_ 0. N N N N NxN < CNxN

V.C.A.F.
HOJA 11
1.- Sea X un espacio normado de dimensión mayor o igual a 1. Probar que
X’ $ {0}.
2.- Sea X un espacio normado, sean a,b e X
f e X’
con a $ b. Probar que existe
f(a) $ f(b).
tal que
3.- Sea X un espacio normado .
a)
Si
{x1,...,xn}
es
un
conjunto
finito
de
vectores
independientes de X, probar que existen funcionales f1,...,fn e X’
fj’(xi) =
linealmente
tales que
di,j.
b) Si M c X
es un subespacio vectorial de dimensión finita, probar que existe
P : X
M
-------------------------L
una proyección lineal y continua.
4.- Sea un espacio normado. Probar que si M c X es un subespacio de X y
-----
a m M, entonces a e M
f
M
1
si y solo si
f(a) = 0 para todo funcional
f e X’
con
_ 0.
(Indicación: Usar el Teorema de Hahn-Banach en forma geométrica).
5.- Sea X un espacio normado y se A C X. Probar que las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
a) A está acotado.
b) Para todo
f e X’
f(A)
(Indicación: Usar que J : X
está acotado.
---------------L
X’’ es una isometría y el Teorema de la
Acotación Uniforme).
6.- Sea f : X
---------------L
K, X espacio normado y f lineal.
Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) f es continua
b) kerf = {x e X
:
f(x) = 0}
es cerrado.
7.-Sea X un espacio vectorial y sean
N N1
y
N N2
respecto de las cuales X es completo. Si existe C > 0
dos normas sobre X
tal que
NxN1 < CNxN2
para todo x e X, probar que ambas normas son equivalentes.
(Indicación: Usar el Teorema de la Aplicación Abierta).
8.- Sean X e Y dos espacios de Banach y sea
líneal tal que para todo
f e Y’
(Indicación: Usar el problema 5).
f
o
T : X
---------------L
T e X’. Probar que
T
Y
una aplicación
es continua.
9.- Sea C un abierto convexo de X espacio normado. Sean y0 e C
x0 m C. Probar que
que
C1 = C - {y0}
es un abierto convexo
y
0 e C1
tal que
y
x0 - y0 m C1.
10.- Si
A y B son dos conjuntos convexos no vacios y disjuntos de un
espacio normado, siendo A abierto. Probar que C = A - B
es un conjunto
abierto y convexo.
8
11.- Sea c00 = { (xn) n=1 e
N
R
a) Construir sobre (c00 , N N1)
tales que
para todo
NfnN
b) ¿Porqué
existe n0 tal que si n > n0
xn = 0}.
una sucesión de funcionales (fn)n>1
lineales
x e c00
sup{
y que
:
fn(x)
1
1
: n = 1,2,3,... } < 8
8.
8
la parte a) no contradice el Teorema de la Acotación Uniforme ?
-------------------------L
n
-----L
12.- Encontrar en
R2
dos conjuntos convexos no vacios disjuntos tales
que no puedan ser separados estrictamente por un hiperplano.
13.- Probar que si el espacio dual X’ de un espacio normado es separable,
entonces el propio espacio X lo es también.
(Indicación: Usar el Teorema de Hahn-Banach en forma geométrica).
14.-
Sea
8
(an) n=1
una
sucesión
de
términos
positivos
tales
que
8
s
t an < 8. Siempre se puede encontrar otra sucesión de términos positivos
n=1
8
(yn) n=1
8
con limsup yn = 8
y tal que
s a y < 8. Probar este hecho de dos
t n n
n=1
formas distintas.
a) Usando técnicas elementales de series.
b) Usando el Teorema de la Aplicación Abierta sobre T : l8
8
T(x) = (anxn)8
y suponer que no existe una sucesión (yn) n=1
n=1,
l1
con
con
las
---------------L
características de arriba.