Expresiones indexadas

Expresiones indexadas
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expresiones matriciales y expresiones en ı́ndices:
Convenio de Einstein.
Cualquier expresión dependiente de un sistema de ı́ndices, que contenga
un ı́ndice repetido dos veces denotará la suma de todos los valores posibles
del ı́ndice repetido.
Ejemplo 1.1 Supongamos que trabjamos con ı́ndices que varı́an entre 1 y n. Entonces:
1. aik · bkj =
2. xi · yi =
Pn
k=1
Pn
i=1
aik bkj = ai1 b1j + . . . + ain bnj .
xi yi = x1 y1 + . . . xn yn .
Pn Pn
3. xi · aij · y j =
. . . + xn ann y n .
4. biij =
2
Pn
i=1
i=1
j=1
xi aij y j = x1 a11 y 1 + . . . + xn an1 y 1 + . . . + x1 a1n y n +
biij = b11j + . . . + bnnj .
Paso de expresiones matriciales a expresiones
con ı́ndices.
Sean A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices cuadradas de dimensión n. Si C = (cij ) es
la matriz producto C = A · B, sabemos que:
cij =
n
X
aik bkj .
k=1
Con el convenio de Einstein:
cij = aik bkj .
En general sean A = (aij ), B = (bij ) matrices cuadradas n-dimensionales y
x̄ = (xi ), ȳ = (y i ) vectores n-dimensionales. Tenemos las siguientes relaciones entre
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Expresión matricial
Expresión en ı́ndices.
C =A·B
cij = aik bkj
C = A · Bt
cij = aik bjk
C = At · B
cij = aki bkj
C = At · B t
cij = aki bjk
(x) · {y}
xi y i
(x)A
xi aij
(x)At
xi aji
A{x}
aij xj
At {x}
aji xj
C = {x}(y)
Cij = xi y j
(x)A{y}
xi aij y j
traza(A)
aii