Expresiones algebracias - Universidad de Antioquia

An
tioq
uia
Expresiones algebraicas
Instituto de Matemáticas*
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Unviersidad de Anquioquia
Medellı́n, 24 de julio de 2011
1.
Introducción
Expresiones polinomiales
rsid
2.
ad
de
El álgebra es la disciplina de la matemática que tiene como objeto
generalizar las estructuras y relaciones que se pueden establecer entre cantidades (números). Es una de las principales ramas de la matemática por
medio de la cual podemos generalizar muchas de las relaciones que estudiamos en aritmética. Las expresiones algebraicas son expresiones formadas
por números y letras; las letras suelen representar cantidades desconocidas (incógnitas) y se relacionan con los números por medio de operaciones
aritméticas.
La palabra álgebra es de origen árabe, deriva del tratado escrito por
el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab alyabr wa-l-muqabala (figura 1) que significa “Compendio de cálculo por el
método de completado y balanceado”, el cual proporcionaba operaciones
Figura 1
simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.
Etimológicamente, la palabra álgebra, proviene del árabe y significa “reducción”.
Una expresión algebraica es una expresión que contiene letras, números y operaciones aritméticas. Muchas expresiones del lenguaje habitual las podemos las podemos enunciar por medio de
expresiones algebraicas. Es común usar la notación y la terminologı́a de la Teorı́a de Conjuntos
para describir relaciones matemáticas.
Para denotar los conjuntos se usan letras mayúsculas A, S, . . . Las letras minúsculas son usadas
para representar los elementos de los conjuntos.
Significado
a es un elemento del conjunto T
a pertenece al conjunto T
Todo elemento de S está en T
S es un subconjunto de T
ive
Notación
a∈T
S⊂T
Un
Una letra o sı́mbolo que represente un elemento especı́fico se denomina constante. Por ejemplo,
5, π son constantes.
Una letra o sı́mbolo que represente a cualquier elemento de un conjunto se denomina variable
o incógnita.
Ejemplo 2.1 En la expresión ((Sea x un número real)), x está representando a cualquier elemento
de los números reales.
* Esta
obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribución - No comercial 2.5 Colombia.
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Instituto de Matemáticas, Universidad de Antioquia
Si x es una variable, entonces:
Monomio en x es una expresión de la forma axn , donde a ∈ R y n es un entero no-negativo.
Binomio es una suma de dos monomios.
Trinomio es una suma de tres monomios.
Polinomio en x es una suma de cualquier número de monomios en x.
Un Polinomio en x es una suma de la forma
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
donde n es un entero no-negativo y cada coeficiente ak es un número real. Cuando an 6= 0 decimos
que el polinomio tiene grado n.
El coeficiente ak de la potencia más alta de x es el coeficiente principal del polinomio.
Ejemplo 2.2 .
En el polinomio 8x4 + 5x2 + x − 3, el coeficiente principal es 8 y el grado es 4.
La expresión
x+2
x2 −1
no es un polinomio (es una expresión fraccionaria).
de
Un polinomio en dos variables, x y y, es una suma de términos de la forma axm y n , donde
a ∈ R y m y n son enteros no-negativos.
Por ejemplo, 2x3 y + 5xy 4 es un polinomio en la variables x y y de grado 3 para x y de grado 4
para y.
Ejemplo 2.3 (operaciones entre polinomios) .
Suma de polinomios: (x2 + y) + (8y − 3x2 ) = −2x2 + 9y
Multiplicación de polinomios
(6w)(5z) + (6w)(2w2 ) − (3z 2 )(5z) − (3z 2 )(2w2 )
30wz + 12w3 − 15z 3 − 6z 2 w2
rsid
(6w − 3z 2 )(5z + 2w2 ) =
=
ad
Resta de polinomios: (x2 + y) − (8y − 3x2 ) = 5x2 − 7y
División de un polinomio entre un monomio:
15x4 y 5 + 2x3 y 6 − 3x10 y 8
6x2 y 3
=
=
Fórmulas de algunos productos de polinomios
ive
2.1.
15x4 y 5
2x3 y 6
3x10 y 8
+
−
6x2 y 3
6x2 y 3
6x2 y 3
5 2 2 1 3 1 8 5
x y + xy − x y
2
3
2
(x + y)(x − y) = x2 − y 2
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2
(x − y)2 = x2 − 2xy + y 2
Un
(x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3
Ejemplo 2.4 .
(3a − 2b)3
=
(3a)3 − 3(3a)2 (2b) + 3(3a)(2b)2 − (2b)3
=
=
27a3 − 3 · 9 · 2 · a2 b + 3 · 3 · 4 · ab2 − 8b3
27a3 − 54a2 b + 36ab2 − 8b3
3
2.2.
Factorización
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La factorización es el proceso de expresar una suma de términos como un producto. Por ejemplo
x2 − 25y 2 = (x + 5y)(x − 5y)
es la factorización del polinomio x2 − 25y 2 en dos factores (x + 5y) y (x − 5y).
Proposición 2.1 Algunas fórmulas de factorización:
1. Diferencia de cuadrados:
x2 − y 2 = (x + y)(x − y)
2. Diferencia de dos cubos:
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
3. Suma de dos cubos:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
3.
Expresiones fraccionarias
ad
de
Una expresión fraccionaria es el cociente de dos expresiones algebraicas. Una expresión racional es el cociente de dos polinomios. El dominio (valores posibles) de este cociente está formado
por todos los números reales, excepto por los que hacen cero al denominador.
Por ejemplo, en el cociente
4x2 − 8y 3
,
6x
el denominador se hace 0 cuando reemplazamos x por 0. Entonces, decimos que el dominio de este
cociente son todos los reales, excepto el cero.
