Solución - IES Francisco Ayala

IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2013
Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN A
5 − m 3 


A.1.- Sea A la matriz: A =  1 − 1 0 
1 1 m


a) (1,5 puntos) Discuta el sistema que aparece a continuación, para cada uno de los valores de m y
resuélvalo para los valores de m siguientes: m =−1 y m = 2.
0
 
AX =  0  donde
0
 
 x
 
X =  y
 x
 
b)(1 punto) Determine la inversa de la matriz A cuando m = 0.
a) El sistema de ecuaciones homogéneas que se nos pide discutamos puede ser Compatible Determinado,
su solución será la trivial, siempre que el determinante de la matriz de los coeficientes no sea nulo, en el
caso contrario el sistema es Compatible Indeterminado y tiene infinitas soluciones.
5 − m 3 0 − m − 5 3 − 5m
− m − 5 3 − 5m
= m 2 + 5m + 6 − 10m = m 2 − 5m + 6 ⇒
A = 1 −1 0 = 0
−2
− m = 1⋅
−2
−m
m
1 1 m 1
1
5 +1

=
=3
m

5± 1
2
2
2
⇒
Si A = 0 ⇒ m − 5m + 6 = 0 ⇒ ∆ = (− 5) − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 1 ≥ 0 ⇒ m =
⇒
5 −1
2 ⋅1
m =
=2
2

∀m ∈ ℜ − {2 , 3} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3 = Número de incognitas ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
Solución trivial ⇒ (x , y , z ) = (0 , 0 , 0 )
Si m = 2 o m = 3 ⇒ A = 0 ⇒ rang ( A) = rang ( A / B ) ≤ 2 < Número de incognitas ⇒
Sistema Compatible In det er min ado ⇒ Infinitas soluciones
Si m = −1 ⇒ Sistema Compatible Deter min ado
5 1
3 0  0 − 4 − 2 0  0 0 − 4 0

 
 

 1 − 1 0 0  ≡  0 − 2 1 0  ≡  0 − 2 − 1 0  ⇒ −4 z = 0 ⇒ z = 0 ⇒ −2 y − 0 = 0 ⇒ 2 y = 0 ⇒
1 1 −1 0 1 1 −1 0 1 1
1 0 

 
 
y = 0 ⇒ x + 0 + 0 = 0 ⇒ x = 0 ⇒ Solución trivial ⇒ (x , y , z ) = (0 , 0 , 0 )
Si m = 2 ⇒ Sistema Compatible In det er min ado
5 − 2 3 0  0 − 7 − 7 0  0 −1 −1 0  0 0 0 0

 
 
 

1 −1 0 0 ≡  0 − 2 − 2 0 ≡  0 1 1 0 ≡  0 1 1 0 ⇒ y + z = 0 ⇒ y = −z ⇒
1 1 2 0 1 1
2 0   1 1
2 0   1 1 2 0 

 
x − z + 2 z = 0 ⇒ x + z = 0 ⇒ x = − z ⇒ Solución ⇒ (x , y , z ) = (− λ , − λ , λ )
1
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Solución Junio 2013
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema A.1
b) Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea nulo
5 0 3
5 1 1


1 −1
1
−1
−1
t
t
A = 1 −1 0 = 3⋅
adj A ⇒ A =  0 − 1 1 
= 3 ⋅ (1 + 1) = 6 ≠ 0 ⇒ Existe A ⇒ A =
1 1
A
 3 0 0
1 1 0


1
1 


0
2
2 
3 
3  
0 3
0 3



1
1 1 
adj A t =  0 − 3 3  ⇒ A −1 =  0 − 3 3  =  0 −

6
2 2 
 2 − 5 − 5

5
5


 2 − 5 − 5  1
−
− 

6
6
3
A.2.- a) (1 punto) ¿Pueden existir vectores u y v tales que u = 2 , v = 3 y u ⋅ v = 8 ? Justifique la
respuesta.
b) (1,5 puntos) Determine todos los posibles vectores u = (a , 0 , b ) que tengan módulo 8 y sean
 x+ y+z =0
x − y + z − 2 = 0
perpendiculares a la recta r ≡ 
a)
( )
( )
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos u , v ⇒ cos u , v =
u ⋅v
u⋅v
=
( )
8
4
4
= > 1 ⇒ u , v = arc cos   ⇒ No tiene solución
2⋅3 3
3
b) Al ser los vectores directores perpendiculares, su producto escalar es nulo.
 x+ y+z =0
⇒ 2x + 2z − 2 = 0 ⇒ x + z − 1 = 0 ⇒ x = 1 − z ⇒ 1 − z + y + z = 0 ⇒ y = 1 ⇒

