Álgebra lineal y Geometrı́a I Daniel Hernández Serrano Darı́o Sánchez Gómez Departamento de MATEMÁTICAS SEMINARIO V. 3. Espacio dual. Subespacio incidente. Ecuaciones paramétricas e implı́citas. 3.1. Ecuaciones paramétricas e implı́citas. 31. Se consideran los siguientes subespacios de R3 generados por: E1 = h(1, 0, 1), (0, 1, 0)i , E2 = h(1, 3, 2)i Hallar las ecuaciones paramétricas e implı́citas de dichos subespacios. 32. Se consideran los siguientes subespacios de R4 generados por: E1 = h(1, 0, 1, 0), (1, 2, 3, 0)i , E2 = h(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)i Hallar las ecuaciones paramétricas e implı́citas de dichos subespacios. 3.2. Espacio dual. Subespacio incidente. 33. Comprueba que {ē1 = (0, 1, 1), ē2 = (1, 0, 0), ē3 = (2, −1, 0), } es una base de R3 y calcula su base dual. 34. Sean las formas lineales de R3 : ω̄1 (x, y, z) = x + 2y + 3z, ω̄2 (x, y, z) = x + 6y + 8z y ω̄3 (x, y, z) = x + 10y + 14z. 3 ∗ {ω̄i }3i=1 Demuestra que forma una base de (R ) . Calcula las coordendas de la forma lineal ω(x, y, z) = 3x + 4y + 10z en dicha base. 35. Dados los siguientes subespacios de R4 : V = h(1, −1, 2, 1)i , V 0 = h(1, −1, 2, 1), (2, 0, −1, −1)i y V 00 = h(1, −1, 2, 1), (2, 0, −1, −1), (3, 3, 1, 0)i Calcula una base de cada uno de los incidentes y analiza si la forma lineal ω(x1 , x2 , x3 , x4 ) = 2x1 − x2 − 3x3 + 3x4 , pertenece a alguno de esos incidentes. 36. Sea {e1 , e2 , e3 } una base de un R-espacio vectorial E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base dual. Sea la aplicación lineal T : E ∗ → E definida por: T (ω1 ) = e1 − e2 , T (ω2 ) = 2e1 + e2 + e3 , ◦ T (ω3 ) = 3e2 + e3 . ◦ Calcula bases de ker T , Im T , (ker T ) y (Im T ) . 37. Sea E un R-espacio vectorial de dimensión 3, {e1 , e2 , e3 } una base de E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base dual. a) Dados los subespacios V =< e1 − e2 , 2e1 − e3 > y V 0 =< 2e2 + e3 , e1 + e2 + e3 >, calcula una base de (V ∩ V 0 )◦ y las ecuaciones implı́citas y paramétricas de V ∩ V 0 . b) Demuestra que las formas lineales {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } definidas por ω̄1 (e) = x + y + z, ω̄2 (e) = y − 2z, ω̄3 (e) = x + y para cada vector e = xe1 + ye2 + ze3 , forman una base del espacio dual E ∗ . Calcula una base {ē1 , ē2 , ē3 } de E cuya base dual sea {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }. c) Calcula las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 en la base {ē1 , ē2 , ē3 } y el incidente del subespacio < u > en función de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }. 12 Álgebra Lineal y Geometrı́a I. Grado en Fı́sicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano. D. Sánchez Gómez 13 ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO V. 32. Se consideran los siguientes subespacios de R4 generados por: E1 = h(1, 0, 1, 0), (1, 2, 3, 0)i , E2 = h(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)i Hallar las ecuaciones paramétricas e implı́citas de dichos subespacios. Solución: Ecuaciones de E1 = h(1, 0, 1, 0), (1, 2, 3, 0)i ⊂ R4 . En primer lugar observemos que los vectores u = (1, 0, 1, 0), v = (1, 2, 3, 0) no son