determinación de los elementos de orientacion interior y las

DETERMINACIÓN DE LOS ELEMENTOS DE ORIENTACION INTERIOR Y LAS
DISTORSIONES DEL OBJETIVO DE LAS CÁMARAS FOTOGRÁFICAS NO MÉTRICAS
Bernardino D. Díaz Rodríguez(1) , Gabriel Hernández Sierra(2) Sandra Haydeé Gonzáles García(1) y
José Manuel Cordovez Pedrianes(1)
(1) GEOCUBA IC, 3ra y 4, Playa. C.P. 12200, CH, Cuba, Phone: (+)537.209 6094, [bdiaz ;
sandra]@geocuba.co.cu, [email protected]
(2) CENATAV, MINBAS, 7a #21812 e/ 218 y 222, Rpto. Siboney, Playa. C.P. 12200, CH, Cuba,
Phone: (+)537.271.4787, Fax number: (+)537.272.1667
[email protected]
RESUMEN.
Se exponen los trabajos desarrollados para determinar la distancia focal, coordenadas del
punto principal y distorsiones del objetivo de las cámaras fotográficas digitales y
convencionales no métricas. En el proceso de cálculo también se incluyen los Elementos de
Orientación Exterior de las fotografías, los cálculos se hacen a partir de conocer los valores
aproximados de estos elementos y las mediciones de las coordenadas en la imagen de
puntos correspondientes a un polígono de calibración construido con este fin. Se presenta un
Software que permite el cálculo y ajuste de estos parámetros de calibración, así como
también un software para corregir en las imágenes el efecto de la distorsión radial.
IV SEMINARIO NACIONAL DE GEOMÁTICA.
DETERMINACIÓN DE LOS EOI Y LAS DISTORSIONES DE LAS CÁMARAS
FOTOGRÁFICAS NO MÉTRICAS
Bernardino D. Díaz Rodríguez(1) , Gabriel Hernández Sierra(2) Sandra Haydeé Gonzáles García(1) y
José Manuel Cordovez Pedriani(1)
(1) GEOCUBA IC, 3ra y 4, Playa. C.P. 12200, CH, Cuba, Phone: (+)537.209 6094, [bdiaz ;
sandra]@geocuba.co.cu, [email protected]
(2) CENATAV, MINBAS, 7a #21812 e/ 218 y 222, Rpto. Siboney, Playa. C.P. 12200, CH, Cuba,
Phone: (+)537.271.4787, Fax number: (+)537.272.1667
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INTRODUCCIÓN.
La calibración de las cámaras no métricas permite determinar los parámetros de orientación
interior
así
como
las
distorsiones
del objetivo,
para
introducir
las
correcciones
correspondientes en las imágenes y utilizar la cámara en trabajos propios de fotogrametría.
Con el desarrollo de la informática y el procesamiento digital de las imágenes se crean
condiciones favorables para desarrollar tareas fotogramétricas empleando las cámaras
digitales al determinarse sus distorsiones e introducir como corrección a la imagen esos
valores.
La distorsión de los objetivos está dada por las aberraciones ópticas en su construcción y
que no son posibles de eliminar totalmente durante su confección, en las cámaras
convencionales es superior dado el hecho de que para trabajos de fotografías artísticas o de
aficionados estas aberraciones no afectan la calidad de las mismas, lo que no es así en el
caso de ser utilizadas para trabajos propios de fotogrametría, en el cual es necesario realizar
mediciones de precisión sobre las imágenes.
DESARROLLO.
Para determinar los parámetros de calibración, nos basamos en la condición de colinealidad,
derivada de la proyección central, en que se fundamenta la imagen fotográfica.
Esta expresa las relaciones que se establecen, entre las coordenadas de los puntos en el
terreno y sus respectivas coordenadas en la imagen (también conocida como intersección
fotogramétrica directa) y que se representa por las siguientes ecuaciones matemáticas:
Xg  Xo  ( Zg  Zo)
Yg  Yo  ( Zg  Zo)
a1 x  a2 y  a3 f
c1 x  c2 y  c3 f
b1 x  b2 y  b3 f
c1 x  c2 y  c3 f
En estas expresiones se consideran conocidos los valores aproximados de los Elementos de
Orientación Exterior ( X oo , Yoo , Z oo ,  o ,  o ,  o ) y los de Orientación Interior ( x oo , y oo , f o ) con
estos valores aproximados y teniendo además las coordenadas en la imagen (x, y) de puntos
de apoyo, medidos en las estaciones fotogramétricas digitales, calculamos las coordenadas
aproximadas correspondientes a los puntos en el polígono (Xg) y (Yg). Las coordenadas
preliminares calculadas, asumiendo como datos los valores aproximados de las incógnitas,
se diferencian de las medidas directamente sobre el polígono. Bajo estas condiciones se
requiere de una corrección para obtener los valores verdaderos, representemos las
correcciones a los valores aproximados por:
Xo , Yo , Zo , , , , xo, yo, f.
Al contar con mediciones en exceso podemos conformar las siguientes ecuaciones de
corrección.
a x X o  bx Yo  c x Z o  d x   e x   f x   g x x o  hx y o  i x f  l x  v x
a y X o  b y Yo  c y Z o  d y   e y   f y   g y x o  h y y o  i y f  l y  v y
donde :
a x ; bx ; c x ; d x ; e x ; f x ; g x ; hx ; i x
a y ; by ; c y ; d y ; e y ; f y ; g y ; hy ; i y
son las derivadas parciales de las funciones 1 (que expresan la condición de colinealidad),
respecto a cada variable;
ax 
ay 
x
x
x
x
x
x
x
x
x
; bx 
; cx 
;dx 
; ex 
; fx 
; gx
; hx
; ix
;