x − y + z − 2 = 0

x = 1 − λ


r ≡  y = 1 ⇒ v r = (− 1 , 0 , 1)
⇒ v r ⊥ u ⇒v r ⋅ u = 0 ⇒ (− 1 , 0 , 1) ⋅ (a , 0 , b ) = 0 ⇒ −a + b = 0 ⇒

 z=λ



u = (a , 0 , b )
a=b

8
8 2
⇒ b 2 + b 2 = 8 ⇒ 2b = 8 ⇒ b =
=
=4 2⇒a=4 2

2
2
2
2
2
2
2
8 = a + 0 + b = a + b
(
)
(
Sera solución u = 4 2 , 0 , 4 2 y su opuesto − u = − 4 2 , 0 , − 4 2
)
2
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Solución Junio 2013
Juan Carlos Alonso Gianonatti
A.3.- (2,5 puntos) Un poste de 3 metros de altura tiene en su punta un sensor que recoge datos
meteorológicos. Dichos datos deben transmitirse a través de un cable a una estación de almacenamiento
situada a 4 metros de la base del poste. El cable puede ser aéreo o terrestre, según vaya por el aire o por el
suelo (véase figura).
El coste del cable es distinto según sea aéreo o terrestre. El metro de cable aéreo cuesta 3000 euros y el
metro de cable terrestre cuesta 1000 euros. ¿Qué parte del cable debe ser aéreo y qué parte terrestre para
que su coste sea mínimo?
Poste
3m
Sensor
Cable aéreo
Cable terrestre
x
Estación
4 m.
Siendo A la longitud del cable aéreo y T la del cable terrestre
 A 2 = 32 + x 2 ⇒ A = 9 + x 2

T = 4− x
⇒ P = 3000 ⋅ 9 + x 2 + 1000 ⋅ (4 − x ) = 1000 ⋅ 3 9 + x 2 + 4 − x ⇒

 P = 3000 ⋅ A + 1000 ⋅ T

(
P' =
)


dP
2x
3x − 9 + x 2
⇒ Si P ' = 0 ⇒ 3 x − 9 + x 2 = 0 ⇒
= 1000 ⋅  3 ⋅
− 1 = 1000 ⋅
2
2
dx
9+ x

 2 9+ x
3x = 9 + x 2 ⇒ 9 x 2 = 9 + x 2 ⇒ 8 x 2 = 9 ⇒ x 2 =
9
9
3
3 2
⇒x=
=
=
8
8 2 2
4
)
(


2x
2x
3x 2
2
2
 9 + x2 −
3 −
−
+
x
x
3
9
+x
3 9+ x −x−


d 2P
2 9 + x2 
2 9 + x2
9 + x2

= 1000 ⋅
= 1000 ⋅
P' ' =
dx 2
9 + x2
9 + x2
3 9 + x 2 − 3x 2
27 + 3 x 2 − 3 x 2
27000
= 1000 ⋅
=
P' ' = 1000 ⋅
2
2
2
2
9+ x
9+ x
9+ x
9+ x
9 + x2 9 + x2
(
(
)
)
(
)
(
)
3 2 
27000
27000
27000
27000
27000
=
P' ' 
=
=
=
=

2
2
18 
18 
9
9 81 81 81 81

 4   3 2  
3 2 
9 +  9 +
9 +  9 +
  9+

9 + 
8 8
8 8
16 
16 
8
8

 4 
  4  





3 2 16 − 3 2
m
=
T = 4−
4
4
 3 2  27000 ⋅ 8 3000 ⋅ 8 ⋅ 2 2 1000 ⋅ 8 ⋅ 2 2

=
2
P' ' 
=
=
> 0 ⇒ Mínimo ⇒ 

81
27
4

 81 ⋅ 9
 A = 9 +  3 2  = 9 m
 4 

2 2
2 2



3
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Solución Junio 2013
Juan Carlos Alonso Gianonatti
A.4.- a) (1,25 puntos) Determine la función f(x) cuya derivada es f ' ( x ) = 2 x e y que verifica que f(0) = 2.
5x
1
 1  (2− x )2
b) (1,25 puntos) Calcule: lim+ 

