Máximo común divisor

Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos números naturales a y b es el número más
grande que divide tanto a a como a b. se denota mcda, b
1. Listas: (tal vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente)
Ejemplo
Encontrar mcd20, 45
Se enlistan todos los divisores de 20
1, 2, 4, 5, 10, 20
Se enlistan todos los divisores de 45
1, 3, 5, 15, 45
Como queremos encontrar el número más grande que divida a 20 y a 45,
localizamos al número más grande que está en ambas listas: 5.
mcd20, 45  5
Inconveniente: Es bastante facil que nos falte algún divisor.
2. Descomposición en primos
Ejemplo.
Encontrar mcd504, 300
Se descomponen ambos números en primos
504
2
252
2
126
2
63
3
21
3
7
7
300
2
150
2
75
3
25
5
5
5
1
1
504  2 3  3 2  7
300  2 2  3  5 2
Se consideran los primos que aparecen en ambas descomposiciones, y se toma la
potencia más chica con la que aparece en ellas.
2 2  3  12
así que
mcd504, 300  12
¿Por qué?
Si un número se descompone en producto de potencias de primos, por
ejemplo 504  2 3  3 2  7 entonces todos los divisores de él son productos
de algunos de estos primos elevados a lo más a la potencia que indica
dicha descomposición.
Por ejemplo, 2, 2 2  4, 2 3  8 son divisores de 504, pero 2 4  16, no es
divisor de 504.
2  3  6, 2  3 2  18, son divisores de 504, pero 2  3 3  54 no es divisor
de 504.
Ejercicio: Identifica todos los divisores de 504 y descomponlos en primos
para verificar la afirmación anterior.
 Si un factor primo, por ejemplo el 2, aparece en ambas
descomposiciones, entonces es divisor de ambos números.
2
 Si una potencia de un primo, por ejemplo, 2 , tiene un exponente menor
o igual al exponente con el que aparece en ambas descomposiciones,
entonces esa potencia del primo divide a ambos números.
 Si dos números p, q, dividen a los dos números, entonces su producto pq
también los divide a ambos.
3. Algoritmo de Euclides
Se divide el grande entre el chico

1
300 504
204
Dividimos el divisor entre el residuo
1
204 300
96
Seguimos...
2
8
96 204
12 96
12
0
Nos fijamos en el último residuo distinto de cero, 12, y ese es el mcd504, 300
¿Por qué?
a) Si d divide a a y a b entonces también divide a cualquier combinación lineal de
ellos sa  tb, es decir, de la expresión anterior podemos factorizar a d.
sa  tb  sda 1  sdb 1  dsa 1  sb 1 
b) El residuo de la división a  b es una combinación lineal de a y b
c
b
a
r
entonces
a  cb  r
r  cb − a
c) Como en la igualdad a  cb  r podemos despejar cualquiera: a, b, c entonces
un divisor de dos de ellos también es divisor del tercero, así que
mcda, b  mcda, r  mcdb, r
El proceso es finito, pues cada vez lo hago con números menores.
El último resíduo distinto de cero, r n divide al número anterior, b n , así que él es
r n  mcdb n , r n   mcda, b
El algoritmo de Euclides, en general, es el más eficiente para encontrar el mcd de
dos números.
Mínimo común múltiplo
Dados dos números a y b, el mínimo común múltiplo de ellos es el número más
pequeño que es múltiplo de ambos.
1. Listas ( tal vez el más intuitivo, pero el más ineficiente )
Ejemplo: Encontrar el mcm de 20 y 45
Los múltiplos de 20 son
20, 40, 60, 80, 100, 120, 160, 180, 200, … , 900, …
Los múltiplos de 45 son
45, 90, 135, 180, 225, … , 900, …
El número 180 es el más chico que aparece en ambas listas.
Notamos que siempre hay elementos en ambas listas, ya que a  b es múltiplo de
a y también de b. En el ejemplo, 900  20  45
2. Descomposición en primos.
Ejemplo
Encontrar mcd504, 300.
Descomponemos ambos números como producto de primos.
504  2 3  3 2  7
300  2 2  3  5 2
Se consideran los primos que aparecen en alguna de las dos descomposiciones, y
se toma la potencia más grande con la que aparece en ellas.
2 3  3 2  7  5 2  12 600
así que
mcm504, 300  12600
¿por qué?
Si un número m es múltiplo de a, entonces a divide a m, así que m debe contener
todos los factores primos de a, al menos a la potencia con la que aparezcan en a.
Si un número m es múltiplo de a y b, entonces debe contener todos los factores
primos de a o de b, al menos a la potencia con la que aparezcan en ellos.
El mcm de a y b tendrá entonces todos los primos que son factores de a o de b, y
la potencia más chica que puede tener, debe ser la mayor con la que aparezca en
ellos.
En el ejemplo, el mcm de 504 y 300 debe contener al 2, 3, 7 para que 504 lo pueda
dividir. También debe contener al 2, 3 y 5 para que 300 lo pueda dividir.
El mcm debe contener a 2 3 para que sea múltiplo de 504. ya con esa potencia,
también es múltiplo de 300. y como estamos buscando el mínimo múltiplo de ambos,
no es necesario poner una potencia mayor.
3. Utilizando el mcd
a  b  mcda, b  mcma, b
Ejemplo
Encontrar el mcm de 504 y 300
mcm504, 300  504  300  504  300  42  300  12600
12
12
 504  300  504  25  12600
12
MUY IMPORTANTE. Siempre es preferible simplificar los cocientes antes de
multiplicar.
Números enteros
En los números naturales (enteros positivos) podemos sumar siempre, pero sólo
podemos restar a − b cuando a es mayor que b.
Para poder restar cualquier par de números, es necesario añadir más números. El
cero y los inversos aditivos de los números naturales
0, −1, −2, −3, …
definimos la suma de enteros como:
 Si a  0, b  0 como antes
5  7  12
Si a  0, b  0 se suman los valores absolutos y se toma el inverso
aditivo del resultado
−9  −4  −9  4  −13

