Formulación de Ecuaciones

Formulación de Ecuaciones
que Describen Sistemas y Circuitos Eléctricos
Tutorial por Jorge Márquez Flores – CCADET-UNAM 2013
Indice
Análisis de Circuitos Eléctricos - Leyes de Kirchhoff
Impedancias en circuitos eléctricos
Combinación de impedancias
Convención de color para identificar valores de componentes electrónicas
Reglas para escribir ecuaciones nodales
Método de Análisis por Mallas
Método de Análisis por Nodos
Circuito RLC
Mallas Multi-Lazo
Mallas Multi-Nodo
Descripción mediante ecuaciones y variables de estado
Instrumentación y Señales – Copyright 2012 by Jorge Márquez – CCADET UNAM
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Formulación de Ecuaciones que Describen Sistemas y Dispositivos
(Instrumentos de Orden 0 al 2 y algunos de orden mayor).
Análisis de Circuitos Eléctricos - Leyes de Kirchhoff
1. La suma de las diferencias de potencial en un circuito cerrado es 0.
(En un circuito cerrado: suma de subidas de voltaje = caídas de voltaje).
2. La suma de las corrientes en un nodo o unión es 0.
(Suma de corrientes que entran a un nodo = suma de corrientes que salen).
Nota: En ocasiones “circuito” se denomina “malla” y nodo “nudo”. En este curso usaremos malla o
red para traducir network, lazo o bucle para loop y circuito para una red completa.
Nota: Las Leyes de Kirchhoff equivalen a la 1ª. Ley de Newton de la Mecánica Clásica.
Caídas/subidas de voltaje (disipación, transformación, absorción, almacenamiento):
Resistencia R (Ohms)
vR = Ri
Capacitor C (Farads)
q 1 t
i
vC    i dt  C0 
C C0
CD
Inductor L (Henrys)
Subidas de voltaje
(Volts) AC o DC
Tabla 1. Elementos que cambian voltajes v y corrientes i.
vL  L
di
 LDi
dt
emf, , e ó
ve
(fuentes electromotrices,
electroquímicas, etc.)
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Impedancias en circuitos eléctricos.
Usando la representación con fasores, las impedancias de una resistencia ideal,
un capacitor ideal y un inductor ideal son, respectivamente:
R
 j
 CD 

 jLD
Z R  R,
ZC 
1
j C
(1)

j
  j XC
C
Z L  j L  j X L ,
(2)
(3)
La primera es puramente real y las otras dos puramente imaginarias, y
dependen de la frecuencia de la corriente que pasa por tales elementos. XC y
XL se denominan reactancia capacitiva y reactancia inductiva. En un
dispositivo real, usualmente hay ambas componentes y la impedancia neta es
de la forma R + jX, con X una combinación de reactancias. La impedancia
eléctrica es una medida de la oposición al flujo (corriente). En forma polar,
(magnitud y fase), las ecuaciones (1) a (3) se escriben como:
Z R  R,
Z L   Le j /2 ,
ZC 
1 j ( /2)
e
C
(4)
Nota: En cursos de Física básica se deducen las expresiones anteriores a partir de la Ley
de Ohm, y de las relaciones entre voltajes y corrientes a través de R, C y L.
Combinación de impedancias
De un análisis sencillo, aplicando las leyes de Kirchhoff, es posible deducir las
reglas de combinación de impedancias complejas en un circuito. Cuando se
combinan impedancias en serie (Figura 2), la impedancia total (o equivalente)
es la suma de todas las impedancias, sin importar el orden:
Zeq  Z1  Z2 
 Zn
(5)
Figura 2. Circuito de impedancias en serie.
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3
Cuando se combinan impedancias complejas en paralelo (Figura 3), la
impedancia total (o equivalente) es el inverso de la suma de los inversos
individuales de cada impedancia:
1
1
1
 

Zeq Z1 Z2

1
Zn
(6)
Figura 3. Circuito de n impedancias en paralelo (ver ecuación (6)).
En particular, cuando n = 2:
1
1 
Z1  Z 2
 1
Z eq  Z1 Z 2  


