciones lineales. Problemas
propuestos. Solución.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
1.
Introducción.
En estas notas, se encuentran algunos problemas propuestos que involucran la solución de sistemas
de ecuaciones lineales.
2.
Problemas Propuestos.
Problema 1. Considere tres aleaciones M1 , M2 y M3 las cuales contienen Cobre, Plata y Oro en los
porcentajes indicados en la tabla.
Contenido ↓, Aleación →
Cobre
Plata
Oro
M1
20 %
60 %
20 %
M2
70 %
10 %
20 %
M3
50 %
50 %
0%
¿Es posible mezclar estas aleaciones de manera que se obtenga una aleación, M , con 40 % Cobre, 50 %
Plata y 10 % Oro?1
Solución. Sean x1 , x2 , x3 las fracciones de las aleaciones M1 , M2 y M3 para producir la aleación
con los porcentajes de metal indicados. Entonces, las fracciones x1 , x2 , x3 deben satisfacer las siguientes
ecuaciones
x1 + x2 + x3
2
7
5
x1 + x2 + x3
10
10
10
6
1
5
x1 + x2 + x3
10
10
10
2
2
x1 + x2 + 0x3
10
10
=
=
=
=
1
4
10
5
10
1
10
El sistema se puede reducir a
x1 + x2 + x3
2 x1 + 7 x2 + 5 x3
1 Tomado
=
=
1
4
de Fischer, G. Lineare Algebra, Wiesbaden: Vieweg und Teubner, 2010, pp. 135.
1
6 x1 + 1 x2 + 5 x3
2 x1 + 2 x2 + 0x3
La matriz aumentada del sistema de ecuaciones

1

 2

Ab = 
 6

=
=
5
1
está dada por

1 1 1

7 5 4 

.
1 5 5 

2 2
0 1
Después de escalonar el sistema la matriz aumentada está dada por


1 1 1 1


 0 5 3 2 


Ar = 

 0 0 2 1 


0 0 0
0
La solución del sistema de ecuaciones
x1 =
2
,
5
x2 =
1
,
10
x3 =
1
.
2
Problema 2. una ciudad tiene 700 profesores, 80 bomberos, 160 policias, y 290 trabajadores administrativos. Dentro de cada uno de esos cuatro grupos, todos los empleados recibiran el mismo incremento
en pesos. Se tiene un total de $ 500,000 M.N. disponible para aumentar los salarios de los trabajadores en
esos cuatro grupos de empleados. El incremento de salario de un bombero debe ser $ 100 M.N. mayor que
el incremento de salario de un policia. Un profesor debe tener un incremento en salario igual al promedio
de los incrementos de un bombero y un policia. ¿Cuales son los posibles aumentos para estos cuatro
grupos de trabajadores.2
Solución. Sean xpr , xbo , xpo , xtr los aumentos otorgados a los profesores, bomberos, policias y trabajadores administrativos. Entonces, los aumentos xpr , xbo , xpo , xtr deben satisfacer las siguientes ecuaciones
700 xpr + 80 xbo + 160 xpo + 290 xtr
=
500000
xbo
=
xpr
=
100 + xpo
1
(xbo + xpo )
2
El sistema se puede reducir a
70 xpr + 8 xbo + 16 xpo + 29 xtr
=
50000
2 xpr − xbo − xpo + 0 xtr
xbo − xpo + 0 xtr
=
=
0
100
La matriz aumentada del sistema de ecuaciones está

70 8
16

Ab = 
 2 −1 −1
0
1 −1
2 Adaptado
dada por
29
50000
0
0
0
100


.

de Messer, R. Linear Algebra: Gateway to Mathematics, New York: Harper Collins, 1994, pp. 83.
2
Después de escalonar el sistema la matriz aumentada está dada por


2 −1 −1 0
0


100 
Ar = 

 0 1 −1 0
0 0
94 29 45700
La solución del sistema de ecuaciones está dada por
½µ
¶
¾
50400 − 29 xtr
55100 − 29 xtr
45700 − 29 xtr
Cs =
xpr =
, xbo =
, xpo =
, xtr | xtr ∈ R
94
94
94
Una gráfica de la solución del sistema esta dada a continuación, el eje X representa el aumento a
los trabajadores administrativos mientras que 3 lı́neas rectas representan los aumentos de los policias,
bomberos y profesores. El incremento de los bomberos está dada por la lı́nea verde, la superior. El
incremento de los profesores está dada por la lı́nea roja, la intermedia. El incremento de los policias
está dada por la lı́nea cafe, la inferior.
Figura 1: Solución al Problema del Aumento a Empleados de un Municipio.
Problema 3. Encuentre todos los números reales c tal que el sistema de ecuaciones
x1 + x2 − x3
x1 + c x2 + 3 x3
2 x1 + 3 x2 + c x3
=
=
=
1
2
3
tiene una única solución sobre R; encuentre aquellos números reales c tal que el sistema tiene infinitamente
muchas soluciones sobre R, encuentre aquellos números c para los cuales el sistema no tiene solución sobre
R.3
3 Tomado de Golan, J. S. The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know, Second Edition, Dordrecht:
Springer Verlag, 2007, pp. 193.
3
Solución. La matriz aumentada del sistema de ecuaciones está dada por


1 1 −1 1



Ab = 
 1 c 3 2 .
2 3 c 3
Después de escalonar el sistema la matriz

1

Ar = 
 0
0
aumentada está dada por

1
−1
1

1
c+2
1 
.
2
0 6−c −c 2−c
Las ecuaciones que determinan el resultado final son
Ar [3, 3] = 6 − c2 − c = 0
Ar [3, 4] = 2 − c
Evidentemente, la solución para la primera ecuación es c = −3 y c = 2. La solución para la segunda
ecuación es c = 2. Los posibles casos son como se indica:
1.
I. Si c = −3, entonces Ar [3, 3] = 0 y Ar [3, 4] 6= 0, entonces el sistema es inconsistente.
2.
II. Si c = 2, entonces Ar [3, 3] = 0 y Ar [3, 4] = 0, entonces el sistema es consistente y tiene soluciones
múltiples.
3.
III. Si c 6= 2 y c 6= −3 el sistema es consistente y tiene solución única.
4