10. análisis senoidal por fasores

10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES 10.1. INTRODUCCIÓN El análisis de circuitos complejos con resistencias, inductancias y capacitancias
para entradas de tipo senoidal resulta muy dispendioso. El análisis senoidal por
fasores es una manera simple de analizar tales circuitos sin resolver las
ecuaciones diferenciales, que aplica al caso de entradas senoidales a una
frecuencia dada, y una vez que el sistema se encuentra en estado estable.
Un fasor es una representación en el plano complejo de la magnitud y fase de la
señal en el tiempo asociada al fasor. Como este representa una condición de inicio
no depende del tiempo.
El análisis por fasores simplifica el estudio al caso de ecuaciones algebraicas, pero
con la diferencia de que ahora se trabaja con números complejos.
10.2. SEÑAL EXPONENCIAL COMPLEJA Y FASORES La Señal Exponencial Compleja (SEC) de una señal senoidal real en el tiempo es
una transformada de la señal o un cambio de espacio de análisis definido como
sigue.
Sea una señal senoidal v S (t ) en el dominio del tiempo, con amplitud VS , ángulo
de fase
θS
y frecuencia
ωS :
v S (t ) = VS cos(ωt + θ S )
Su señal Exponencial Compleja (SEC) asociada será:
v~S (t ) = VS ⋅ e j (ωt +θ S )
donde
v S (t ) es la señal de entrada real en el tiempo y su SEC asociada es v~S (t ) .
Nota: j es el número imaginario o complejo también llamado i =
ingeniería se usa preferiblemente j.
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− 1 , aunque en
191
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
Como se ve pasamos del espacio real al espacio complejo. La SEC tiene entonces
parte real y parte imaginaria, las cuales varían en el tiempo.
Haciendo algunas modificaciones a la ecuación anterior tenemos:
[
]
v~S (t ) = VS ⋅ e j (ωt +θ S ) = VS ⋅ e j (ωt ) ⋅ e j (θ S ) = VS e jθ S ⋅ e jωt
El término en paréntesis cuadrados, que no depende del tiempo se conoce como el
→
fasor y se representa por el símbolo V S :
→
V S = V S e jθ S
→
La anterior se conoce como la representación polar del fasor. Este fasor
también tiene una amplitud VS , ángulo de fase θ S .
VS
Usando el fasor la SEC toma la forma
→
v~S (t ) = VS ⋅ e j (ωt +θ S ) = V S ⋅ e jωt
Otra manera de escribir el fasor es usar la notación de ingeniería eléctrica con
como una magnitud real a un ángulo de fase dada por el símbolo ∠ :
→
V S = VS ∠θ S
→
Dado un fasor
V S , nos podemos referir a su magnitud por la expresión
→
VS = V S
y a su ángulo de fase por
→
θ S = ⟨V S
Otra manera de representar el fasor es la forma rectangular, que se obtiene
usando a relación de Euler:
→
V S = VS ∠θ S = VS e jθ S = VS [cos(θ S ) + j sen (θ S )]
Figura 10-1
192
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
10.2. SEÑAL EXPONENCIAL COMPLEJA Y FASORES
La Figura 10-1 muestra la relación en el plano complejo entre la forma polar y la
forma rectangular del fasor.
Aplicando igualmente la relación de Euler a la SEC tenemos:
v~S (t ) = VS ⋅ e j (ωt +θ S ) = VS [cos(ωt + θ S ) + j sen (ωt + θ S )]
Esta SEC es entonces un fasor que rota alrededor del origen en función del tiempo,
con un ángulo inicial, por lo cual también se le llama fasor rotacional.
Ya hemos vista la manera de encontrar la SEC asociada a una señal senoidal
dada. Ahora veremos cómo hacer el proceso inverso: la señal senoidal en el
tiempo a partir de una SEC dada.
Nótese que la parte real de la SEC
v~S (t ) es justamente vS (t ) :
Re{v~S (t )} = Re{VS [cos(ωt + θ S ) + j sen (ωt + θ S )]} = VS cos(ωt + θ S ) = v S (t )
De manera que para pasar del espacio de la señal exponencial compleja dada al
espacio real en el tiempo tan solo hay que calcular la parte real de la SEC.
v S (t ) = Re{v~S (t )}
La derivada en el tiempo de la SEC es:
dv~S (t ) dVS ⋅ e j (ωt +θ S )
=
= jω ⋅ VS ⋅ e j (ωt +θ S ) = jω ⋅ v~S (t )
dt
dt
Lo que muestra que en el espacio de la SEC derivar la señal corresponde a
multiplicarla por jω . Esto tiene una implicación importante a la hora de resolver
ecuaciones diferenciales o de encontrar las relaciones entre corriente y voltaje en
inductancias y capacitancias.
10.2.1. APLICACIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Dado que la señal exponencial compleja tiene exponenciales, al sacar sus
derivadas en una ecuación diferencial vuelve a quedar una exponencial que se
puede simplificar de la ecuación, dando como resultado una nueva ecuación
puramente algebraica. Esto se muestra a continuación con una ecuación de orden
uno, como la que tenemos para el voltaje en un condensador un circuito RC en
serie ante entrada senoidal.
vC (t ) en un circuito RC serie, para voltaje de entrada AC
de la forma vin (t ) = Vin cos(ωt + θ in ) es:
La ecuación del voltaje
dvC (t )
1
1
+
vC (t ) =
vin (t )
dt
RC
RC
Al pasar al espacio de la SEC con
vC (t ) la ecuación toma la siguiente forma:
1 ~
1 ~
jωv~C (t ) +
vC (t ) =
v in (t )
RC
RC
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193
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
1 ⎤~
1 ~
⎡
⎢ jω + RC ⎥ vC (t ) = RC vin (t )
⎦
⎣
jω . La
~
solución para vC (t ) se puede expresar como v C (t ) = Re{vC (t )}, de manera que
~ (t ) , a partir de ecuaciones algebraicas y de allí
ahora debemos calcular primero v
C
Recordemos que en el espacio de la SEC derivar equivale a multiplicar por
al espacio del tiempo real, en vez de resolver la ecuación diferencial y evaluar el
resultado en estado estable.