Z1Z 2
 Z1 Z 2 
(7)
Ejercicio: Si dos impedancias complejas tienen las formas: Z1=R1 + jX1 y Z2=R2 + jX2,
con X1 y X2 reactancias combinadas de algún tipo, hallar la impedancia equivalente
Zeq=Req + jXeq cuando ambas impedancias se encuentran conectadas en paralelo.
Ejercicio: ¿Cómo es la magnitud de Zeq en comparación con las de sus componentes (A)
en serie y (B) en paralelo? Explique físicamente la razón, en el caso de puras resistencias.
Ejercicio. Considere el circuito de la Figura 4. Encuentre cómo se relaciona la respuesta
o salida Vout(t) a un potencial de entrada Vin(t) = |V0(t)|  , con V0(t) cualquier señal, e
interprete en amplitud y fase lo que causa tener los tríos de impedancias complejas de la
Tabla 2, para distintas frecuencias , dibujando un circuito correspondiente (ponga
explícitamente en cada diagrama resistencias, capacitancias e inductancias), e identifique
si existen constantes de tiempo (¿cuáles?) u otras. Indique el orden del sistema resultante.
 Obtenga todas las funciones de transferencia en frecuencia Gt(j) = Vout(j) / Vin(j).
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Figura 4. Circuito del ejercicio (ver tabla 2 para las combinaciones de impedancias Zk .
Z1
Z2
Z3
R1
R2
0
0
R2
R3 – j/(C)
R1 + (j C)–1
R2
1/( j C)
(1/R1 + j C)–1
j L
0
R1
(1/R2 + j C)–1 R3 + 1/( j C) + j L
Tabla 2. Impedancias para el ejercicio de la figura 4.
 Ejercicio. ¿Cómo se relaciona Zeq de la ecuación (6) con el promedio harmónico del
conjunto de valores {Zn}, n=1,..., N ?
 Ejercicio. ¿Qué son los equivalentes de Norton y de Tevenin de cualquier circuito y
para qué son útiles? ¿Existen formulaciones equivalentes en sistemas mecánicos,
térmicos, etc. (i. e., que no contengan elementos electrónicos)?
Ver información adicional en la página
http://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_impedance
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Convención de color para identificar
valores de componentes electrónicas.
El valor de una resistencia [] se codifica como bandas delgadas que rodean
la componente. Convenciones similares se siguen a veces en ciertos tipos de
capacitancias y otras componentes, aunque es más común que lleven el valor
numérico grabado. La tolerancia es la incertidumbre del valor que describe el
código respecto al valor real y depende de la calidad de los materiales usados.
Tabla 3. Códigos de color para resistencias eléctricas. Cada banda de color indica un
primer o segundo dígito d; la 3a. banda es un factor (multiplicador 10d), o en algunos
casos (o una 4a. banda) los últimos tres colores especiales especifican un valor de
tolerancia del código respecto al valor real.
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Reglas para escribir ecuaciones nodales:
1. Número de ecuaciones requeridas = número voltajes
nodales desconocidos.
2. Escribir una ecuación para cada nodo.
3. Cada ecuación incluye:
a. Voltaje nodal  Suma de admitancias conectadas al
nodo. Término positivo.
b. Voltaje nodal en terminal opuesta de c/rama  admitancia
conectada entre ambos nodos. Término negativo.
Método de Análisis por Mallas
Aplicando 1ª Ley de Kirchhoff para un circuito RL (ver figura 5):
“subidas + caídas”: e  vR  vL  0 , o sea:
vR  v L  e
di
Ri  L
 Ri  L D i  e
dt
Como
vL  L D i
(8)
, la corriente a través del inductor es:
i
1
vL
LD
(9)
o sea 1/L 0 vL dt +i0. Substituyendo en ecuación de 1ª. Ley de
Kirchhoff, obtenemos:
R
vL  vL  e
LD
(10)
Ejercicio: Escriba la función de transferencia en frecuencia de (10). ¿Cuales son
la sensibilidad estática, la constante de tiempo y la respuesta a escalón?
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Figuras 5 y 6. Circuito RL (resistencia R e inductancia L) y circuito RLC (uno RL
mas capacitancia C), con entrada (fem: fuerza electromotriz AC) igual a e(t).
Método de Análisis por Nodos
Aplicando 2ª Ley de Kirchhoff para un circuito RL (figura 5): Se toma
un nodo como referencia para los voltajes: vac es la caída de emf entre
nodo a y nodo c. El voltaje fuente va = e es conocido, así que sólo hay
una incógnita vb. Como la suma algebraica de las corrientes en b es 0:
vb  va
1

vb  0
R
LD
(11)
o sea:
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1
1 
1

v

va  0

 b
R
L
D
R


(12)
Misma ecuación que la multi-lazos (10), salvo por notación (va = e, etc.).
Circuito RLC (figura 6)
Verificar que se obtiene, de la 1ª. Ley de Kirchhoff:
i
e
CD
2
i
di
d i de
que es un sistema de 2o. orden: C  R dt  L 2  dt
dt
e  vR  vL  vC  0 ,
o sea: Ri  L Di 
(13)
(14)
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Mallas Multi-Lazo (figura 7):
Un lazo (circuito, bucle o loop) de corriente es seguido en cada circuito
cerrado, sumando caídas de voltaje (e igualando a subidas). Habiendo tres
lazos, tenemos, re-arreglando términos:

1 
1
R

i

R
i

i3  e
 1
1
1 2
C
D
C
D


 R1 i1   R1  R2  L D  i2  R2i3  0


1
1 
i1  R2i2   R2  R3 
 i3  0
CD
C
D


y el voltaje de salida (4a. ecuación) es:
v0 = R3i3
(15)
(16)
(17)
(18)
Nota: a la salida consideramos que no hay lazo “i4” (es decir, es circuito abierto, tal
como aparece en la figura), pero esto es aproximado: hay un instrumento que mide
v0 y su impedancia de entrada no es estrictamente infinita (y si es finita el circuito
queda cerrado), pero es lo suficientemente grande para considerar que i4 es
despreciable, respecto las otras corrientes.
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Figura 7. Ejemplo de análisis de un circuito eléctrico como una malla
multi-lazo (multiloop network), usando la 1ª. Ley de Kirchhoff.
Figura 8. Ejemplo de análisis de un circuito eléctrico como una malla
multi-nodo (multinode network), usando la 2ª. Ley de Kirchhoff.
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Mallas Multi-Nodo (Figura 8)
Usando el análisis por nodos, con el nodo d como referencia (vbd lo
escribiremos como vb, etc.), tenemos:
Nodo b:
i1 + i2 + i3 = 0
(19)
Nodo c:
 i3 + i4 + i5 = 0
(20)
En términos de voltajes nodales:
vb  va
v  v0
 C Dvb  b
0
R1
R2
v0  vb v0
1


 vb  e   0
R2
R3 L D
(21)
(22)
Reagrupando como  i vi =  i ei (caídas vi = subidas emf ei ):
 1
1 
1
1

C
D

v

v

e

 b
0
R2 
R2
R1
 R1

 1
1
1
1 
1
vb  


e
 v0 
R2
LD
 R2 R3 L D 
(23)
(24)
sólo dos ecuaciones nodales fueron necesarias. En el método por lazos, si
se requiere de la corriente a través de R3 es necesaria la 4a ecuación.
 Ejercicio: Para los circuitos de las figuras 6 y 9: (A) obtener y v0 (t) en términos de
vin(t) y la respuesta a escalón. (B) Obtener las ecuaciones, función de transferencia en
frecuencia, sensibilidad, constantes de tiempo, tasa de amortiguamiento, frecuencia
natural no amortiguada y amortiguada (si las hay). Hint: ¿recuerda el anexo y los
ejercicios de bloques en cascada de notas anteriores?
Ejercicio: La derivada de un fasor equivale a un producto por (j);de esta propiedad y de
las ecuaciones (1) - (3), reescriba algunas de las ecuaciones diferencias anteriores en
términos de las impedancias Z correspondientes a los elementos de cada circuito.
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Figura 9. Circuito del ejercicio del examen.
Ejercicio: Considere el circuito genérico de la Figura 10: (A) obtener v0 (t) en términos
de vin(t) y la respuesta a escalón. (B) Obtener la función de transferencia en frecuencia.
Considere varios casos, haciendo algunas Zk = 0, para simplificar y póngase de acuerdo
con sus compañeros para resolver por separado varios casos. Compare sus resultados para
identificar en qué se equivoca más seguido. En forma semejante al ejercicio de la Figura
4, haga substituciones diferentes con los tres tipos de impedancias estudiados (ecuaciones
(1) a (4)) y realice el ejercicio ya sea por el método multi-nodo o multi-malla. Habrá
notado (desde el ejercicio de la Figura 4) que conviene primero una formulación genérica
con impedancias Zk y luego substituir las impedancias explícitas. Comience por repetir el
ejemplo de las Figura 7 y Figura 8, asignando Zk a cada componente y al final substituir
los términos respectivos (de Tabla 1, para la la función de transferencia operacional, y de
las ecuaciones (1) a (4) para la respuesta en frecuencia (fasores & Laplace).
Figura 10. Circuito con impedancias genéricas.
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Descripción mediante ecuaciones y variables de estado:
 Entradas al sistema (m variables “de control”): u1(t), u2(t), …, um(t).
 n variables de estado (no necesariamente cantidades físicas observables o
medibles, pueden ser puramente matemáticas): x1(t), x2(t), …, xn(t).
 Valores iniciales xi(t0) y entradas ui(t) determinan sistema para t > t0.
 Vector de estado x(t), espacio de estado (plano fase), trayectoria de
estado (trayectoria fase),…
.
 Derivadas temporales escritas como x(t ) .
 Selección de variables de estado xi(t): representación física, de fase,
canónica.
 Se pueden definir x2  x1 (t ), x3  x2 (t ) , etc. De modo que un sistema
escalar de orden n, pasa a ser uno de primer orden, vectorial.
 Para el método de representación por variables físicas, éstas se
seleccionan de aquellos elementos del sistema que almacenan energía
(ver tabla I, más adelante).
 Pueden requerirse más variables, aparte de las asociadas a elementos de
almacenamiento de energía (ejemplo: posición, en un sistema mecánico).
A veces se denominan “variables ocultas” sin corresponder directamente
a algo físico, sino a la representación abstracta, o modelo.
 Seleccionar sólo variables físicas independientes.
Ejemplo: En el circuito RL, sólo hay un elemento que almacena energía (el
inductor); sólo hay una variable de estado: x  x1= i ; la entrada es u=e.
x 
R
1
x u
L
L
(25)
es la ecuación de estado del sistema.
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