INECUACIONES - juansanmartin.net

Profesor: Juan Sanmartín
Matemáticas – Curso 2012/2013
4º E.S.O.
INECUACIONES

Ecuaciones de Primer Grado

Ecuaciones de Segundo Grado.

Ecuaciones de Grado Mayor que dos
Primer Grado
La forma de una ecuación de primer grado puede ser de la siguiente:
ax  b  0
ax  b  0
ax  b  0
ax  b  0
La solución de una inecuación no va a ser un número concreto, sino un
intervalo, es por lo que, debemos tener en cuenta el primer tema de este
curso.
Ejemplo 01
Al igual que en una ecuación, pasamos las x
para un lado y lo que no tiene x para el otro
2x  9  3x  5  2x  3x  5  9  x  4
¡¡¡ATENCIÓN!!! . Al tener que despejar la x y multiplicar o dividir por un
número negativo, la desigualdad invierte su sentido.
4
 x  4  x 
x4
1
Podemos comprobarlo pasando la x
para el otro lado y el número para el
sitio donde está la x
En ambos casos tiene que dar
el mismo resultado
x  4  4  x  x  4
Solución de la inecuación
 ,4
1
2
3
4
5
Ejemplo 02
2x  4 3 x  1 2x  5


3
3
12
2x  4 3 x  1 2x  5
4  2x  4 4  3 x  1 2x  5





3
3
12
12
12
12
8 x  16 12x  4 2x  5


12
12
12
8x  16  12x  4  2x  5
Solución de la inecuación
7 

  ,

18 

8x  12x  2x  16  5  4
18x  7
7
x
18
-3
-2
-1
0 7 1
18
Ejemplo 03
1 x
2x  7
x
 2x 
2
4
Resolvemos…
1 x
2x  7
4 x  2  2x 8 x  2x  7
x
 2x 


2
4
4
4
¡¡¡ATENCIÓN!!! .El signo negativo delante de la fracción, cambia el signo del numerador de la misma.
4 x  2  2 x  8 x  2x  7
4 x  8 x  2 x  2x  7  2
Solución de la inecuación
9
 4x  9  x  
4
Cambiamos el sentido
de la desigualdad
 9


,


 4


-3
-2
-94
-1
0
1
Ejemplo 04
x 2  3x  10  0
Segundo Grado
Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada
x 2  3x  10  0  x 2  3x  10  0
a 1 
2
 3  3  4  1  10  3  9  40

b3  x 


2 1
2
c  10
Importante, hay que tener en cuenta el signo
 3  49
x

2
3  7 4
x1 
  2  x1  2
2
2
3  7 10
x2 

 5  x 2  5
2
2
x1  2 

x 2  5
Representamos
los puntos en la
recta real.
Tramo I
6
x 2  3x  10  0
Tramo II
-5
Tramo III
2
0
3
Tomamos puntos representativos de cada tramo
x  6   6  3 6  10  36  18  10  8  0
2
Se cumple
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
x  0  0  30  10  10  0
2
No se cumple
En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto no es solución de la inecuación
x  3  3  33  10  9  9  10  8  0
2
Se cumple
En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
SOLUCIÓN:
 ,5  2, 
Ejemplo 05
4x  4x  1  0
2
Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada
4x  4x  1  0  4x  4x  1  0
2
a4 

b  4 
c  1
x
2
4
 4
4 0 4
x
 2
2
2
2
24
 4  4 1
 4  16  16


8
Importante, hay que tener en cuenta el signo
Obtenemos una única solución al
ser la raíz cero
x2
Representamos
el punto en la
recta real.
Tramo I
Tramo II
2
0
3
4x 2  4x  1  0
Tomamos puntos representativos de cada tramo
x  0  40  40  1  1  0
Se cumple
2
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
x  0  43  43  1  36  12  1  25  0
2
Se cumple
En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
SOLUCIÓN:
  2
La inecuación se cumple en toda la recta real
menos en 2, ya que en ese punto vale 0
Ejemplo 06
4x 2  9  0
Resolvemos…
4x 2  9  0  4x 2  9
9
3
x1  