Despejando tenemos
v~C (t ) :
v~C (t ) =
1
v~ (t )
[1 + jωRC ] in
Recordemos que las SEC se pueden expresar como un fasor multiplicado por
Aplicando esto al resultado anterior tenemos:
→
V C ⋅ e jωt =
e jωt .
→
1
V in ⋅ e jωt
[1 + jωRC ]
simplificando
→
VC =
→
1
V in
[1 + jωRC ]
→
→
La Figura 10-2 muestra la relación de los fasores V in y V C en el plano complejo,
especialmente la relación entre los ángulos y el cambio de magnitud.
Figura 10-2
→
Conociendo la magnitud y el ángulo de fase de
tiempo:
V C tenemos la solución en el
vC (t ) = VC cos(ωt + θ C )
→
VC = V C =
→
1
V in
[1 + jωRC ]
y
⎛
1
→
⎞
θ C = ⟨⎜⎜
V in ⎟⎟
⎠
⎝ [1 + jωRC ]
194
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10.3. IMPEDANCIA FASORIAL
Aplicando las normas de operaciones complejas tenemos para la magnitud:
→
1
⋅ V in
[1 + jωRC ]
→
VC = V C =
1
VC =
→
[1 + jωRC ]
⋅ V in =
Vin
1 + (ωRC )
2
y para el ángulo tenemos:
→
θ C = ⟨V in − ⟨ (1 + jωRC ) = θ in − tan −1 (ωRC )
Así que
vC (t ) = VC cos(ωt + θ C )
vC (t ) =
Vin
1 + (ωRC )
2
cos(ωt + θ in − tan −1 (ωRC ))
Esto indica que la señal de salida es igual a la de entrada pero con una atenuación
de la magnitud de 1
1 + (ωRC )
2
y un cambio de fase de
φc = − tan −1 (ωRC ) ,
los cuales dependen de la frecuencia de operación ω.
10.3. IMPEDANCIA FASORIAL Cuando la alimentación de un elemento (R, L o C) es una señal de tipo AC, por
ejemplo vin (t ) = Vm cos(ωt + θ ) , la impedancia fasorial Z de un elemento se
define como la relación entre el voltaje SEC y la corriente SEC del elemento, o lo
que como se verá es equivalente a la relación entre el fasor de voltaje y el fasor de
corriente del elemento:
Figura 10-3
r
r
v~ (t ) V ⋅ e jωt V
Z = ~ = r jωt = r
i (t ) I ⋅ e
I
Dado que la impedancia es la relación de dos fasores, que son complejos, la
impedancia será también un complejo, el cual por supuesto tendrá magnitud y fase:
Z = Z ∠θ z .
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195
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
10.3.1. IMPEDANCIA DE UN CONDENSADOR Figura 10-4
dv (t )
c
dt
dv~ (t )
~
i (t ) = C c
c
dt
r jω t
dv~ (t )
r jω t
r
d (Vc e
)
jω t ⎤
~
c
i (t ) = I c e
=C
=C
= CVc ⎡ jωe
⎢
⎥⎦
c
dt
dt
⎣
r jω t
r
jωt ⎤
I ce
= C V c ⎡ jω e
⎢⎣
⎥⎦
r
r
I c = CV c [ j ω ]
r
Vc
1
r =
Ic
jωC
r
V
1
1
Z C = rc =
=
∠ − 90°
Ic
jωC ωC
iC (t ) = C
La magnitud de la impedancia es 1/ωC y su fase -90°.
Figura 10-5
r
El fasor de corriente I c en un condensador está en adelanto con respecto al fasor
de voltaje.
196
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10.3. IMPEDANCIA FASORIAL
10.3.2. IMPEDANCIA DE UNA INDUCTANCIA Figura 10-6
di L (t )
dt
~
d i (t )
v~L (t ) = L L
dt
r jωt
r jωt
r
)
d~
iL (t )
d (I Le
jω t ⎤
~
=L
=L
= LI L ⎡⎢ jωe
v L (t ) = VL e
⎥⎦
dt
dt
⎣
r jωt
r
jωt ⎤
= LI L ⎡⎢ jωe
VL e
⎥⎦
⎣
r
r
V L = LI L [ j ω ]
r
VL
r = jωL
IL
r
VL
Z L = r = jωL = ωL ∠90°
IL
v L (t ) = L
La magnitud de la impedancia es ωL y su fase 90°.
Figura 10-7
r
El fasor de corriente I L en una inductancia está en retraso con respecto al fasor
de voltaje.
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
197
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
10.3.3. IMPEDANCIA DE UNA RESISTENCIA Figura 10-8
v R (t ) = Ri R (t )
v~ (t ) = R~
i (t )
R
R
r jωt
r jω t
v~R (t ) = VR e
iR (t ) = RI R e
= R~
r jω t
r jωt
VR e
= RI R e
r
r
VR = RI R
r
VR
r =R
IR
r
VR
Z R = r = R = R ∠0°
IR
La magnitud de la impedancia es R y su fase 0°.
Figura 10-9
r
El fasor de corriente I R en una resistencia está en fase con respecto al fasor de
voltaje. En este caso la impedancia no depende de la frecuencia.
10.3.4. ADMITANCIA FASORIAL Así como se define la relación de voltaje a corriente como la Impedancia se define
su inverso y se denomina Admitancia Y:
r
i (t ) I
1 ~
= r
Y= =
Z v~ (t ) V
198
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
10.3. IMPEDANCIA FASORIAL
10.3.5. COMPORTAMIENTO DE LAS IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA Como vimos anteriormente la impedancia de una capacitancia o una inductancia es
función de la frecuencia, de manera que con frecuencia esta impedancia Z se
escribe como Z(jω).