x o
y o
f
X o
Yo
Z o


y
y
y
y
y
y
y
y
y
; by 
;cy 
;dy 
;ey 
; fy 
;gy
; hy
;iy
;
X o
Yo
Z o



xo
y o
f
Los valores de lx y ly se calculan por la siguiente fórmula:
lx = (Xg)-Xg,
ly = (Yg)-Yg,
donde:
(Xg), (Yg) – valores de las coordenadas de los puntos en el terreno calculados por las
fórmulas de colinealidad utilizando los valores aproximados de las variables.
Xg, Yg _ son los valores de las coordenadas de los puntos medidos en el terreno.
Un punto de apoyo permite formar dos ecuaciones de condición, como tenemos 9 incógnitas,
para solucionar el sistema es necesario tener al menos 5 puntos de apoyo, si tenemos puntos
en exceso, que es nuestro caso, el sistema se puede solucionar por aproximaciones sucesivas
aplicando los mínimos cuadrados:
pv
2
x

 pv y 2  min
Para ello, inicialmente medimos las coordenadas de los puntos de apoyo. Seguidamente por
los valores aproximados de los elementos de orientación exterior e interior calculamos las
coordenadas (Xg), (Yg), de los correspondientes puntos del polígono. Con estas magnitudes
y las medidas en el terreno calculamos los valores de lx , ly.. Posteriormente calculamos las
derivadas parciales y así obtenemos los coeficientes de las ecuaciones de corrección, a
partir de las cuales formamos las ecuaciones normales siguientes:
aa Xo + ab Yo + ac Zo + ad  + ae  + af  + al = 0
ab Xo + bb Yo + bc Zo + bd  + be  + bf  + bl = 0
ac Xo + bc Yo + cc Zo + cd  + ce  + cf  + cl = 0
ad Xo + bd Yo + cd Zo + dd  + de  + df  + dl = 0
ae Xo + be Yo + ce Zo + de  + ee  + ef  + el = 0
af Xo + bf Yo + cf Zo + df  + ef  + ff  + fl = 0
ag Xo + bg Yo + cg Zo + dg  + eg  + fg  + gl = 0
ah Xo + bh Yo + ch Zo + dh  + eh  + fh  + hl = 0
ai Xo + bi Yo + ci Zo + di  + ei  + fi  +
il = 0
donde:
n
n
n
i 1
i 1
i 1
aa   ai ai ; ab   ai bi ;........................;  fl    f i li
Con la solución de este sistema determinamos las correcciones a los valores aproximados de
los Elementos de Orientación Exterior de cada fotografía, introducimos estas correcciones y
precisamos el valor de dichos elementos.
X
S