proporcionales, luego forman base de E1 . Teniendo en cuenta que todo vector de E1 se expresa de modo único como combinación lineal de u y v se tiene que un vector e = (x, y, z, t) ∈ R4 pertenece a E1 si y sólo si e = λu + µv (donde λ, µ ∈ R). Escribir esta relación en coordenadas es dar la ecuación paramétrico-vectorial de E1 : (x, y, z, t) = λ(1, 0, 1, 0) + µ(1, 2, 3, 0) . Las ecuaciones paramétricas de E1 son por tanto: x=λ+µ y = 2µ z = λ + 3µ t=0 Daremos ahora las ecuaciones implı́citas de E1 de dos formas, en primer lugar usando la teorı́a del rango. Recordemos que un vector e de R4 está en E1 si e = λu + µv, o equivalentemente, si e es combinación lineal de u y v, y por lo tanto (como u y v son base de E1 ) si rg(e, u, v) = rg(u, v) = 2. En coordenadas: x y z t rg 1 0 1 0 = 2 . 1 2 3 0 Luego fijado un menor de orden 2 no nulo (que nos da la dimensión de E1 ), por ejemplo 1 0 1 2 6= 0, esta condición equivale a la anulación de dos menores de orden 3: x y z x y t 1 0 1 = 0 1 0 0 = 0 1 2 3 1 2 0 que son las ecuaciones implı́citas de E1 , y que simplificando resultan: x+y−z =0 t = 0. ◦ Calculemos ahora utilizando el subespacio incidente a E1 . La dimensión de E1 es 2 (la fórmula ◦ de la dimensión dice que dimR E1 = dimR R4 − dimR E1 ), y se tiene: E1◦ : = {ω = (α, β, γ, δ) ∈ R4,∗ | ω(u) = 0 y ω(v) = 0} = = {(α, β, γ, δ) | α + γ = 0, , α + 2β + 3γ = 0} = h(1, 1, −1, 0), (0, 0, 0, 1)i = hθ1 , θ2 i ◦ ◦ Por reflexividad tenemos que E1 = (E1 , luego un vector e = (x, y, z, t) ∈ R4 yace en E1 si y sólo si: θ1 (x, y, z, t) = 0 y θ2 (x, y, z, t) = 0 , es decir, si y sólo si: x+y−z =0 y t = 0. Ecuaciones de E2 = h(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)i = hu1 , u2 , u3 i ⊂ R4 . Es fácil comprobar que rg(u1 , u2 , u3 ) = 3 y por lo tanto estos vectores forman base de E2 . Se tiene entonces que un vector cualquiera e = (x, y, z, t) de E2 es de la forma: (x, y, z, t) = α(1, 1, 0, 0) + β(1, 0, 1, 0) + γ(1, 1, 1, 1) , con α, β, γ ∈ R . 14 Álgebra Lineal y Geometrı́a I. Grado en Fı́sicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano. D. Sánchez Gómez En consecuencia las ecuaciones paramétricas de E2 son: x=α+β+γ y =α+γ z =β+γ t=γ ◦ dimR E2 Como = dimR R4 − dimR E2 = 4 − 3 = 1, entonces E2 viene descrito por una ecuación implı́cita, que se deduce directamente de las ecuaciones paramétricas anteriores: x − y − z + t = 0. 37. Sea E un R-espacio vectorial de dimensión 3, {e1 , e2 , e3 } una base de E y {ω1 , ω2 , ω3 } su base dual. a) Dados los subespacios V =< e1 − e2 , 2e1 − e3 > y V 0 =< 2e2 + e3 , e1 + e2 + e3 >, calcula una base de (V ∩ V 0 )◦ y las ecuaciones implı́citas y paramétricas de V ∩ V 0 . b) Demuestra que las formas lineales {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } definidas por ω̄2 (e) = y − 2z, ω̄1 (e) = x + y + z, ω̄3 (e) = x + y para cada vector e = xe1 + ye2 + ze3 , forman una base del espacio dual E ∗ . Calcula una base {ē1 , ē2 , ē3 } de E cuya base dual sea {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }. c) Calcula las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 en la base {ē1 , ē2 , ē3 } y el incidente del subespacio < u > en función