La siguiente tabla muestra el comportamiento de la magnitud de la impedancia de
cada elemento al variar la frecuencia entre cero (señal DC) y una alta frecuencia
(señal AC de alta frecuencia).
Tabla 10-1.
Z(jω)
Y(jω)
|Z(ω→ 0)|
|Z(ω→ ∞)|
R
R
1
R
R
R
∞
0
L
1
1
1
=−j
=
∠ − 90°
ωC ωC
jωC
Circuito
Abierto
Corto
Circuito
0
∞
Corto
Circuito
Circuito
Abierto
C
jωC
1
1
=−j
jωL
ωL
jωL = ωL∠90°
10.3.6. IMPEDANCIA FASORIAL GENERALIZADA En las secciones anteriores se presentó el concepto de impedancia de un elemento
R, L o C. Al interconectar varios elementos de este tipo podemos tener un circuito
de dos terminales para el cual podemos calcular su relación entre voltaje y
corriente y por tanto encontrar una impedancia fasorial equivalente del circuito de
dos terminales.
Figura 10-10
Nuevamente definimos la impedancia generalizada de un circuito de dos terminales
como:
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
199
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
r
v~ (t ) V
Z = ~ = r = Z ∠θ z
i (t ) I
Dado que la impedancia es la relación de dos fasores esta será también un fasor,
el cual por supuesto tendrá magnitud y fase o una parte real y otra imaginaria, ya
que el fasor se expresa como un número complejo:
Z = Z ∠θ z = R + jX
Recordando que la impedancia también depende de la frecuencia (para los
componentes L y C) podemos escribir:
Z (ω ) = Z (ω ) ∠θ z (ω ) = R (ω ) + jX (ω )
El término R (ω ) se conoce como la Resistencia AC y el término
como la Reactancia AC.
X (ω ) se conoce
Ejemplo 10-1. Impedancia RLC en serie y frecuencia de resonancia.
Para el siguiente circuito encontrar:
a. La impedancia del circuito de dos terminales de la figura (a) en forma
rectangular y polar.
b. La frecuencia de resonancia del circuito.
Figura 10-11
Solución
Parte a)
Z (ω ) = Z L + Z C + Z R = jωL +
1
+R
jωC
1 ⎞
⎛
Z (ω ) = R + j ⎜ ωL −
⎟= R+
ωC ⎠
⎝
⎛ ω 2 LC − 1 ⎞
⎟⎟
j ⎜⎜
⎝ ωC ⎠
La anterior es la forma rectangular de la impedancia, donde la resistencia y la
reactancia AC son respectivamente:
⎛ ω 2 LC − 1 ⎞
⎟⎟
R(ω ) =R y X (ω ) = ⎜⎜
⎝ ωC ⎠
200
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
10.3. IMPEDANCIA FASORIAL
Expresándolo en forma polar Z = Z ∠θ z tenemos:
2
2
⎛ ω 2 LC − 1 ⎞
−1 ⎛ ω LC − 1 ⎞
⎟⎟
⎟⎟ y θ z = tan ⎜⎜
Z = R + ⎜⎜
⎝ ωC ⎠
⎝ ωRC ⎠
2
Parte b)
La frecuencia de resonancia ωr es aquella frecuencia para la cual la reactancia es
cero:
⎛ ω r 2 LC − 1 ⎞
⎟=0
X (ω r ) = ⎜⎜
⎟
C
ω
r
⎝
⎠
Por lo tanto
ω r 2 LC − 1 = 0
ω r 2 LC = 1
ωr =
1
LC
Por lo tanto la impedancia en resonancia es:
Z (ω r ) = Z (ω r ) ∠θ z (ω r ) = R(ω r ) + jX (ω r ) = R(ω r ) = R
y así
Z (ω r ) =R
θ z (ω r ) = tan −1 (0) = 0°
Lo anterior muestra que cuando hay resonancia el circuito se comporta puramente
resistivo y por lo tanto la corriente y el voltaje están en fase. Esto se comprueba
por el hecho de que la fase de la impedancia es cero y recordando que
r
r
r r
V / I = Z ∠θ z implica que para que las fases de V y de I deben ser iguales, lo
que comprueba que están en fase.
Como se ve en este caso la frecuencia de resonancia depende de L y de C pero no
de R.
Problema 1
Para el ejemplo anterior con R=100, L=0.1 y C=2 encontrar:
a. Z(ω) en forma polar y rectangular si f = 60Hz
b. La frecuencia de resonancia y Z(ωr) en forma polar y rectangular.
c. Si vin(t) = 120cos(wt+50°) y f = 60Hz calcular los fasores de voltaje Vin, VL,
VC, VR, y los respectivos voltaje s en el tiempo vL(t), vC(t) y vR(t).
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
201
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
d. Encontrar la corriente en el tiempo i(t) si f = 60Hz.
Problema 2
Encontrar la impedancia del siguiente circuito de dos terminales:
Figura 10-12
Ejemplo 10-2. Impedancia en Amplificadores Operacionales.
Encontrar Vo y vo(t) si vi(t) = Vmcos(ωt+θi).
Figura 10-13
Solución
Con respecto a la figura (b) en la que el amplificador operacional está en
configuración de inversor tenemos:
Z
Vo
=− C =−
Vin
ZR
1
1
1
jω C
=−
= j
R
jωRC
ωRC
Como vi(t) = Vincos(ωt+θi) su fasor asociado es Vi = Vi ∠θ i
Vo = j
1
1
(Vin ∠θ i ) = Vin ∠(θ i + 90°)
Vin = j
ωRC
ωRC
ωRC
Por tanto la señal en el tiempo asociada a este fasor es:
202
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
10.3. IMPEDANCIA FASORIAL
vo (t ) =
Vin
cos(θ i + 90°)
ωRC
Ejemplo 10-3. Circuito trifásico balanceado.
