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Álgebra lineal y Geometrı́a I
Daniel Hernández Serrano
Darı́o Sánchez Gómez
Departamento de MATEMÁTICAS
SEMINARIO V.
3.
Espacio dual. Subespacio incidente. Ecuaciones paramétricas e implı́citas.
3.1. Ecuaciones paramétricas e implı́citas.
31. Se consideran los siguientes subespacios de R3 generados por:
E1 = h(1, 0, 1), (0, 1, 0)i ,
E2 = h(1, 3, 2)i
Hallar las ecuaciones paramétricas e implı́citas de dichos subespacios.
32. Se consideran los siguientes subespacios de R4 generados por:
E1 = h(1, 0, 1, 0), (1, 2, 3, 0)i ,
E2 = h(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)i
Hallar las ecuaciones paramétricas e implı́citas de dichos subespacios.
3.2. Espacio dual. Subespacio incidente.
33. Comprueba que {ē1 = (0, 1, 1), ē2 = (1, 0, 0), ē3 = (2, −1, 0), } es una base de R3 y calcula su base
dual.
34. Sean las formas lineales de R3 :
ω̄1 (x, y, z) = x + 2y + 3z,
ω̄2 (x, y, z) = x + 6y + 8z
y
ω̄3 (x, y, z) = x + 10y + 14z.
3 ∗
{ω̄i }3i=1
Demuestra que
forma una base de (R ) . Calcula las coordendas de la forma lineal
ω(x, y, z) = 3x + 4y + 10z en dicha base.
35. Dados los siguientes subespacios de R4 :
V = h(1, −1, 2, 1)i , V 0 = h(1, −1, 2, 1), (2, 0, −1, −1)i y V 00 = h(1, −1, 2, 1), (2, 0, −1, −1), (3, 3, 1, 0)i
Calcula una base de cada uno de los incidentes y analiza si la forma lineal ω(x1 , x2 , x3 , x4 ) =
2x1 − x2 − 3x3 + 3x4 , pertenece a alguno de esos incidentes.
36. Sea {e1 , e2 , e3 } una base de un R-espacio vectorial E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base dual. Sea la aplicación
lineal T : E ∗ → E definida por:
T (ω1 ) = e1 − e2 ,
T (ω2 ) = 2e1 + e2 + e3 ,
◦
T (ω3 ) = 3e2 + e3 .
◦
Calcula bases de ker T , Im T , (ker T ) y (Im T ) .
37. Sea E un R-espacio vectorial de dimensión 3, {e1 , e2 , e3 } una base de E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base
dual.
a) Dados los subespacios V =< e1 − e2 , 2e1 − e3 > y V 0 =< 2e2 + e3 , e1 + e2 + e3 >, calcula una
base de (V ∩ V 0 )◦ y las ecuaciones implı́citas y paramétricas de V ∩ V 0 .
b) Demuestra que las formas lineales {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } definidas por
ω̄1 (e) = x + y + z,
ω̄2 (e) = y − 2z,
ω̄3 (e) = x + y
para cada vector e = xe1 + ye2 + ze3 , forman una base del espacio dual E ∗ . Calcula una base
{ē1 , ē2 , ē3 } de E cuya base dual sea {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }.
c) Calcula las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 en la base {ē1 , ē2 , ē3 } y el incidente del
subespacio < u > en función de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }.
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ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO V.
32. Se consideran los siguientes subespacios de R4 generados por:
E1 = h(1, 0, 1, 0), (1, 2, 3, 0)i ,
E2 = h(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)i
Hallar las ecuaciones paramétricas e implı́citas de dichos subespacios.
Solución:
Ecuaciones de E1 = h(1, 0, 1, 0), (1, 2, 3, 0)i ⊂ R4 .
En primer lugar observemos que los vectores u = (1, 0, 1, 0), v = (1, 2, 3, 0) no son proporcionales, luego forman base de E1 . Teniendo en cuenta que todo vector de E1 se expresa de modo
único como combinación lineal de u y v se tiene que un vector e = (x, y, z, t) ∈ R4 pertenece
a E1 si y sólo si e = λu + µv (donde λ, µ ∈ R). Escribir esta relación en coordenadas es dar la
ecuación paramétrico-vectorial de E1 :
(x, y, z, t) = λ(1, 0, 1, 0) + µ(1, 2, 3, 0) .
Las ecuaciones paramétricas de E1 son por tanto:
x=λ+µ
y = 2µ
z = λ + 3µ
t=0
Daremos ahora las ecuaciones implı́citas de E1 de dos formas, en primer lugar usando la teorı́a
del rango. Recordemos que un vector e de R4 está en E1 si e = λu + µv, o equivalentemente,
si e es combinación lineal de u y v, y por lo tanto (como u y v son base de E1 ) si rg(e, u, v) =
rg(u, v) = 2. En coordenadas:


x y z t
rg  1 0 1 0 = 2 .
1 2 3 0
Luego
fijado un menor de orden 2 no nulo (que nos da la dimensión de E1 ), por ejemplo
1 0
1 2 6= 0, esta condición equivale a la anulación de dos menores de orden 3:
x y z x y t 1 0 1 = 0
1 0 0 = 0
1 2 3
1 2 0
que son las ecuaciones implı́citas de E1 , y que simplificando resultan:
x+y−z =0
t = 0.
◦
Calculemos ahora utilizando el subespacio incidente a E1 . La dimensión de E1 es 2 (la fórmula
◦
de la dimensión dice que dimR E1 = dimR R4 − dimR E1 ), y se tiene:
E1◦ : = {ω = (α, β, γ, δ) ∈ R4,∗ | ω(u) = 0 y ω(v) = 0} =
= {(α, β, γ, δ) | α + γ = 0, , α + 2β + 3γ = 0} = h(1, 1, −1, 0), (0, 0, 0, 1)i = hθ1 , θ2 i
◦ ◦
Por reflexividad tenemos que E1 = (E1 , luego un vector e = (x, y, z, t) ∈ R4 yace en E1 si
y sólo si:
θ1 (x, y, z, t) = 0
y
θ2 (x, y, z, t) = 0 ,
es decir, si y sólo si:
x+y−z =0
y
t = 0.
Ecuaciones de E2 = h(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)i = hu1 , u2 , u3 i ⊂ R4 . Es fácil comprobar
que rg(u1 , u2 , u3 ) = 3 y por lo tanto estos vectores forman base de E2 . Se tiene entonces que
un vector cualquiera e = (x, y, z, t) de E2 es de la forma:
(x, y, z, t) = α(1, 1, 0, 0) + β(1, 0, 1, 0) + γ(1, 1, 1, 1) ,
con α, β, γ ∈ R .
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En consecuencia las ecuaciones paramétricas de E2 son:
x=α+β+γ
y =α+γ
z =β+γ
t=γ
◦
dimR E2
Como
= dimR R4 − dimR E2 = 4 − 3 = 1, entonces E2 viene descrito por una ecuación
implı́cita, que se deduce directamente de las ecuaciones paramétricas anteriores:
x − y − z + t = 0.
37. Sea E un R-espacio vectorial de dimensión 3, {e1 , e2 , e3 } una base de E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base
dual.
a) Dados los subespacios V =< e1 − e2 , 2e1 − e3 > y V 0 =< 2e2 + e3 , e1 + e2 + e3 >, calcula una
base de (V ∩ V 0 )◦ y las ecuaciones implı́citas y paramétricas de V ∩ V 0 .
b) Demuestra que las formas lineales {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } definidas por
ω̄2 (e) = y − 2z,
ω̄1 (e) = x + y + z,
ω̄3 (e) = x + y
para cada vector e = xe1 + ye2 + ze3 , forman una base del espacio dual E ∗ . Calcula una base
{ē1 , ē2 , ē3 } de E cuya base dual sea {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }.
c) Calcula las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 en la base {ē1 , ē2 , ē3 } y el incidente del
subespacio < u > en función de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }.
Solución:
a) Se tiene que {v1 = (1, −1, 0), v2 = (2, 0, −1)} y {v10 = (0, 2, 1), v20 = (1, 1, 1)} son bases de V
y V 0 respectivamente (pues no son proporcionales). Dado que nos piden calcular también las
ecuaciones paramétricas, calculemos una base de V ∩ V 0 . Teniendo en cuenta que los vectores
{v1 , v2 , v10 } forma base de V + V 0 (pues det(v1 , v2 , v10 ) 6= 0) y la fórmula de la dimensión:
dimR (V + V 0 ) = dimR V + dimR V 0 − dimR (V ∩ V 0 ) ,
se deduce que dimR (V ∩ V 0 ) = 1, y dado que v20 − v10 = v1 se tiene que:
V ∩ V 0 = hv1 i = h(1, −1, 0)i .
En consecuencia, todo vector u = (x, y, z) de V ∩ V 0 se escribe como u = λv1 (con λ ∈ R) y
las ecuaciones paramétricas de V ∩ V 0 son:
x = λ,
y = −λ ,
z = 0.
Por otra parte tenemos que:
dimR (V ∩ V 0 )◦ = dimR R3 − dimR (V ∩ V 0 ) = 3 − 1 = 2 ,
luego dos será el número de ecuaciones implı́citas que definen V ∩ V 0 , y como de las ecuaciones
(paramétricas) anteriores se deduce que:
x + y = 0,
z=0
se concluye que estas son precisamente las ecuaciones implı́citas de V ∩ V 0 .
Por último, dadas las ecuaciones implı́citas se sigue que {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de
(V ∩ V 0 )◦ .
b) Las coordenadas de la formas ω̄1 , ω̄2 y ω̄3 en la base {ω1 , ω2 , ω3 } son:
ω̄1 = (1, 1, 1) ,
ω̄2 = (0, 1, −2) ,
ω̄3 = (1, 1, 0) .
Como la dimensión del espacio dual E ∗ es 3 y det(ω1 , ω2 , ω3 ) 6= 0 se sigue que dichas formas
lineales forma base de E ∗ .
Para calcular una base {ē1 , ē2 , ē3 } de E dual de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } observemos en primer lugar que
ya tenemos la matriz de cambio de base de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } a {ω1 , ω2 , ω3 }:


1 0 1
∗
∗
E{ω̄
→ E{ω
C = 1 1 1 .
1 ,ω̄2 ,ω̄3 }
1 ,ω2 ,ω3 }
1 −2 0
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∗
∗
El morfismo E{ω̄
→ E{ω
induce un morfismo entre los espacios vectoriales duales
1 ,ω̄2 ,ω̄3 }
1 ,ω2 ,ω3 }
(morfismo transpuesto) E{e1 ,e2 ,e3 } → E{ē1 ,ē2 ,ē3 } (por reflexividad E ∗∗ ' E y donde {ē1 , ē2 , ē3 }
es la base dual de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } que buscamos) cuya matriz asociada es C t .
Por definición de matriz asociada respecto de una pareja de bases, las columnas de la matriz C t expresan los vectores ei en función de los ēj , que es justo lo contrario a lo que nos
pide el ejercicio. Por lo tanto nos interesa conocer la matriz de E{ē1 ,ē2 ,ē3 } → E{e1 ,e2 ,e3 } , que
precisamente es:


−2 −1 3
t −1
1 −2 .
(C ) =  2
1
0 −1
Se concluye entonces que:
ē1 = (−2, 2, 1) ,
ē2 = (−1, 1, 0) ,
ē3 = (3, −2, −1)
es la base dual de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }.
c) Las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 = (1, −1, 1) en la base {ē1 , ē2 , ē3 } son:
E{e1 ,e2 ,e3 } → E{ē1 ,ē2 ,ē3 }
  
1
1
u = (1, −1, 1) 7→ C t · −1 = 0
1
1
1
1
1
    
1
1
1
−2 · −1 = −3 .
0
1
0
Se tiene ası́ que u = ē1 − 3ē2 , luego:
◦
∗
∗
hui = {ω̄ ∈ E{ω̄
| ω̄(u) = 0} = {ω̄ = (α, β, γ) ∈ E{ω̄
| α − 3β = 0} =
1 ,ω̄2 ,ω̄3 }
1 ,ω̄2 ,ω̄3 }
= h(3, 1, 0), (0, 0, 1)i = h3ω̄1 + ω̄2 , ω̄3 i .