Si a  0, b  0, se restan los valores absolutos (el grande menos el
chico) y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.
3  −8  −8 − 3  5

14  −5  14 − 5  9
Una manera formal de definir los enteros y sus operaciones es al estilo de la
contabilidad. Luca Paccioli publicó Summa de Arithmetica, Geometría, Proportioni e
Proportionalita en la que describe el método de la partida doble para los asientos
contables. El libro tiene 36 capítulos dedicados a la contabilidad.
Cuando una persona tiene una tarjeta de crédito, puede gastar con ella ( hace un
cargo ) y puede hacer depósitos en ella ( hace un abono )
Al final del período su estado de cuenta se ve más o menos así
cargos abonos
compra 1
2000
compra 2
3000
pago 1
2700
compra 3
1500
Totales
6500
2700
esto significa que tenemos un saldo en contra de 6500 − 2700  3800
Otra persona que únicamente hizo una compra de 3800, tiene un saldo idéntico.
Y otra más que realizó compras por 5000 y varios pagos por un total de 1200,
también tiene un saldo de 3800.
Estas tres cuentas son equivalentes, y podemos decir ( tal vez abusando un poco
del lenguaje ) que son iguales.
Podemos definir los enteros Z como parejas ordenadas a, b y definimos cuándo
dos parejas representan al mismo número ( o son iguales )
a, b  c, d

ad  bc
La semejanza con la contabilidad es: en a, b, a representa los cargos ( el debe ) y b
los abonos (el haber ).
En realidad, estamos pensando que a, b representa al número a − b.
Así como en la contabilidad, si hacemos un cargo y un abono por la misma
cantidad, el estado de cuenta no se altera, si sumamos a ambos lados la misma
cantidad, el número entero no se altera.
También podemos pensar en la recta numérica, así a, b significa caminar a pasos
a la derecha y b pasos a la izquierda.
Observemos la semejanza con la igualdad de fracciones
a  c
 ad  bc
b
d
Podemos definir la suma:
a, b  c, d  a  c, b  d
Regresando a los ejemlos de sumas anteriores;
 5  7  12. Puedo tomar cualquier par de parejas que representen al 5 y
al 7
5, 0  7, 0  12, 0  12