x→2  3 − x 
a)
(
)
 xe 5 x
 2
2  5 x e 5 x  2e 5 x
e5x
5x
5x


 =
f ( x ) = 2 ∫ x e dx = 2 ⋅ 
−∫
dx  = ⋅ xe − ∫ e dx = ⋅  xe −
⋅ (5 x − 1) + K
5
5
5
5
5
25




x = u ⇒ dx = du

t
5x
e 5 x dx = dv ⇒ x = e 5 x dx = e t dt = 1 e t dt = e = e
∫
∫ 5 5∫

5
5
dt
5 x = t ⇒ 5 dx = dt ⇒ dx =
5
5x
2e 5⋅0
2e 0
(− 1) + K = 2 ⇒ − 2 ⋅ 1 + K = 2 ⇒ K = 2 + 2 = 52 ⇒
⋅ (5 ⋅ 0 − 1) + K = 2 ⇒
25
25
25
25 25
5x
2e
48
f (x ) =
⋅ (5 x − 1) +
25
25
f (0 ) = 2 ⇒
b)
1
1
1
+
 1  (2− x )2  1  (2− 2+ )2
lim+ 
= 1 0 = 1∞ ⇒
=


+
x→2  3 − x 
3−2 
 1 
ln 

1
3− x
 1 
 1  (2− x )
 1  (2− x )

Siendo A = lim+ 
⇒
= lim+
⋅ ln 
⇒ ln A = lim+ ln 
 = lim+


2
x→2  3 − x 
x→2
x → 2 (2 − x )2
 3 − x  x →2 (2 − x )
3− x
− (− 1)
1
⋅
1
1




1 (3 − x )2
1
ln 

 ln 
ln
1
0
3− x
3−2
Aplicando L ' Hopital
= 2 = = 
  → = lim+ 3 − x
= lim+ 3 − x
=
= 
lim 
2
x → 2 + (2 − x )2
x
→
2
0
2 ⋅ (− 1) ⋅ (2 − x ) x →2 − 2 ⋅ (2 − x )
0
(2 − 2)
1
1
1
= 3−2 =
= =∞
2 ⋅ (2 − 2 ) 2 ⋅ 0 0
1
1
2
2
4
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Solución Junio 2013
Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN B
B1.- a) (1 punto) Determine el rango de la matriz A, que aparece a continuación, según los diferentes
−a
6 
 a


valores de a: A =  2
−2
4 
 a + 2 − 5 − 10 


b) (1,5 puntos) Determine, si existe, una matriz A, 2 x 2, que verifique la siguiente ecuación matricial:
 2 1  1 − 1  − 3 − 3 

 A 
 = 
 ¿Cuál es el rango de la matriz A?
3 
 1 1  0 1   3
a) El rango de la matriz es 3 cuando su determinante no sea nulo
a
−a
6
A= 2
−2
4 = 20a − 4a (a + 2 ) − 60 + 12 (a + 2 ) + 20a − 20a = 20a − 4a 2 − 8a − 60 + 12a + 24
a + 2 − 5 − 10
(
)
(
)
A = −4a 2 + 24a − 36 = −4 ⋅ a 2 − 6a + 9 ⇒ Si A = 0 ⇒ −4 ⋅ a 2 − 6a + 9 = 0 ⇒ a 2 − 6a + 9 = 0 ⇒
∆ = (− 6 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 0 ⇒ a =
6
=3
2 ⋅1
∀a ∈ ℜ − {3} ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 3
2
Si a = 3
6  1 − 1 2   1 − 1 2 
3 − 3

 
 

A = 2 − 2
4  ≡ 1 − 1 2  ≡  0 0
0  ⇒ rang ( A) = 2
 5 − 5 − 10  1 − 1 − 2   0 0 − 4 