 X

o
o
o
  X o , Y o  Y oo   Y o , Z o  Z oo   Z 0 ,
  , 

o
  , 
 
o
  ,
Así de nuevo calculamos los cósenos directores, empleando en esta ocasión los valores
angulares de los elementos de orientación exterior obtenidos como resultado de la solución
del sistema de ecuaciones normales, nuevamente calculamos (Xg) y (Yg), así como lx , ly,
en estas condiciones formamos de nuevo el sistema de ecuaciones:
a x X
o
 b x Yo  c x Z o  d x   e x   f x   g x x o  h x y o  ix x 
j x y  k x f  l x  v x
a y X
o
 b y Yo  c y Z o  d y   e y   f y   g y x o  h y y o  i y x 
j y y  k y f  l y  v y
En este caso se suman por cada punto 2 incógnitas, por lo tanto para que el sistema tenga
solución se exige la medición independiente al menos dos veces de cada puntos en las EFD,
de forma que se duplique el número de ecuaciones y se obtenga un sistema factible de ser
ajustado aplicando los métodos estadísticos de los mínimos cuadrados, así las ecuaciones
normales quedan como sigue:
aa Xo + ab Yo + ac Zo + ad  + ae  + af  + ag xo + ah yo + ai x + aj y + ak f+ al = 0
ab Xo + bb Yo + bc Zo + bd  + be  + bf  + bg xo + bh yo + bi x + bj y + bk f + bl = 0
ac Xo + bc Yo + cc Zo + cd  + ce  + cf  + cg xo + ch yo + ci x + cj y + ck f + cl = 0
ad Xo + bd Yo + cd Zo + dd  + de  + df  + dg xo + dh yo+ di x + dj y + dk f + dl = 0
ae Xo + be Yo + ce Zo + de  + ee  + ef  + eg xo + eh yo+ e x + dj ej y + ek f + el = 0
af Xo + bf Yo + cf Zo + df  + ef  + ff  + fg xo + fh yo + fi x + fj y + fk f + fl = 0
ag Xo + bg Yo + cg Zo + dg  + eg  + fg  + gg xo + gh yo + gi x + gj y + gk f + gl = 0
ah Xo + bh Yo + ch Zo + dh  + eh  + fh  + gh xo + hh yo + hi x + hj y + hk f + hl = 0
ij Xo + i Yo + ci Zo + di  + ei  + fi  + fg xo + ih yo +
ii x + ij y + ik f + il = 0
Repetimos reiteradamente los cálculos (iteraciones), hasta tanto las correcciones a los valores
aproximados sean despreciables, menores o iguales a un límite previamente establecido:
Xo < 1; Yo < 1; Zo < 1;  < 2;  < 2 ;  < 2; δxo <4 ; δyo <4 ;
x < 5 ; y < 5 ; f < 6 .
Así el proceso de cálculo tiene dos etapas una primera donde se determinan los valores de
los EOE de las fotografías y una segunda en la cual además se determinan los valores
ajustados de los EOI y de las coordenadas medidas en las imágenes en correspondencia
con el cumplimiento de la condición de colinealidad.
Para solucionar el sistema de ecuaciones propuesto, se emplea el método matricial, en el
cual las ecuaciones de corrección se expresan de la forma siguiente:
m
An n X 1  m L1  mV1
donde:
n
a x bx c x ...............n x 
a b ..................n 
y
 y y

A           , matriz de los coeficientes (derivadas parciales),


          
a b ..................n 
y
 y y
m
X o 
Y 
 o
Z 
X  o 
 
 


f 
n
1
, vector de las incógnitas,
1
 Lx1 
 Ly 
 2
 Lx 
L   3  , vector de los términos independientes,
 
 


Ly

m


m
1
Vx1 
Vy 
 2
Vx 
V  3  ,
 
 


Vy

m


m
vector de los residuos.
Entonces las ecuaciones normales se obtienen por :
AT AX  AT L , y las incógnitas,

X= AT A

1
AT L .
Al concluir los cálculos conocemos los Elementos de Orientación Exterior e Interior de la
fotografía y las coordenadas de los puntos que cumplen la condición de colinealidad, las
diferencias entre las coordenadas medidas en la imagen y las calculadas bajo esta condición
constituyen en sí las distorsiones del objetivo, una vez conocido los valores de las
distorsiones para cada punto, es posible mediante un polinomio caracterizar el
comportamiento de las distorsiones en toda el área de la imagen, a su vez este sirve de
partida para introducir las correcciones correspondientes en la fotografía original, existen
diferentes propuestas de polinomios entre ellos tenemos:
Polinomio propuesto por el ISPRS (balanceado);
 r  k1 r ( r 2  r0 2 )  k 3 r ( r 4  r0 4 ),
Polinomio Gaussiano
r  k 1 r 3  k 3 r 5 ,
Polinomio Paul R. Wolf
r  k 1 r  k 2 r 3  k 3 r 5  k 4 r 7
En estos polinomios δr es la distorsión radial y r es el radio correspondiente a cada punto en
la imagen, los coeficientes k definen la curva que caracteriza la distorsión del objetivo dado.
El cálculo de los coeficientes de los polinomios se hace planteado un sistema de ecuaciones,
donde los coeficientes (k) constituyen los valores de las incógnitas a determinar y el término
independiente es el valor de la distorsión en cada punto.
En este caso la matriz de los coeficientes para el primer polinomio queda como sigue:
r1 (r1 2  ro 2 ) r1 (r1 4  ro 4 ) 