Para el siguiente circuito, que representa un sistema trifásico balanceado:
a. Calcular los fasores VAB, VBC y VCA en forma rectangular y polar.
b. Mostrar que la magnitud de las corrientes es igual a I A = I AB
( 3).
..
Figura 10-14
Solución
Parte a)
VAB = VAN + VNB
= V f ∠0° + (− V f ∠ − 120°)
= V f [1 − cos(− 120°) − j ⋅ sen (− 120°)]
⎡
= V f ⎢1 − (− 0.5) −
⎢⎣
⎡
3⎤
= V f ⎢1.5 + j
⎥
2 ⎦
⎣
⎛
3 ⎞⎤
⎟⎥
j ⎜⎜ −
⎟
⎝ 2 ⎠⎥⎦
(forma rectangular)
= V f 3∠30° (forma polar)
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
203
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
VBC = VBN + VNC
= V f ∠ − 120° + (− V f ∠120°)
= V f [cos(− 120°) + j sen (− 120°) − cos(120°) − j sen (120°)]
= V f [ j sen (− 120°) − j sen (120°)]
⎡
3
3⎤
= V f ⎢− j
−j
⎥
2
2 ⎦
⎣
[
= Vf − j 3
]
= V f 3∠ − 90°
VCA = VCN + VNA
= V f ∠120° + (− V f ∠0°)
= V f [cos(120°) + j sen (120°) − 1]
⎡
3 ⎤
= V f ⎢− 0.5 + j
− 1⎥
2
⎣
⎦
⎡
3⎤
= V f ⎢− 1.5 + j
⎥
2 ⎦
⎣
= V f 3∠150°
Por lo tanto
VAB = VBC = VCA = V f 3 = VL = V AN 3
Los fasores VAB, VBC y VCA se conocen como los voltajes de línea y los fasores VAN,
VBN y VCN se conocen como los voltajes de fase o de línea a neutro con magnitud
V f . Como se ve el voltaje de línea para esta configuración es V L = V f 3 . Este
tema se tratará a fondo más adelante en otro capítulo.
Parte b)
I A = I AB − I CA
=
V AB VCA
−
Z
Z
V AB = V f 3∠30°
VCA = V f 3∠150°
204
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
10.3. IMPEDANCIA FASORIAL
IA =
=
=
=
V f 3∠30°
Z
3
Vf
Z
Vf 3
Z
V f 3∠150°
−
Z
(1∠30° − 1∠150°)
(cos(30°) +
jsen (30°) − cos(150°) − jsen (150°))
Vf 3 ⎛ 3
1
3
1⎞
⎜
⎟
+
j
+
−
j
Z ⎜⎝ 2
2
2
2 ⎟⎠
IA =
IA =
Vf 3
Z
Vf 3
Z
( 3)
( 3 ) = VZ ( 3 ) = I ( 3 )
AB
I A = I AB
AB
( 3)
Ejemplo 10-4. Impedancia y función de transferencia en función de w.
Para el circuito de la Figura 10-15 con voltaje de entrada AC:
a. Encontrar la impedancia vista por la fuente en función de w, R, C y L.
b. Encontrar la función de transferencia H (ω ) = Vout Vin .
c. Encontrar la frecuencia
ω1
para la cual la magnitud de Vout es igual a la
ωm
para la cual la magnitud de H (ω ) tiene un
magnitud de Vin .
d. Encontrar la frecuencia
máximo.
e. Graficar la magnitud y la fase del H (ω ) si R =10 Ω, C = 5mF y L= 5 mH y
calcular
ωm .
Figura 10-15
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
205
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
Solución
Parte a)
⎛
Z = R + ⎜⎜
⎝
⎛ 1 ⎞
⎜⎜
⎟ ⋅ ( j ωL )
jωC ⎟⎠
1 ⎞
⎛ ωL ⎞
⎝
⎟⎟ // ( jωL ) = R +
= R + j⎜
⎟
1
j ωC ⎠
1 − ω 2 LC ⎠
⎝
+ j ωL
j ωC
2
ωL
⎛ ωL ⎞
⎛ ωL ⎞
2
−1 ⎛
Z = R + j⎜
⎟ ∠ tan ⎜⎜
⎟= R +⎜
2
2
2
⎝ 1 − ω LC ⎠
⎝ 1 − ω LC ⎠
⎝ R 1 − ω LC
(
)
⎞
⎟⎟
⎠
Parte b)
Usando divisor de voltaje tenemos:
Vout
⎛ ⎛ 1 ⎞
⎞
⎛
⎛ ωL ⎞ ⎞
⎜ ⎜⎜
⎟⎟ // ( jωL ) ⎟
⎜
⎟ ⎟
⎜
⎛
⎞
⎜ ⎝ j ωC ⎠
⎟
jωL
1 − ω 2 LC ⎠ ⎟
⎝
⎜
⎟⎟
= Vin ⎜⎜
= Vin ⎜
⎟ = Vin ⎜ R +
2
L ⎞⎟
ω
−
+
R
LC
j
L
1
ω
ω
⎛
⎛
⎞
1
⎝
⎠
⎜R+⎜
⎟
R+⎜
⎟⎟
⎜
2
⎜ jωC ⎟⎟ // ( jωL ) ⎟
⎜
−
LC
1
ω
⎝
⎠⎠
⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
(
H (ω ) =
)
Vout
jωL
=
2
Vin
R 1 − ω LC + jωL
(
)
La magnitud será:
H (ω ) =
[R(1 − ω
ωL
2
LC
)] + (ωL )
2
2
y la fase:
⎛
ωL
⟨ H (ω ) = ⟨ jωL − ⟨ R 1 − ω 2 LC + jωL = 90° − tan −1 ⎜⎜
2
⎝ R 1 − ω LC
{(
)
}
(
⎛
ωL
⟨ H (ω ) = 90° − tan −1 ⎜⎜
2
⎝ R 1 − ω LC
(
)
)
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
En forma polar tenemos:
H (ω ) = H (ω ) ∠⟨ H (ω ) =
[R(1 − ω
jωL
2
LC
)] + ( jωL )
2
2
⎛
⎛
ωL
∠⎜⎜ 90° − tan −1 ⎜⎜
2
⎝ R 1 − ω LC
⎝
(
)
⎞⎞
⎟⎟ ⎟⎟
⎠⎠
Parte d)
Para que las dos magnitudes sean iguales se requiere que H (ω1 ) = Vout Vin = 1
206
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
10.3. IMPEDANCIA FASORIAL
ω1 L
H (ω1 ) =
[R(1 − ω LC )] + (ω L)
ω L = [R (1 − ω LC )] + (ω L )
(ω L ) = [R(1 − ω LC )] + (ω L )
0 = [R (1 − ω LC )]
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
=1
2
1
2
1
2
2
1
1
LC
ω1 =
Parte d)
Para encontrar la frecuencia
ωm
para la cual la magnitud de H (ω ) tiene un
máximo vamos a derivar H (ω ) con respecto a
⎛
d ⎜⎜
⎜
d H (ω )
= ⎝
dω
[R(1 − ω
ωL
2
LC
ω
e igualamos a cero:
)] + (ωL )
2
dω
2
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
=0
ω =ω1
Resolviendo esta ecuación llegamos a que
ωm =
1
= ω1
LC
Parte e)
ω m = ω1 =
1
=
LC
1
= 200 rad/seg
(0.005H )(0.005F )
Usando las expresiones encontradas para la magnitud y para la fase, y haciendo
variar ω tenemos:
Figura 10-16
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
207
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
Figura 10-17
Ejemplo 10-5. Impedancia y frecuencia de resonancia.
