El conjunto R

El conjunto Rn
Es el conjunto de las n-adas formadas por el producto cartesiano
RxRxR….xR, donde R es el conjunto de los números reales. Así pues,
n
dos elementos X y Y de R serán iguales si y solo si tienen idénticas
componentes respectivamente.
Sean
X=(x1, x2, x3,…, xn), y Y= (y1, y2, y3,…, yn),  Rn:
X=Y
x1=y1, x2=y2, x3=y3,…, xn=yn.
n
Operaciones que se definen en el conjunto R :
Una operación interna: Suma
Una operación externa: Multiplicación por un escalar
SUMA
Llamaremos suma de X y Y  R a:
n
X+Y
 (x1+y1,
x2+y2, x3+y3,…, xn+yn)
n
Es una operación interna dado que opera sobre dos elementos de R .
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Sea X  R y   R, entonces:
n
X
 (x1, x2, x3,…, xn)
n
Es una operación externa dado que el escalar no pertenece a R . El escalar
pertenece al cuerpo de los números reales.
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Espacio vectorial
Dado un conjunto V en el cual se han definido dos operaciones, una
interna (+) y otra externa (.) con operadores en el cuerpo R. Se dice que
.
la terna (V, +, ) es un espacio vectorial sobre el cuerpo R, si solo si, se
cumplen las siguientes propiedades:

Para la operación interna Suma
Propiedad
1 Asociativa
Existencia de
2 Elemento
Neutro
 x, y, z V  ( x  y)  z  x  ( y  z)
  V
 x V ,
Existencia de
3 Elemento
Simétrico
 x V ,  x' V
Propiedad
4 Conmutativa
 x, y V

x 
  x

x
x  x'  x'  x  
x y 
y x
(Estas cuatro propiedades le confieren a Rn la estructura de grupo conmutativo o
abeliano: (Rn, +) es un grupo abeliano.)
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
Para el Producto por Escalares
Propiedad
Distributiva1
Propiedad
6
Distributiva2
Propiedad
7
Asociativa
Elemento
8
Neutro
5
 x, y V    R   .( x  y)   .x   . y
 x V   ,   R  (   ) x   .x   .x
 x V   ,   R   .( .x)  ( . ).x
  V
 x V ,

 .x 
x
n
Estas ocho propiedades le confieren a R la estructura de espacio
vectorial sobre el cuerpo de los números reales R. Los elementos de V
se llaman entonces vectores.
El elemento  = (0, 0,…, 0), es el neutro con respecto a la suma, y se
denomina vector nulo.
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Espacio euclídeo
Un espacio euclídeo es un espacio vectorial en donde se ha definido una
operación denominada producto escalar de dos vectores. También
denominada producto interno o producto punto.
Sean X=(x1, x2, x3,…, xn), y Y= (y1, y2, y3,…, yn)  Rn, se define producto
interno X.Y al número real (x1y1 + x2y2 +…+ xnyn), expresado mediante la
siguiente expresión:
n
X .Y =
 xiyi
i=1
A la pareja (V,  ) se le llama un espacio euclídeo.
La notación < X, Y > también representa al producto escalar de dos
vectores.
Propiedades del producto escalar
 Positividad:
X. X  0,
X. X = 0  X = Θ (vector nulo).
 Propiedad Asociativa mixta
 X.Y = ( X.Y)
y
X.Y = ( X.Y)
 Propiedad distributiva respecto de la suma.
X. (Y+Z) = X.Y + X. Z
y
(X + Y). Z = X. Z + Y. Z
 Propiedad conmutativa:
X.Y = Y. X
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NORMA EN R
n
n
En un espacio vectorial euclidiano se define la función norma en R de la
siguiente manera:
1/2
n
Sea X un vector de R se denomina norma de X al número real (X.X)
Lo que se expresa así,
||X|| = (X.X)1/2
Propiedades fundamentales de la norma
 Positividad
||X||  0 , (||X|| = 0
 X = Θ)
 Propiedad escalar
||X||  || ||X|| , (   R)
 Propiedad triangular
|| X + Y ||  || X || + || Y ||
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Espacio métrico
Un conjunto A se convierte en un espacio métrico cuando en él se define
n
una función distancia en R con las propiedades de separación, simetría
y triangular.
d:
AxA  R
Distancia en Rn
Dados dos vectores X, Y  R
real positivo:
n
llamaremos distancia de X a Y al número
d(X, Y) = || X-Y ||

X  Y   X  Y 

x1  y1 2  x2  y2 2  ...  xn  yn 2
Propiedades fundamentales de la distancia
 Separación:
d(X, Y) = 0  X = Y
 Simetría:
d(X, Y) = d(Y, X)
 Triangular:
d(X, Z)  d(X, Y) + d(Y, Z)
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Definición de función vectorial
Dado un conjunto A subconjunto de
R n,
y el espacio vectorial
Rm
denominado conjunto de llegada. Se denomina función o aplicación de A
en
Rm a la
correspondencia matemática denotada por:
Que cumple con las siguientes dos condiciones:
1. Condición de existencia: Todos los elementos de A están
relacionados con algún elemento del conjunto de llegada, es decir,
X  A,  Y  R m \ Y  f ( X)
2. Condición de unicidad: Cada elemento de A esta relacionado con un
único elemento del conjunto de llegada, es decir, si
Y1  f ( X1 ) y Y2  f ( X1 )
 Y1  Y2
Dominio de f
El dominio de
f
es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los
elementos para los cuales la función está definida. Se denota por
definido por:
Df

X  Rn
\ Y  f ( X)  R m
Df
y está

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Componentes de una función vectorial
La representación
indica una función f cuyo dominio está
n
m
en R y que toma valores en R .
Si m = 1  Función de valor real o simplemente Función real
f(X) = Y
f (x1, x2,…, xn) = (y1, y2,…, ym)
f
x1
x2
xn
=
y1
y2
ym
A Rn se le denomina espacio del dominio y a Rm espacio de valores de la
función.
Se denomina Rango de f al conjunto formado por las imágenes f(X), esto es:
Rf= {f(X)}
Cada componente yi de la imagen viene dada por una función real de las
variables x1, x2,…, xn.
f
x1
x2
xn
=
y1
y2
y1 = f1(x1, x2,…, xn)

ym
:
yi = fi (x1, x2,…, xn)
:
ym = fm (x1, x2,…, xn)
Para cada
componente
yi
Hay una
Función real
fi.
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