r (r 2  r 2 ) r (r 4  r 4 ) 
2 2
o
o
2 2


A                
              


2
2
4
4
rn (rn  ro ) rn (rn  ro ) 


n
2
El vector de las incógnitas está dado por k1 y k2 y el de los términos independientes por δr1,
δr2, δrn. Una vez calculados y ajustados los coeficientes que caracterizan la distorsión del
objetivo, es posible determinar las curvas típicas (figura 1), que representan el
comportamiento de la distorsión en función del radio medido desde el centro de la imagen
(punto principal).
Fig. 1. Curva característica de la distorsión del objetivo.
La interfase de trabajo del software desarrollado y puesto a punto para la calibración se
muestra a continuación.
Los datos de entrada al programa son:

Distancia focal nominal (aproximada) de la cámara utilizada durante la toma.

Coordenadas estimadas del punto de toma (Xs, Ys, Zs).

Valor límite de las correcciones para concluir el proceso de iteración durante el ajuste
(valores angulares y lineales de los EOE, coordenadas del punto principal xo, yo,
coordenadas de los puntos medidos en las imágenes x, y ).
Además de los datos que se captan directamente a través de la interfase, es necesario
introducir (leer) las coordenadas imagen de cada uno de los puntos del polígono obtenidas
como resultados de las mediciones en las EFD, así como las coordenadas de dichos puntos
en campo, para esto presionamos el botón “Leer datos” e inmediatamente se activa una
ventana estándar de Windows de lectura de fichero.
Así podemos abrir un fichero .txt que previamente ha sido preparado con los datos
correspondientes a las mediciones de campo y de gabinete.
Al concluir los cálculos es posible activar una ventana estándar de Windows para salvar los
resultados. Como resultado de los cálculos, se dan en un fichero .txt los siguientes valores:

Valores Ajustados de los EOE y de los EOI.

Coordenadas Ajustadas de los puntos en la foto en milímetros.

Distorsiones del objetivo en cada uno de los puntos.

Valor de los coeficientes de los polinomios de corrección.
Estos resultados, pueden ser impresos, además el programa permite visualizar en tiempo de
ejecución el resultado de los cálculos directamente en pantalla, dando la posibilidad de
evaluar los resultados en tiempo real, también se dan dos tipos de gráfico, uno donde se
muestra la curva de distorsión y otro con los trazos que caracterizan las direcciones de la
distorsión del objetivo y su magnitud en toda el área de la imagen, así como un gráficos con
las direcciones y magnitudes de las correcciones.
El programa alerta durante su explotación, con los mensajes correspondientes sobre errores
que se pueden cometerse en la introducción de los datos, así como si el número de
ecuaciones es inferior al de incógnitas, hay que tener presente que el proceso de cálculo se
hace aplicando un ajuste a partir de valores iniciales aproximados, que en el caso en que
dichos valores sean muy distante de los reales se aumenta el número de iteraciones y los
cálculos se tienen con peor calidad, de ahí la importancia de una evaluación preliminar de los
mismo, es importante tener seguridad de la veracidad y calidad de los datos de partida, pues
se pueden producir ajustes con resultados finales erróneos, para facilitar este tipo de análisis
y la búsqueda de posibles errores, el sistema incluye la evaluación de los datos iniciales, así
como la representación gráfica de las desviaciones en cada punto después del ajuste, así se
puede apreciar rápidamente (a golpe de vista) en una gráfica aquellos puntos con datos o
una medición errada realizada durante el trabajo.
CONCLUSIONES.
La tecnología descrita permite emplear las cámaras digitales existentes en el mercado, al
introducirle en las imágenes las correcciones derivadas de las distorsiones radiales de la
óptica con que fueron construidas, a la vez de contarse con los elementos de orientación
interior con elevada precisión para dar solución a diferentes trabajos fotogramétricos.
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