Maximizar z = 2x1 + 3x2 Sujeto a:

315
M de R
Versión 1
Primera Parcial
Lapso 2008-2
1/5
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA
VICERRECTORADO ACADÉMICO
ÁREA INGENIERÍA
MODELO DE RESPUESTA
ASIGNATURA: Investigación de operaciones I
MOMENTO: Primera Parcial
FECHA DE APLICACIÓN: 20/09/08;
MOD. I, UND. 1, OBJ. 1
CÓDIGO: 315
VERSIÓN:1
CRITERIO DE DOMINIO 1/1
1- Variables de decisión:
x: número de paquetes a adquirir de Casa Gómez
y: número de paquetes a adquirir de Editora París
Modelo de PL:
Minimizar
Sujeto a
50 x +
150 y
5x + 5 y ≥ 2.500
5x + 10 y ≥ 3.500
x - 3y ≤ 0
Como y ≥ (x+y)/4 ( al menos un 25% de
x ,y ≥ 0
los paquetes, que es la cuarta parte es de E.
P), por lo tanto 4y ≥ x + y, resultando la
inecuación presentada
Criterio de corrección: Se logra el objetivo si se formula el modelo de manera
equivalente. Es obligatorio definir las variables de decisión.
MOD. I, UND. 2, OBJ. 2
2-
CRITERIO DE DOMINIO 1/1
Método Gráfico:
Maximizar z = 2x1 +
Sujeto a:
-3x1 +
2x1 +
3x2
2 x2
3 x2
x1, x2
Ingeniería de Sistemas
≤ 6
≤ 24
≥ 0
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Optimo
Región factible
Solución óptima: x1 * = 2,31; x2 * = 6,46 ; z* = 24. En este caso se presentan
infinitas soluciones, ya que z es paralela al hiperplano que representa la segunda
restricción, y el sentido de optimización ocurre hacia el mismo. Luego, la solución
presentada es una de las posibles soluciones.
Criterio de corrección: Se logra el objetivo si se aplica correctamente el Método
Gráfico y se obtiene la solución óptima.
MOD. II, UND. 3, OBJ. 3
CRITERIO DE DOMINIO 1/1
3- Soluciones básicas factibles del PPL
Maximizar z = 2 x1 - 2x2 + 5 x3
sujeto a:
2 x1 + x2
≤ 16
x2 + x3 ≤ 10
x1, x2, x3 ≥ 0
Agregamos variables de holgura a las dos primeras restricciones:
Ingeniería de Sistemas
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2 x1 + x2
+ x4
= 16
+ x5 = 10
x2 + x3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
a) { x4, x5 }
−1
⎡1 0⎤ −1 ⎡1 0⎤
⎛16 ⎞
⎛16 ⎞
B=⎢
,B = ⎢
,b = ⎜⎜ ⎟⎟, x B = B b = ⎜⎜ ⎟⎟
⎥
⎥
⎣0 1 ⎦
⎣0 1 ⎦
⎝10 ⎠
⎝10 ⎠
xB es una solución básica factible, está en la base y cumple con
las restricciones.
b) { x1,x3 }, empleando la siguiente fórmula para hallar la matriz inversa
correspondiente tenemos:
⎡a b ⎤
A =⎢
⎥
⎣c d ⎦
−1
−1
=
1 ⎡ d − b⎤
ad − bc ⎢⎣− c a ⎥⎦
−1
⎛ 10 ⎞
⎡2 1⎤ −1 ⎡0 1 ⎤
B=⎢
,B = ⎢
, x B = B b = ⎜⎜ ⎟⎟
⎥
⎥
⎝ − 4⎠
⎣1 − 2⎦
⎣1 0 ⎦
xB es una solución básica, ya que está en la base pero no cumple
con las restricciones de no negatividad.
c) { x1, x4 }
⎡2 1⎤
B=⎢
⎥
⎣0 0⎦
Como la matriz B no es invertible, los dos vectores no pueden
formar una base y por ende ser solución del problema.
Criterio de corrección: se logra el objetivo si se obtienen tres combinaciones
de vectores pertenecientes al conjunto de restricciones, tal que cada una de
ellas cumpla con lo solicitado en cada sección
Ingeniería de Sistemas
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MOD. II, UND. 4, OBJ. 4
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CRITERIO DE DOMINIO 1/1
4- Dual del siguiente PPL:
Maximizar z = 2 x1 + x2 + 3x3 + 4x4
Sujeto a
4 x1
4 x1
3 x1
3 x1
x1
+
+
+
+
+
2x2
2x2
5x2
5x2
x2
+ 5x3 + 5x4
+ 5x3 + 5x4
+ 4x3 + x4
+ 4x3 + x4
+ x3 + x4
x1, x2, x3, x4 ≥
≤ 10
≥ 5
≥ 8
≤ 15
= 20
0
A cada restricción del tipo “≥” , se les cambia el signo, resultando en una
restricción del tipo “≤” , esto se hace para llevar el problema a uno de
maximización normal.
La restricción de igualdad se puede transformar en dos restricciones, una
del tipo “≥” y la otra “≤” .
De esta manera el conjunto de restricciones resulta en:
4 x1
-4 x1
-3 x1
3 x1
x1
- x1
+
+
+
-
2x2 + 5x3 + 5x4
2x2
- 5x3 - 5x4
5x2 - 4x3 - x4
5x2 + 4x3 + x4
x2 + x3 + x4
x2
- x3 - x4
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
produciendo el problema de maximización normal:
Maximizar z = 2 x1 + x2 + 3x3 + 4x4
sujeto a
4 x1 + 2x2
-4 x1 - 2x2
-3 x1 - 5x2
3 x1 + 5x2
x1 + x2
- x1 x2
x1, x2, x3, x4
+ 5x3
- 5x3
- 4x3
+ 4x3
+ x3
x3
≥ 0
+ 5x4
- 5x4
- x4
+ x4
+ x4
- x4
≤
≤
≤
≤
≤
≤
10
-5
-8
15
20
-20
Ingeniería de Sistemas
≤
≤
≤
≤
≤
≤
10
-5
-8
15
20
-20
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Problema Dual (1):
Minimizar w = 10 y1 - 5 y2 - 8y3 + 15 y4 + 20y5 - 20 y6
sujeto a
4 y1
2 y1
5 y1
5 y1
-
4y2
2y2
5y2
5y2
- 3y3
- 5y3
- 4y3
- y3
+ 3 y4 +
+ 5 y4 +
+ 4 y4 +
+ y4 +
≥
≥
≥
≥
y5 - y6
y5 - y6
y5 - y6
y5 - y6
2
1
3
4
y1, y2, y3, y4, y5, y6 ≥ 0
Problema Dual (2): Si no se transforma la restricción de igualdad en dos
inecuaciones, resulta un dual con menos variables pero equivalente.
Minimizar w = 10 y1 - 5 y2 - 8y3 + 15y4 + 20 y5
sujeto a
4 y1
2 y1
5 y1
5 y1
-
4y2
2y2
5y2
5y2
y1, y2, y3, y4
- 3y3
- 5y3
- 4y3
- y3
+ 3 y4 +
+ 5 y4 +
+ 4 y4 +
+
y4 +
y5
y5
y5
y5
≥
≥
≥
≥
2
1
3
4
≥ 0
y5 irrestricta en signo
Criterio de corrección: Se logra el objetivo si
equivalente a los presentados
se obtiene un problema dual
FIN DEL MODELO DE RESPUESTAS
Ingeniería de Sistemas