 
 

b)
−1
 2 1  2 1  1 − 1  1 − 1

 
 A 
 ⋅ 

 1 1  1 1  0 1   0 1 
−1
−1
−1
−1
−1
 2 1  − 3 − 3   1 − 1
 
⋅
 ⇒
= 
3   0 1 
 1 1  3
−1
−1
 2 1  − 3 − 3   1 − 1
 2 1  − 3 − 3   1 − 1
 
 ⋅ 
 ⇒ A = 
 
⋅
 ⇒
IAI = 
3  0 1 
3   0 1 
 1 1  3
 1 1  3
t
−1
2 1
 2 1   2 1
 1 − 1   2 1
1  1 − 1  1
t
 = 
 ⇒ adj A = 
 ⇒ 
 = ⋅ 
=
= 1 ⇒ 

1  − 1 2   − 1
1 1
 1 1   1 1
 − 1 2   1 1

t
−1
 1 − 1 = 1 ⇒  1 − 1 =  1 0  ⇒ adj A t =  1 1 ⇒  1 − 1 = 1 ⋅  1 1 =  1
0 1   −1 1
 0 1  0 1 
 0 1
1  0 1  0

 


 


− 1

2 
⇒
1

1
 1 − 1   − 3 − 3   1 1  − 6 − 6 
 ⋅ 
⋅
=
⇒
A = 
3   0 1  9
9 
−1 2   3
 − 6 − 6   − 1 − 1  − 1 − 1
≡
≡
 ⇒ rang ( A) = 2
A = 
9   1
1   0
0 
 9
5
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2013
Juan Carlos Alonso Gianonatti
 x = −λ

y s :  y = 1 + 2λ
 z = −2 + 2λ

x y z
B.2.- Dadas las rectas: r : =
=
2 3 1
a) (1,5 puntos) Determine su posición relativa.
b) (1 punto) Calcule la distancia del punto A = (2 , 3 , 1) a la recta s.
a) Analizaremos si las rectas tienen un punto común, si el sistema que resulta es compatible determinado
son secantes, si es compatible indeterminado las rectas coinciden.
Si el sistema es incompatible y hay igualdad o proporcionalidad entre los vectores directores las rectas son
paralelas, de no serlo las rectas se cruzan en el espacio.

 x = 2µ


 r :  y = 3µ
 2 µ = −λ
 2µ + λ = 0
z=µ
2 1




⇒  3µ = 1 + 2λ ⇒  3µ − 2λ = 1 ⇒ A =
= −4 − 3 = −7 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 2

λ
x
=
−

−
3
2
µ = −2 + 2λ
µ − 2λ = −2
 


 s :  y = 1 + 2λ
 
  z = −2 + 2λ
2 1
0
A / B = 3 − 2 1 = 8 + 1 + 4 + 6 = 19 ≠ 0 ⇒ rang ( A / B ) = 3 ⇒
1 −2 −2
rang ( A) = 2 ≠ rang ( A / B ) = 3 ⇒ Sistema Incompatible ⇒ No son coincidentes ni sec antes
 v r = (2 , 3 , 1)
2
3
⇒
≠ ⇒ No son proporcionales ⇒ No son paralelas

v s = (− 1 , 2 , 2 ) − 1 2
Son dos rectas que se cruzan en el espacio
b) Hallaremos un plano π que conteniendo al punto A sea perpendicular a la recta s, por lo tanto el vector
director del plano es el de la recta que es perpendicular al vector AG, siendo G el punto genérico del plano
que buscamos, y su producto escalar es nulo y la ecuación que queremos.
La distancia pedida es la que hay entre el punto A y el punto B intersección de la recta y el plano

vπ = v s = (− 1 , 2 , 2 )
⇒ vπ ⊥ AG ⇒ vπ ⋅ AG = 0 ⇒

 AG = ( x , y , z ) − (2 , 3 , 1) = ( x − 2 , y − 3 , z − 1)
(− 1 , 2 , 2) ⋅ (x − 2 , y − 3 , z − 1) = 0 ⇒ −(x − 2) + 2 ( y − 3) + 2 (z − 1) = 0 ⇒ π ≡ x − 2 y − 2 z + 6 = 0
Punto B int er sec ción de π y s
 x = −λ

s :  y = 1 + 2λ ⇒ −λ − 2 (1 + 2λ ) − 2 (− 2 + 2λ ) + 6 = 0 ⇒ −λ − 2 − 4λ + 4 − 4λ + 6 = 0 ⇒ −9λ + 8 = 0 ⇒
 z = −2 + 2λ