Para el circuito de la Figura 10-18:
a. Encontrar la impedancia vista por la fuente.
b. Encontrar la frecuencia de resonancia en función de R, C1, C2 y L.
c. Encontrar el circuito equivalente en DC y en alta frecuencia.
Figura 10-18
Solución
Parte a)
⎛ 1 ⎞ ⎛
⎟⎟ // ⎜⎜
Z = R + ⎜⎜
⎝ jωC1 ⎠ ⎝
=R+
1 − ω 2 LC 2
[
]
j ⋅ − ω 3 LC1C 2 + ω (C 2 + C1 )
=R+ j
208
⎛ 1 ⎞ ⎛
1
⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ jωL +
jωC1 ⎠ ⎝
j ωC 2
1 ⎞
⎟⎟ = R + ⎝
j ωL +
1
1
jωC 2 ⎠
+ jωL +
jωC1
j ωC 2
1 − ω LC 2
=R+
[
1 − ω 2 LC 2
⎞
⎟⎟
⎠=R+
( jωL )( jωC 2 ) + 1
(
jωC 2 + jωC1 + jωL − ω 2 C1C 2
]
− jω ⋅ ω 2 LC1C 2 − (C1 + C 2 )
2
[
]
ω ⋅ ω LC1C 2 − (C1 + C 2 )
2
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
)
10.3. IMPEDANCIA FASORIAL
Parte b)
Z = R(ω ) + jX (ω )
X (ω res ) = 0 =
1 − ω res LC 2
2
[
ω res =
⇒
]
ω res ⋅ ω res LC1C 2 − (C1 + C 2 )
2
1
LC 2
Parte c)
En la Figura 10-19 se puede ver el circuito para DC y para frecuencias altas
equivalente.
DC
ω >>
a)
b)
Figura 10-19
Ejemplo 10-6. Impedancia y frecuencia de resonancia.
Dado los siguientes circuitos calcular:
a)
b)
Figura 10-20
a. La impedancia Z del circuito (a).
b. La impedancia Z del circuito (b).
c. La frecuencia de resonancia
ωres
d. La frecuencia de resonancia
ωres reemplazando los valores dados R1 =1k Ω,
del circuito (b) en función de L, R1, R2 y C.
R2 =5k Ω, C = 2μF y L=1 mH.
e. La impedancia para la frecuencia de resonancia
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
ωres .
209
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
Solución
Parte a)
⎛ 1
⎞
Z = R1 + Z C // Z R2 = R1 + ⎜⎜
// R2 ⎟⎟
⎝ jω C
⎠
⎞
⎛ 1
⋅ R2 ⎟
⎜
R2
j ωC
⎟⎛⎜ jωC ⎞⎟ = R +
= R1 + ⎜
1
⎟⎜⎝ jωC ⎟⎠
⎜ 1
1 + jωCR2
+ R2 ⎟
⎜
⎠
⎝ j ωC
(
= R1 +
= R1 +
)
R2
R − jωCR22
1 − jωCR 2
⋅
= R1 + 2
2
1 + jωCR2 1 − jωCR 2
1 + (ωCR 2 )
R2
1 + (ωCR2 )
2
Z = R(ω ) + jX (ω )
⎛ ωCR 22
− j ⋅⎜
⎜ 1 + (ωCR )2
2
⎝
R(ω ) = R1 +
X (ω ) =
⎞
⎟
⎟
⎠
R2
1 + (ωCR 2 )
2
− ωCR22
1 + (ωCR2 )
2
Parte b)
La impedancia es la misma del punto anterior más la impedancia de la inductancia.
Z = jωL + R1 +
R2
1 + (ωCR2 )
2
Z = R(ω ) + jX (ω )
R(ω ) = R1 +
X (ω ) = ωL −
⎛ ωCR 22
− j ⋅⎜
⎜ 1 + (ωCR )2
2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
R2
1 + (ωCR 2 )
2
ωCR 22
2
1 + (ωCR 2 )
Parte c)
X (ω res ) = 0 ⇒ ω res L −
ω res L =
ω res =
210
ω res CR22
=0
2
1 + (ω res CR2 )
ω res CR22
2
1 + (ω res CR2 )
1
CR2
CR22
−1
L
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
10.3. IMPEDANCIA FASORIAL
ω res =
1
1
−
LC (CR 2 )2
Parte d)
ω res =
1 × 10
−3
1
1
−
−6
6
−
× 2 × 10
2 × 10 × 5 × 10 3
(
)
2
= 22360 rad
seg
Parte e)
R(ω res ) = R1 +
R2
1 + (ω res CR2 )
= 1000 +
2
(
2000
1 + 22360 × 2 × 10 −6 × 5 × 10 3
)
2
= 1000.1Ω
Z (ω res ) = R(ω res ) = 1000.1Ω
Como está en resonancia el ángulo de fase es cero.