4
2
9
9
x  x
4
4
2
9
3
x2  

4
2
La raíz de una fracción es la raíz del numerador entre la raíz del denominador (propiedades
de los radicales)
3
x1   
2

3
x2  
2 
Representamos
los puntos en la
recta real.
Tramo I
2
4x  9  0
2
Tramo II
3
-2
0
Tramo III
3
2
2
Tomamos puntos representativos de cada tramo
x  2  4 2  9  7  0
2
Se cumple
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
x  0  40  9  9  0
2
No se cumple
En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
x  2  4 2  9  7  0
2
Se cumple
En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
SOLUCIÓN:
3

3



,


,





2

2

Ejemplo 07
Donde…
3 x  2x  1  0
2
3 x 2  2x  1  0
a  3


2

b  2   x 
c  1 
2 8
x
6
 22  4  3  1
23
 2  4  12


6
La ecuación no tiene solución ya que la raíz negativa no existe.
Como no tenemos punto de inflexión, comprobamos si la desigualdad se cumple o no en toda la recta real.
x  0  3x 2  2x  1  1  0
La inecuación no tiene solución
Ejemplo 08
x 2  2x  5 x 2  3 x x 2  4 x  15


2
4
6
Calculamos el m.c.m. para obtener denominador común
6 x 2  12x  30 3 x 2  9 x 2x 2  8 x  30


12
12
12
El signo negativo cambia la fracción
6x 2  12x  30  3x 2  9x  2x 2  8x  30
6x 2  3x 2  2x 2  12x  8x  9x  30  30  0
x 2  13x  0
x  0  x1  0
Planteamos ahora
la ecuación
x 2  13x  0  x x  13  0
x  13  0  x2  13
Representamos
los puntos en la
recta real.
x1  0 

x 2  13
Tramo I
Tramo II
0
13
1
x 2  13x  0
Tramo III
2
14
Tomamos puntos representativos de cada tramo
x  1   1  13 1  1  13  14  0
2
No se cumple
En el Tramo I NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
x  2  2  132  4  26  22  0
2
Se cumple
En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
x  14  14  1314  196  182  15  0
2
No se cumple
En el Tramo III NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
SOLUCIÓN:
0,13
Ecuaciones de grado mayor que 2
x 4  x 3  13x 2  x  12  0
Descomponemos la ecuación
en factores.
x 4  x 3  13x 2  x  12  0
1
Aplicamos RUFFINI para
factorizar la ecuación
1 13 1 12
1
 1  2  11  12
 1  2  11  12
0
1
 1  1  12
 1  1  12
0
3
 3  12
1  4
0
x 4  x 3  13x 2  x  12  x  1x  1x  3x  4  0
x 4  x 3  13x 2  x  12  x  1x  1x  3x  4  0
Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..
x  1  0

x  1  0
x  1x  1x  3x  4  0  
x  3  0

x  4  0
Solución
x  1  0  x1  1
x  1  0  x 2  1
x  3  0  x 3  3
x  4  0  x 4  4
x 1  1
Tramo I
Tramo II
Tramo III
Tramo IV
Tramo V
x 2  1
x 3  3
-3
4
x 4  4
2
-1
+1
0
2
+4
Tomamos puntos representativos de cada tramo
x  4   4   4  13 4   4  12  124  0
4
3
2
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
x  2   2   2  13 2   2  12  18  0
4
3
2
En el Tramo II NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
x  0  0  0  130  0  12  12  0
4
3
2
En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
5
x  2   2   2  13 2   2  12  30  0
4
3
2
En el Tramo IV NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
x  5   5   5  13 5   5  12  192  0
4
3
2
En el Tramo V se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
SOLUCIÓN:
 ,3   1,1   1, 
FIN DE TEMA
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