Una expresión racional está simplificada o reducida a su mı́nima expresión cuando el numerador
y el denominador no tienen factores comunes.
Ejemplo 3.1 .
=
=
4.
(3x + 1)(x − 2)
(x + 2)(x − 2)
(3x + 1)
, x 6= −2
(x + 2)
rsid
3x2 − 5x − 2
x2 − 4
Expresiones polinomiales
ive
Una expresión algebraica es una expresión que contiene letras, números y operaciones aritméticas. Muchas expresiones del lenguaje habitual las podemos las podemos enunciar por medio de
expresiones algebraicas. Es común usar la notación y la terminologı́a de la Teorı́a de Conjuntos
para describir relaciones matemáticas.
Para denotar los conjuntos se usan letras mayúsculas A, S, . . . Las letras minúsculas son usadas
para representar los elementos de los conjuntos.
Un
Notación
a∈T
S⊂T
Significado
a es un elemento del conjunto T
a pertenece al conjunto T
Todo elemento de S está en T
S es un subconjunto de T
Una letra o sı́mbolo que represente un elemento especı́fico se denomina constante. Por ejemplo,
5, π son constantes.
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An
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Instituto de Matemáticas, Universidad de Antioquia
Una letra o sı́mbolo que represente a cualquier elemento de un conjunto se denomina variable
o incógnita.
Ejemplo 4.1 En la expresión ((Sea x un número real)), x está representando a cualquier elemento
de los números reales.
Si x es una variable, entonces:
Monomio en x es una expresión de la forma axn , donde a ∈ R y n es un entero no-negativo.
Binomio es una suma de dos monomios.
Trinomio es una suma de tres monomios.
Polinomio en x es una suma de cualquier número de monomios en x.
Un Polinomio en x es una suma de la forma
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
donde n es un entero no-negativo y cada coeficiente ak es un número real. Cuando an 6= 0 decimos
que el polinomio tiene grado n.
El coeficiente ak de la potencia más alta de x es el coeficiente principal del polinomio.
Ejemplo 4.2 .
En el polinomio 8x4 + 5x2 + x − 3, el coeficiente principal es 8 y el grado es 4.
x+2
x2 −1
no es un polinomio (es una expresión fraccionaria).
de
La expresión
Un polinomio en dos variables, x y y, es una suma de términos de la forma axm y n , donde
a ∈ R y m y n son enteros no-negativos.
Por ejemplo, 2x3 y + 5xy 4 es un polinomio en la variables x y y de grado 3 para x y de grado 4
para y.
ad
Ejemplo 4.3 (operaciones entre polinomios) .
Suma de polinomios: (x2 + y) + (8y − 3x2 ) = −2x2 + 9y
Resta de polinomios: (x2 + y) − (8y − 3x2 ) = 5x2 − 7y
Multiplicación de polinomios
(6w)(5z) + (6w)(2w2 ) − (3z 2 )(5z) − (3z 2 )(2w2 )
30wz + 12w3 − 15z 3 − 6z 2 w2
rsid
(6w − 3z 2 )(5z + 2w2 ) =
=
División de un polinomio entre un monomio:
15x4 y 5 + 2x3 y 6 − 3x10 y 8
6x2 y 3
=
4.1.
ive
=
15x4 y 5
2x3 y 6
3x10 y 8
+ 2 3−
2
3
6x y
6x y
6x2 y 3
5 2 2 1 3 1 8 5
x y + xy − x y
2
3
2
Fórmulas de algunos productos de polinomios
(x + y)(x − y) = x2 − y 2
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2
(x − y)2 = x2 − 2xy + y 2
Un
(x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3
Ejemplo 4.4 .
(3a − 2b)3
=
(3a)3 − 3(3a)2 (2b) + 3(3a)(2b)2 − (2b)3
=
=
27a3 − 3 · 9 · 2 · a2 b + 3 · 3 · 4 · ab2 − 8b3
27a3 − 54a2 b + 36ab2 − 8b3
5
4.2.
Factorización
An
tioq
uia
Instituto de Matemáticas, Universidad de Antioquia
La factorización es el proceso de expresar una suma de términos como un producto. Por ejemplo
x2 − 25y 2 = (x + 5y)(x − 5y)
es la factorización del polinomio x2 − 25y 2 en dos factores (x + 5y) y (x − 5y).
Proposición 4.1 Algunas fórmulas de factorización:
1. Diferencia de cuadrados:
x2 − y 2 = (x + y)(x − y)
2. Diferencia de dos cubos:
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
3. Suma de dos cubos:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
5.
Expresiones fraccionarias
ad
de
Una expresión fraccionaria es el cociente de dos expresiones algebraicas. Una expresión racional es el cociente de dos polinomios. El dominio (valores posibles) de este cociente está formado
por todos los números reales, excepto por los que hacen cero al denominador.
Por ejemplo, en el cociente
4x2 − 8y 3
,
6x
el denominador se hace 0 cuando reemplazamos x por 0. Entonces, decimos que el dominio de este
cociente son todos los reales, excepto el cero.
Una expresión racional está simplificada o reducida a su mı́nima expresión cuando el numerador
y el denominador no tienen factores comunes.
Ejemplo 5.1 .
=
=
Referencias
(3x + 1)(x − 2)
(x + 2)(x − 2)
(3x + 1)
, x 6= −2
(x + 2)
rsid
3x2 − 5x − 2
x2 − 4
ive
[1] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra y Trigonometrı́a con Geometrı́a Analı́tica, undécima
edición, editorial Thomson, 2006.
[2] M. Sullivan., Álgebra y Trigonometrı́a, séptima edición, editorial Pearson, 2006.
Un
[3] F.D. Demana, B.K. Waits, G.D. Foley, D. Kennedy, Precálculo, séptima edición, editorial
Pearson, 2006.