Ejemplo 10-7. Fasores y fuentes controladas.
Dado el siguiente circuito:
a. Encontrar una expresión para ix(t) si Vi(t)= 10cos(120t+50°)V
b. Calcular ix(t) si R =1k Ω, C = 2μF y L=1 mH
Figura 10-21
Solución
Parte a)
El equivalente del circuito se presenta en la siguiente figura:
Figura 10-22
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
211
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
V a = Vb + 3 I X
⇒ Vb = V a − 3 I X
V a = Vb + 3 I X
⇒ Vb = V a − 3 I X
Va − Vi Va Vb
+
+
=0
ZR
ZC Z L
⎛ 1
1
+
Va ⎜⎜
⎝ Z R ZC
⎞ Vi Va − 3I X
⎟⎟ −
+
=0
ZL
⎠ ZR
⎛ 1
1 ⎞ Vi Va
3 ⎛ Va
⎟⎟ −
⎜⎜
+
+
−
Va ⎜⎜
⎝ Z R ZC ⎠ Z R Z L Z L ⎝ ZC
⎛ 1
1
1
3
+
+
−
Va ⎜⎜
⎝ Z R ZC Z L Z L ZC
⎞ Vi
⎟⎟ =
⎠ ZR
Vi
Va =
IX
⎞
⎟⎟ = 0
⎠
⎛ 1
1
1
3 ⎞
⎟⎟
Z R ⎜⎜
+
+
−
⎝ Z R ZC Z L Z L ZC ⎠
V
Vi
= a =
ZC
⎛ 1
1
1
3
+
+
−
Z C Z R ⎜⎜
⎝ Z R ZC Z L Z LZC
Z L ⋅ Vi
IX =
Z C Z L + Z L Z R + Z C Z R − 3Z R
⎞
⎟⎟
⎠
j ωL
=
Vi
j ωL
R
+ jωRL +
− 3R
j ωC
j ωC
j ωL
Vi
=
L
R
+ jωRL − j
− 3R
C
ωC
jω 2 LC
IX =
V
(ωL − 3ωRC ) + j ⋅ ω 2 RLC − R i
Vi (t ) = 10 cos(120t + 50°)V ⇒ Vi = 10∠50° ω = 120
(
)
Parte b:
Si R =1k Ω, C = 2μF y L=1 mH
=
(120 × 10
−3
(
)(
) (
)
j (120 ) 1 × 10 −3 2 × 10 −6
Vi
− 3 ⋅ (120 ) × 10 −3 × 2 × 10 −6 + j ⋅ 120 2 × 10 3 × 10 −3 × 2 × 10 −6 − 10 3
2
IX =
(
)
j ⋅ 2.88 × 10 −5
2.88 × 10 −5 ∠90° ⋅ (10∠90°)
⋅ 10∠50° =
− 0.6 + j ⋅ (− 1000 )
− 1000∠90°
)
I X = 2.88 × 10 −7 ∠ − 90°
i X (t ) = 2.88 × 10 −7 cos(120t − 90°)
212
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
10.3. IMPEDANCIA FASORIAL
Ejemplo 10-8. Fasores y resonancia.
Dado el siguiente circuito con entrada AC, para la cual i(t) y v(t) están en fase,
encontrar:
a. Una expresión para
ωres .
b. La magnitud de la corriente sabiendo que Vpico es 10V.
c. Calcular los valores numéricos de (a) y (b) si L = 1H, R1 = 2Ω, R2 = 1Ω y
C = 1/5F.
Figura 10-23
Solución
Parte a)
V = V m ∠θ V
I = I m ∠θ i
Cuando voltaje y corriente están en fase θ V = θ i .
V ∠θ
V
V
V
= Z m ∠θ Z = m V = m ∠(θ V − θ )i = m ∠0° ⇒
I
I m ∠θ i
Im
Im
V
Z m = m θ Z = 0° X (ω res ) = 0
Im
(
)
Z = R1 + Z L + Z R2 // Z C
= R1 +
Z C (Z L + R2 )
Z Z + R2 Z C
= R1 + L C
R2 + Z L + Z C
R2 + Z L + Z C
R
jω L
+ 2
jωC jωC
= R1 +
1
R 2 + jω L +
jωC
(
(
⎛ jω C ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ jω C ⎠
)
)
R2 + jωL
R2 + jωL
1 − ω 2 LC − j (ωR2 C )
= R1 +
= R1 +
⋅
1 − ω 2 LC + j (ωR2 C )
1 − ω 2 LC + j (ωR2 C ) 1 − ω 2 LC − j (ωR2 C )
(
Como
)
(
)
a + jb a + jb c − jd (ac + bd ) + j (bc − ad )
=
⋅
=
c + jd c + jd c − jd
c2 + d 2
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
213
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
⎛ a + jb ⎞ bc − ad
⎟⎟ = 2
Im⎜⎜
= 0 ⇒ bc − ad = 0
2
⎝ c + jd ⎠ c + d
b = ω res L c = 1 − ω res LC
d = ω res R2 C
2
Para este caso: a = R2
Reemplazando se obtiene:
bc − ad = 0
(ω res L )(1 − ω res 2 LC ) − (R2 )(ω res R2 C ) = 0
(
)
L 1 − ω res LC − R22 C = 0
2
L − ω res L2 C − R22 C = 0
2
ω res 2 L2 C = L − R22 C
ω res
2
1 ⎛ R2 ⎞
=
−⎜ ⎟
LC ⎝ L ⎠
2
1 ⎛ R2 ⎞
−⎜ ⎟
LC ⎝ L ⎠
2
ω res =
Parte b)
I=
V
Z
Z (ω0 ) = R(ω0 ) + jX (ω0 ) = R(ω0 ) = Re(Z (ω ))
ac + bd
Re(Z ) = R1 + 2
2
c +d
= R1 +
1+ ω
2
(R2 )(1 − ω 2 LC ) + (ωL )(ωR2 C )
R2 − ω 2 R2 LC + ω 2 R2 LC
= R1 +
= R1 +
1 − 2ω 2 LC + ω 4 L2 C 2 + ω 2 R22 C 2
(1 − ω 2 LC )2 + (ωR2 C )2
R2
(
R22 C 2
)
− 2 LC + ω 4 L2 C 2
Reemplazando por el valor de ω encontrado en el numeral (a) se obtiene:
Re(Z ) = R1 +
1+ ω
2
R2
(
R22 C 2
)
− 2 LC + ω L C ω =ω
4
2
2
= R1 +
0
Z (ω 0 ) = R(ω 0 ) + jX (ω 0 ) = R (ω 0 ) = R1 +
R2
R22 C
= R1 +
L
R2 C
L
L
= Z0
R2 C
10∠θ V
V
=
L
Z0
R1 +
R2 C
10
=
θ i = θV
L
R1 +
R2 C
I0 =
I pico
214
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
10.3. IMPEDANCIA FASORIAL
Parte c)
Con L=1H, R1 =2 Ω, R2 =1 Ω, C = 1/5F.