8
8
8
2
10
11 
 26
 8 17
 8
9λ = 8 ⇒ λ = ⇒ B − , 1 + , − 2 + 2 ⋅  ⇒ AB =  − ,
, −  − (2 , 3 , 1) =  −
,− ,− 
9
9
9
9
9
9
 9
 9 9
 9
2
2
2
 26   10   11 
d ( A , s ) = d ( A , B ) = AB =  −  +  −  +  −  =
 9   9  9
676 + 100 + 121
897
=
u
81
9
6
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2013
B.3.- a) (1,25 puntos) Sea la función
Juan Carlos Alonso Gianonatti
x3
. Determine el dominio y las asíntotas de f(x),
f (x ) = 2
x −1
si
existen.
2
b) (1,25 puntos) Determine el área del recinto encerrado por las funciones: f(x) = x – 3 y g(x) = 1
a)

(− 1)3 = − 1 = − 1 ⇒ Sin solución
x = −1 ⇒ f (− 1) =


(− 1)2 − 1 1 − 1 0
x2 − 1 = 0 ⇒ x2 = 1⇒ x = ± 1 ⇒ 
13
1
1

=
= ⇒ Sin solución
x = 1 ⇒ f (1) = 2

1 −1 1−1 0

Dom ( f ) = ∀x ∈ ℜ − {− 1 , 1}


(− 1)3 = − 1 = −∞
(
)
lim
=
f
x


2
+
−
− 1− − 1 0
 x = − 1 ⇒  x → −1

3

−1
 lim f (x ) = (− 1)
= − =∞

2
+
 x →−1

− 1+ − 1 0

Asíntotas verticales ⇒ 

13
1

lim− f (x ) =
= − = −∞

− 2

x →1

1
−1 0
 x =1⇒ 
3
1

 lim f (x ) = 1
= + =∞

+ 2
x →1+

1
−1 0


Asíntotas horizontales
(
)
(
)
( )
( )
x3
x3
∞
1
1
1
1
= lim 2
= lim
=
=
= ⇒ Sin solución ⇒
x →∞ x − 1
x →∞ 1
1
1 1 0−0 0
∞ x →∞ x
1
− 3
−
− 3
3
∞ ∞
x x
x
x
No existe asíntota horizontal cuando x → ∞
y = lim
y = lim
x → −∞
x
3
=
2
x
3
x −1
2
= lim
x →∞
−
(− x ) = lim − x = ∞ = lim
(− x )2 − 1 x→∞ x 2 − 1 ∞ x→∞ x 2
3
3
x3
x3
x3
−
1
x3
= lim
x →∞
−1
1
1
=
= ⇒ Sin soluc.
1 1
1 1 0
−
−
x x3 ∞ ∞
No existe asíntota horizontal cuando x → −∞
Asíntotas oblicuas
x3
x3
2
3
∞
f (x )
1
1
1
x3
= lim x − 1 = lim 3
= = lim 3 x
= lim
=
=
=1
m = lim
x →∞
x
x
x
x
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
1
1
1− 0
x
x
x
x
x −x ∞
−
−
1
1
−
∞
x2
x3 x3
x
1
3
3
2
 x3

0
∞
x −x +x
x
− 1 ⋅ x  = lim
= lim 2
= = lim 2 x
= lim x = = 0
n = lim[ f ( x ) − mx ] = lim 2
2
x →∞
x →∞ x − 1
x →∞
x →∞ x − 1
x →∞ x
x →∞
1
1
∞
−
1
1
x


1− 2
−
x
x2 x2
Existe asíntota oblicua, y = x, cuando x → ∞
7
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2013
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema B.3
a)Continuación
Asíntotas oblicuas
x3
2
(− x )3 = lim − x 3 = − ∞ = lim
m = lim x − 1 = lim
x → −∞
x →∞
x
(− x )3 − (− x ) x →∞ − x 3 + x − ∞ x →∞
−
x3
x3
3
−1
= lim
x →∞
−1
=
1
1
−1+
2
∞
x
x
− 2
−
 x3