−9  −4
0, 9  0, 4  0, 13  −13
tengo 13 en el lado del haber, 0, 13 representa al −13
 3  −8
3, 0  0, 8  3, 8
observamos que
3, 8  0  3, 5  3  0, 5  −5
así que 3, 8 representa al −5
 14  −5
14, 0  0, 5  14, 5  9, 0  9
También definimos la multiplicación
Para recordarla, coloco las parejas como si fueran polinomios, multiplico, en una
columna pongo los positivos y en otra los negativos.
a
−b
c
−d
ac −bc
bd −ad
así que
a, b  c, d  ac  bd, bc  ad
Con estas dos definiciones, podemos probar que la suma y multiplicación son
conmutativas, que hay neutro aditivo, 0, 0, y neutro multiplictivo 1, 0, que la
multiplicación se distribuye, y las reglas de los signos.
Como ejemplo, mostraremos las leyes de los signos
   
a, 0  c, 0  ac  0, 0  0  ac, 0

−  −
a, 0  0, d  0  0, ad  0  0, ad

−−  
0, b  0, d  0  bd, 0  0  bd, 0
Fracciones, números racionales, quebrados.
Las fracciones, o números racionales son expresiones ab con a y b enteros y
b ≠ 0.
En realidad, la notación significa
a  ab
b
Lo que estamos haciendo al construir los números racionales, es añadir a nuestro
sistema numérico los inversos multiplicativos de todos los números distintos de cero.
El inverso multiplicativo de 2 es 12 ,
2 1  1
2
El inverso multiplicativo de 43 es
1
43
43  1  1
43
Una vez añadidos estos inversos, hay que añadir todos los resultados posibles de
sumas y productos de ellos con los enteros y de ellos con otros de ellos.
Así, al haber añadido 15 al sistema numérico, hay que añadir
2 , 3 ,− 1 ,…
5 5 5
Identificamos dos fracciones como el mismo número si:
a  c
d
b
si y solo si
ad  bc
Ejemplos
1  4
12
3
porque 1  12  12  3  4
Ojo, en
a  c
d
b
no necesariamente c y d son múltiplos enteros de a y b o viceversa, por ejemplo
4  10
15
6
ya que 4  15  60  6  10 pero 10 y 15 no son múltiplos de 4 y 6, ni viceversa.
Claramente
af
 a
b
bf
así que cada vez que identifiquemos un factor común en el numerador y en el
denominador, lo podemos simplificar.
20  4  5  4
55
5
25
a
Decimos que b está escrita en su mínima expresión si a y b no tienen factores
#
comunes.
También es cierto
−a  a
−b
b
ya que
−a  −b  a  b
y
−a  a
−b
b
ya que
−a  b  −a  b  a  −b
Identificación de una fracción en la recta
Para identificar una fracción ab , con b  0, dividimos el intervalo 0, 1 en b partes
iguales. La primera marca corresponde a 1b
1
 Si a  0, caminamos a pasos de tamaño
hacia la derecha del 0
b
 Si a  0, caminamos −a pasos de este mismo tamaño, pero hacia la
izquierda.
0
 Si a  0,
 0. Nos quedamos en 0.
b
Por el parrafo anterior, si b  0, cambiamos el signo arriba y abajo y trabajamos
con el denominador positivo.
Suma de fracciones
Ejemplo
1  1  3  2  5
6
6
2
3
6
¿por qué al tener el mismo denominador, se suman los numeradores?
Porque la multiplicación se distribuye en la suma.
3  2  3  1  2  1  3  2  1  5  1  5
6
6
6
6
6
6
6
Antes de seguir...
Dividir es lo mismo que multiplicar por el inverso multiplicativo
20  4  20  1  5
4
Para sumar, lo que debemos hacer es escribir las dos fracciones de manera que
tengan el mismo denominador, para ello nos apoyamos en la propiedad (ref: f1)
Podemos hacerlo de la manera más burda: Multiplicar una de ellas por el
denominador de la otra
3  7  3  15  7  10
15
10  15
15  10
10
 45  70  115
150
150
150
y luego simplificar lo más posible
115  23
30
150
o hacerlo más inteligentemente, buscando que en el común denominador esté un
multiplo de 10 y de 15 más chico. Idealmente, tratamos de poner el mínimo común
múltiplo de ellos. De ahí viene el nombre de mínimo común denominador
3  7  ?  ?
15
30
30
10
y debemos pensar: ¿por cuánto multipliqué 10 para obtener 30? ya que debo
multipllicar al 3 por el mismo número. Este factor lo encontramos dividiendo
30  10  3
Por eso cantamos: 30  10  3,
33  9
Similarmente: 30  15  2,
2  7  14
3  7  9  14  23
10
15
30
30
30
Como en el paso intermedio, las dos fracciones tienen el mismo denominador,
solemos escribir
3  7  9  14  23
15
30
30
10
1
que no es mas que factorizar 30 .
Siempre acostumbren a sus alumnos a poner el mínimo común denominador.
Multiplicación de fracciones
Ejemplo
3  1  3
5
20
4