2
ω0 =
2
1 ⎛ R2 ⎞
−⎜
⎟ =
LC ⎝ L ⎠
1 ⎛1⎞
− ⎜ ⎟ = 5 −1
1
⎝1⎠
5
ω0 = 2
I pico =
10
L
R1 +
R2 C
I pico =
10
=
2+
1
11
5
( )
10
A
7
Ejemplo 10-9. Fasores y resonancia.
Una fuente con voltaje v S (t ) = 10 cos(5t + 40°)V alimenta una impedancia con
Z = 5Ω .Calcular iS (t ) si se sabe que el circuito opera a la frecuencia de
resonancia.
Solución
v S (t ) = 10 cos(5t + 40°) V ⇒ VS = 10∠40° ω = 5
Z = 5Ω
Si hay resonancia VS está en fase con I S :
I S = I s ∠40° =
Is =
VS 10∠40°
=
Z
Z m ∠θ Z
10 10
=
=2
5
Z
40° = 40° − θ Z ⇒ θ Z = 0°
por lo tanto,
I S = 2∠40° ⇒ i S (t ) = 2 cos(5t + 40°)
Ejemplo 10-10. Fasores y w.
Para la red mostrada en la siguiente figura, con señal de entrada AC:
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
215
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
Figura 10-24
a. Demostrar que |Vo|=|Vi| independientemente de la frecuencia.
b. Dar una explicación física a lo anterior.
c. Mostrar que la fase entre Vo y Vi cambia de 0° a -180° al variar la frecuencia
entre cero e infinito haciendo los cálculos necesarios y graficando la fase.
Solución
Parte a)
Hay cuatro nodos pero uno es tierra (E) y otro es el de la fuente (D),
por consiguiente, quedan dos nodos:
nodo A:
nodo B:
V A − Vi V A V A − VB
=0
+
+
ZL
ZC
ZR
⎛ 1
V
1
1 ⎞ 1
⎟⎟ −
V A ⎜⎜
+
+
VB = i
ZL
⎝ Z L ZC Z R ⎠ Z R
V B − V A V B − Vi V B
+
=0
+
ZC
ZR
ZL
−
1
1
⎡ 1
⎢Z + Z + Z
C
R
⎢ L
1
⎢
−
⎢⎣
ZR
⎛ 1
1
1
1 ⎞ Vi
⎟⎟ =
+
+
V A + V B ⎜⎜
ZR
⎝ Z R ZC Z L ⎠ ZC
1
⎤
⎡ 1
⎥
⎡V ⎤ ⎢ Z
ZR
⎥⎢ A ⎥ = ⎢ L
1
1
1 ⎥ ⎣V B ⎦ ⎢ 1
+
+
⎢⎣ Z C
Z R Z C Z L ⎥⎦
−
⎤
⎥
⎥Vi
⎥
⎥⎦
Se necesita despejar VA y VB del sistema para obtener:
V0 = V A − V B
Para un sistema:
⎡a b ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡u ⎤
⎢c d ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢v ⎥
⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦
⎣
216
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
10.3. IMPEDANCIA FASORIAL
con a=d y b=c se tiene:
u b
v a
x1 = 2
a − b2
x1 − x 2 =
a u
b v
x2 = 2
a − b2
(au − bv ) − (av − ub ) = a(u − v ) + b(u − v ) = (u − v )(a + b ) = u − v
(a − b )(a + b ) a − b
a2 − b2
a2 − b2
Aplicando esta solución al circuito se obtiene:
1
1
1
1
−
−
Z L ZC
Z L ZC
YL − YC
V0 = V A − VB = Vi
= Vi
= Vi
−1
1
1
1
1
1
2
YL + YC + 2YR
+
+
−
+
+
Z L ZC Z R Z R
Z L ZC Z R
⎤
⎡
1
− jω C
⎥
⎢
⎡
⎤
1 + ω 2 LC
jωL
⎥ ⋅ jωL = Vi ⎢
V0 = Vi ⎢
⎥
2
⎢ 1
− ω LC + j 2ω LC ⎦
C ⎥ jω L
⎣1 4
1
4
4
4
2
4
4
4
4
3
j
C
2
+
+
ω
⎥
⎢
H ( jω )
L⎦
⎣ jωL
(
)
V0 = Vi ⋅ H ( jω )
V 0 = V i ⋅ H ( jω )
1 + ω 2 LC
1 − ω 2 LC + j 2ω LC
1 + ω 2 LC
1 + ω 2 LC
H ( jω ) =
=
(1 − ω 2 LC )2 + 2ω LC 2 (1 − ω 2 LC )2 + 2ω LC
H ( jω ) =
(
(
H ( jω ) =
H ( jω ) =
)
)
(
1 + ω 2 LC
(
1 − 2ω 2 LC + ω 2 LC
1 + ω 2 LC
(
1 + 2ω 2 LC + ω 2 LC
⇒
)
2
=
)
2
2
2
+ 4ω 2 LC
1 + ω 2 LC
(1 + ω
)
LC
)
2
=
1 + ω 2 LC
=1
1 + ω 2 LC
V 0 = Vi
Parte b)
∠V0 = ∠(Vi ⋅ H ( jω )) = ∠Vi + ∠H ( jω )
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
217
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
φ = ∠V0 − ∠Vi = ∠H ( jω ) = ∠(1 + ω 2 LC ) − ∠(1 − ω 2 LC + j (2ω LC ))
(
(
= 0 − ∠ 1 − ω 2 LC + j 2ω LC
))
⎛ 2ω LC ⎞
⎟
= − tan −1 ⎜⎜
2
⎟
1
ω
LC
−
⎝
⎠
Para ω 0 = 0 :
φ = − tan −1 (0) = 0°
Para ω ∞ → ∞ :
⎛ 2ω LC ⎞
⎟ = −180°
φ = − lim tan −1 ⎜⎜
2
⎟
ω →∞
⎝ 1 − ω LC ⎠
Parte c)
A baja frecuencia (ω → 0) :
Figura 10-25
φ = ∠V0 − ∠Vi
V0 = Vi → φ = 0
A alta frecuencia (ω → ∞ ) :
Figura 10-26
φ = ∠V0 − ∠Vi
V0 = − Vi →
218
∠V0 = ∠Vi − 180°
→
φ = −180°
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
10.4. SIMULACIONES
10.4. SIMULACIONES 10.4.1. SEÑAL EXPONENCIAL COMPLEJA Y FASORES. Figura 10-27
Descripción
Esta simulación permite mostrar la relación entre una señal senoidal y su señal
exponencial compleja SEC (fasor rotatorio) asociada y como transformar de una a
otra señal en los dos sentidos. También permite ver la relación entre la SEC y el
Fasor asociado y entre este fasor y la señal senoidal viendo la correspondencia
entre sus magnitudes y ángulos de fase.
Uso educativo
Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para
estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica.
