Junio 2013 A2

Matemáticas II
Junio 2013
OPCIÓN A
PROBLEMA A.2. Sean O = (0,0,0), A = (1,0,1), B = (2,1,0) y C = (0,2,3). Obtener
razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El área del triángulo de vértices O, A y B, (3 puntos) y el volumen del tetraedro de
vértices O, A, B y C (2 puntos).
b) La distancia del vértice C al plano que contiene al triángulo OAB. (3 puntos)
c) La distancia del punto C´ al plano que contiene al triángulo OAB, siendo C´ el punto
medio del segmento de extremos O y C. (2 puntos)
Solución:
a) Área del triángulo OAB
El área de este triángulo es,
1
AT =
OA × OB
2
OA = (1,0,1) y OB = (2,1,0 )
Calculemos el producto vectorial,
r r r
i j k
r0 1 r 1 1 r 1 0
r
r r
OA × OB = 1 0 1 = i
−j
+k
= −i + 2 j + k = (−1,2,1)
1 0
2 0
2 1
2 1 0
OA × OB = (−1,2,1) = (−1) 2 + 2 2 + 12 = 6
Finalmente, AT =
1
6
6=
u.a. ≈ 1,2247 u.a.
2
2
Volumen del tetraedro OABC
Considerando los vectores OA, OB y OC , sabemos que el valor absoluto del producto mixto de estos
tres vectores nos da el volumen del paralelepípedo definido por ellos. Como queremos calcular el
volumen del tetraedro correspondiente, el cálculo será:
1
1
multiplicamos por porque VTETRAEDRO = Abase h
11
3
3
VTETRAEDRO =
OA , OB , OC
1
1
32
multiplicamos por porque Abase
= Aparalelogramo
2
2
Triángulo
Por lo tanto,
1 0 1
1
1
7
VTETRAEDRO =
2 1 0 = 3 + 4 = u.v.
6
6
6
0 2 3
[
]
b) Sea π el plano que contiene al triángulo OAB, hay que calcular d ( C , π ).
Obtengamos la ecuación del plano π
 punto (0,0,0)

u = OA = (1,0,1)
De este plano conocemos: 
vectores
directores


v = OB = (2,1,0)

La ecuación del plano π se obtiene:
x−0
y −0
z −0
1
2
0
1
1
0
=0 → x
0 1
1 1
1 0
−y
+z
= 0 → x (−1) − y (−2) + z . 1 = 0
1 0
2 0
2 1
− x + 2y + z = 0
Finalmente, d (C , π ) =
−0 + 2.2 + 3
2
2
2
(−1) + 2 + 1
=
7
7 6
=
u.l.
6
6
Otra forma de resolverlo.
Utilizando el resultado del apartado a)

6
1
obtenido en a )
 Ab =
VTETRAEDRO = Ab h 
2
3
h = d (C , π )

Por lo tanto:
7 1 6
7
6
7
=
h →
=
h → 7= 6 h → h=
6 3 2
6
6
6
→ d (C , π ) =
c) Hay que calcular d ( C´ , π )
3
0 +0 0 + 2 0 +3 
C´ es el punto medio del segmento OC, por lo que C ′ = 
,
,
 =  0, 1, 
2
2  
2
 2
Como el plano π ya lo calculamos en el apartado anterior,
3
7
−0 + 2.1+
7
7 6
2
d (C ′ , π ) =
= 2 =
=
u.l.
2
2
2
12
6 2 6
(−1) + 2 + 1
7
u.l.
6