de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }. Solución: a) Se tiene que {v1 = (1, −1, 0), v2 = (2, 0, −1)} y {v10 = (0, 2, 1), v20 = (1, 1, 1)} son bases de V y V 0 respectivamente (pues no son proporcionales). Dado que nos piden calcular también las ecuaciones paramétricas, calculemos una base de V ∩ V 0 . Teniendo en cuenta que los vectores {v1 , v2 , v10 } forma base de V + V 0 (pues det(v1 , v2 , v10 ) 6= 0) y la fórmula de la dimensión: dimR (V + V 0 ) = dimR V + dimR V 0 − dimR (V ∩ V 0 ) , se deduce que dimR (V ∩ V 0 ) = 1, y dado que v20 − v10 = v1 se tiene que: V ∩ V 0 = hv1 i = h(1, −1, 0)i . En consecuencia, todo vector u = (x, y, z) de V ∩ V 0 se escribe como u = λv1 (con λ ∈ R) y las ecuaciones paramétricas de V ∩ V 0 son: x = λ, y = −λ , z = 0. Por otra parte tenemos que: dimR (V ∩ V 0 )◦ = dimR R3 − dimR (V ∩ V 0 ) = 3 − 1 = 2 , luego dos será el número de ecuaciones implı́citas que definen V ∩ V 0 , y como de las ecuaciones (paramétricas) anteriores se deduce que: x + y = 0, z=0 se concluye que estas son precisamente las ecuaciones implı́citas de V ∩ V 0 . Por último, dadas las ecuaciones implı́citas se sigue que {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de (V ∩ V 0 )◦ . b) Las coordenadas de la formas ω̄1 , ω̄2 y ω̄3 en la base {ω1 , ω2 , ω3 } son: ω̄1 = (1, 1, 1) , ω̄2 = (0, 1, −2) , ω̄3 = (1, 1, 0) . Como la dimensión del espacio dual E ∗ es 3 y det(ω1 , ω2 , ω3 ) 6= 0 se sigue que dichas formas lineales forma base de E ∗ . Para calcular una base {ē1 , ē2 , ē3 } de E dual de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } observemos en primer lugar que ya tenemos la matriz de cambio de base de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } a {ω1 , ω2 , ω3 }: 1 0 1 ∗ ∗ E{ω̄ → E{ω C = 1 1 1 . 1 ,ω̄2 ,ω̄3 } 1 ,ω2 ,ω3 } 1 −2 0 Álgebra Lineal y Geometrı́a I. Grado en Fı́sicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano. D. Sánchez Gómez 15 ∗ ∗ El morfismo E{ω̄ → E{ω induce un morfismo entre los espacios vectoriales duales 1 ,ω̄2 ,ω̄3 } 1 ,ω2 ,ω3 } (morfismo transpuesto) E{e1 ,e2 ,e3 } → E{ē1 ,ē2 ,ē3 } (por reflexividad E ∗∗ ' E y donde {ē1 , ē2 , ē3 } es la base dual de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 } que buscamos) cuya matriz asociada es C t . Por definición de matriz asociada respecto de una pareja de bases, las columnas de la matriz C t expresan los vectores ei en función de los ēj , que es justo lo contrario a lo que nos pide el ejercicio. Por lo tanto nos interesa conocer la matriz de E{ē1 ,ē2 ,ē3 } → E{e1 ,e2 ,e3 } , que precisamente es: −2 −1 3 t −1 1 −2 . (C ) = 2 1 0 −1 Se concluye entonces que: ē1 = (−2, 2, 1) , ē2 = (−1, 1, 0) , ē3 = (3, −2, −1) es la base dual de {ω̄1 , ω̄2 , ω̄3 }. c) Las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 = (1, −1, 1) en la base {ē1 , ē2 , ē3 } son: E{e1 ,e2 ,e3 } → E{ē1 ,ē2 ,ē3 } 1 1 u = (1, −1, 1) 7→ C t · −1 = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 −2 · −1 = −3 . 0 1 0 Se tiene ası́ que u = ē1 − 3ē2 , luego: ◦ ∗ ∗ hui = {ω̄ ∈ E{ω̄ | ω̄(u) = 0} = {ω̄ = (α, β, γ) ∈ E{ω̄ | α − 3β = 0} = 1 ,ω̄2 ,ω̄3 } 1 ,ω̄2 ,ω̄3 } = h(3, 1, 0), (0, 0, 1)i = h3ω̄1 + ω̄2 , ω̄3 i .