Una vez los estudiantes manejan los conceptos de señal exponencial compleja y
fasores pueden interactuar con la simulación para ver los efectos de los cambios
en la magnitud y la fase de un fasor con la señal senoidal asociada al mismo.
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
219
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
10.4.2. FASORES. MAGNITUD Y FASE. Figura 10-28
Descripción
Esta simulación permite mostrar la relación entre una señal senoidal y su señal
exponencial compleja SEC (fasor rotatorio) asociada. También permite ver la
relación entre la diferencia de los ángulos de fase de varios fasores y el desfase en
las señales senoidales asociadas. Con el uso de tres fasores permite explicar los
conceptos de fuentes trifásicas.
Uso educativo
Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para
estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica.
Una vez los estudiantes manejan los conceptos de señal exponencial compleja y
fasores pueden interactuar con la simulación para ver las relaciones entre los
ángulos de fase de los fasores y la fase de las señales senoidales asociadas.
220
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
10.4. SIMULACIONES
10.4.3. FASORES. OPERACIONES Figura 10-29
Descripción
Esta simulación permite mostrar los resultados de sumar, restar y multiplicar
señales exponenciales complejas SEC o fasores y el resultado en las señales
senoidales asociadas a ellos. Muestra los cambios en la magnitud y fase de la
señal resultado al variar los fasores originales y el cambio en la frecuencia al
multiplicar dos SEC.
Uso educativo
Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para
estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica.
Una vez los estudiantes manejan los conceptos de señal exponencial compleja y
fasores y operaciones entre ellos pueden interactuar con la simulación para ver las
relaciones entre los ángulos de fase y las magnitudes de los fasores originales y
los del fasor resultante o la señal senoidal resultante. Al multiplicar dos señales de
la misma frecuencia muestra como la señal resultante tiene una frecuencia
duplicada.
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
221
10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
10.4.4. FASORES. MAGNITUD Y FASE Figura 10-30
Descripción
Esta simulación permite mostrar la dependencia de la magnitud y la fase de la
impedancia y de una la función de transferencia en función de la frecuencia.
Uso educativo
Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para
estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica.
Una vez los estudiantes manejan los conceptos fasores y su magnitud y fase en
función de la frecuencia ellos pueden interactuar con la simulación para ver cómo
la función de magnitud o la función de fase de una función de transferencia,
respecto a la frecuencia depende de los valores particulares que tengan los
componentes del circuito (R, L o C). Igualmente puede observar la variación de la
impedancia respecto a la frecuencia.
222
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
10.4. SIMULACIONES
10.4.5. POTENCIA AC EN ESTADO ESTABLE Figura 10-31
Descripción
Esta simulación permite mostrar los conceptos Potencia AC en estado estable,
Potencia Activa, Potencia Reactiva, Potencia Aparente, Potencia Compleja y
Factor de Potencia en función de la impedancia y las relaciones entre voltaje y
corriente fasorial.
Uso educativo
Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para
estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica.
Una vez los estudiantes manejan los conceptos de potencia compleja, potencia
activa y reactiva, potencia aparente, impedancia y factor de potencia, los
estudiantes pueden interactuar para analizar los efectos del cambio en la
impedancia sobre la potencia, tanto en el plano complejo como en el tiempo. Estos
cambios se pueden observar al cambiar el fasor de voltaje o la magnitud y fase de
la impedancia.
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
223