(
−∞
− x)
−x
x3 − x3 + x
x
=
=
− 1 ⋅ x  = lim
=
lim
lim
lim
=
lim
n = lim  2
x → −∞ x − 1
x →∞
x2 −1
(− x )2 − 1 x→∞ x 2 − 1 ∞ x→∞ x 2 − 1 x→∞ 1 −

 x → −∞
x2 x2
Existe asíntota oblicua, y = x, cuando x → −∞
x
x
+ 3
3
x
x
−
=
−1+
−1
=1
−1+ 0
1
x = 0 =0
1
1
2
x
b)
 x = −2
Puntos de corte entre funciones ⇒ x 2 − 3 = 1 ⇒ x 2 − 4 = 0 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ± 4 ⇒ 
⇒
x=2
f ' (− x ) = (− x ) − 3 = x 2 − 3 = f (x ) ⇒ Fúnción simétrica
2
x = − 3
Puntos de corte con OX ⇒ y = 0 ⇒ x 2 − 3 = 0 ⇒ x 2 = 3 ⇒ x = ± 3 ⇒ 
⇒
x= 3
∫ (x
3
A = 2⋅
0
2
)
3
2
− 3 dx + 2 ∫ 1 ⋅ dx + 2 ∫ 1 ⋅ dx − 2 ⋅
0
2
2
(
)
3
2
∫ (x
2
2
)
2
0
3
(
3
(
)
− 3 dx = 2 ∫ dx − 2 ⋅ ∫ x 2 − 3 dx − 2 ⋅
)
2
(
0
(
[ ]
)
)
b) (1,5 puntos) Calcule:
∫ 2 x [ln (x )] dx
)
lim 2 x − 4 x 2 + kx − 5 = ∞ − ∞ = lim
x →∞
= lim
x →∞
(
2
0
+ 8 ⋅ [x ]0
2
4 x 2 + kx − 5 = 1
2
a)
(
)
− 3 dx
)
(
B.4.- a) (1 punto) Determine qué valor debe tomar k para que lim 2 x −
x →∞
2
3
1
A = 2 ∫ dx − 2 ⋅∫ x 2 − 3 dx = 2 ⋅ ∫ 1 − x 2 + 3 dx = 2 ⋅ ∫ − x 2 + 4 dx = −2 ⋅ ⋅ x 3
3
0
0
0
0
16
32 2
2
A = − ⋅ 2 3 − 0 3 + 8 ⋅ (2 − 0 ) = − + 16 =
u
3
3
3
∫ (x
2
4 x 2 − 4 x 2 + kx − 5
x →∞
) = lim 4 x
2
(2 x −
)(
4 x 2 + kx − 5 ⋅ 2 x + 4 x 2 + kx − 5
(2 x +
− 4 x 2 − kx + 5
4 x + kx − 5
= lim
2
)
− kx + 5
=
)=
−∞
=
∞
2 x + 4 x 2 + kx − 5 x →∞ 2 x + 4 x 2 + kx − 5 x →∞ 2 x + 4 x 2 + kx − 5
5
x 5
5
−k +
−k +
−k +
−k +0
k
x x
x
∞
= lim
= lim
=
=− ⇒
=
2
x →∞
x →∞
4
2+ 4+0−0
k 5
k 5
5
x
x
x
2+ 4+ − 2
2+ 4+ −
2 + 4 2 +k 2 − 2
x x
∞ ∞
x
x
x
x
1
k
− =1⇒ k = −
4
4
8
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2013
Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del problema B.4
c)
 x2
 x2
1
1
2
2
2
I = 2 ∫ x [ln (x )] dx = 2 ⋅  ⋅ [ln (x )]  − 2 ∫ ⋅ x 2 ⋅2 ⋅ ln (x ) ⋅ dx = 2 ⋅  ⋅ [ln (x )]  − 2 ∫ x ln (x ) dx
x
2

 2

 2
1

2
[ln (x )] = u ⇒ 2 ⋅ ln (x ) ⋅ x dx = du

1
 x dx = dv ⇒ v = ∫ x dx = ⋅ x 2
2

dx
1
1
2
2
2
I = x 2 [ln (x )] − 2 ∫ x ln (x ) dx = x 2 [ln (x )] − 2 ⋅ ⋅ x 2 ln (x ) + 2 ∫ x 2
= x 2 [ln (x )] − x 2 ln (x ) + ∫ x dx
x
2
2
1

ln (x ) = u ⇒ dx = du

x

1
 x dx = dv ⇒ v = ∫ x dx = ⋅ x 2
2

1
1

2
2
I = x 2 [ln (x )] − ln (x ) + ⋅ x 2 = x 2 [ln (x )] − ln (x ) +  + K
2
2

{
}
9