Distancia en grafos. Diámetro y grafos de Moore

Distancia en grafos.
Problema de los grafos de Moore
Teoría de Grafos
Grafos de Moore
• Encontrar grafos regulares tales que la distancia
entre dos vértices cualesquiera no sea superior a
2.
• Este problema se enmarca dentro de la teoría
extremal de grafo: Problema (∆,G).
• “Encontrar grafos con el mayor número posible
de vértices para un grado máximo Δ y un
diámetro D dados”
Problema del grafo Moore (Δ ≥ 3)
• Se sabe que sólo puede existir para valores del
grado iguales a 3, 7 y posiblemente 57.
• El Gran Grafo de Moore (57) aún no se ha
encontrado.
Grafos de Moore
• ∆ = 3. Grafo de
Petersen
• ∆ = 7. HoffmanSingleton
Aplicaciones
•
•
•
•
•
Topología de Redes de interconexión
Alineación de datos
Algoritmos criptográficos
Enumeración de cuadrados latinos
…
Problemas extremales
• El (∆,G) está relacionado con otro problema
extremal: (δ,g)
• En concreto son los grafos que cumplen
g=2D+1.
Cota de Moore
• Cota Superior del número de vértices que puede
tener un grafo de grado máximo Δ y diámetro D.
• Cuando un grafo alcanza la cota se llama Grafo de
Moore.
• cuando un grafo no alcanza la cota de Moore aún
teniendo el máximo número posible de vértices,
hablamos de grafo denso.
Cota de Moore
• m = 1 + Δ ∑D (Δ -1)i-1
m = 2
si ∆ = 1
m = 2D+1
si ∆ = 2
m = (∆(∆-1)D -2)/(∆-2)
si ∆ ≥ 3
Cota de Moore
• Teorema: Si G es un grafo de Moore de grado
Δ ≥ 3, entonces G tiene diámetro 2.
• Teorema (Hoffman-Singleton): Para Δ ≥ 3, la
cota de Moore sólo se alcanza en grafos
regulares de diámetro 2 y grado 3, 7 y
posiblemente 57.
Grafos de Moore conocidos
• El único grafo de Moore de grado Δ = 1 es el K2.
• Hay infinitos grafos de Moore de grado Δ = 2, que
son los correspondientes a los ciclos de longitud
2D + 1.
• Sólo existen (o puede que existan) tres grafos de
Moore de grado Δ ≥ 3. Estos grafos tienen
diámetro 2 y grado 3, 7 y posiblemente 57.
Grafos de Moore conocidos
• ∆ = 3. Grafo de
Petersen
• ∆ = 7. HoffmanSingleton
Diámetro
D=2
Diámetro
D=2
Grado
∆=3
Grado
∆=7
Cuello
g=5
Cuello
g=5
v=
(∆(∆-1)D -2)/(∆-2)
e = ∆·v/2 = 15
= 10
v = (∆(∆-1)D -2)/(∆-2) = 50
e = ∆·v/2 = 175
Grafos de Moore conocidos
• ∆ = 57. Gran grafo de Moore
Diámetro
D=2
Grado
∆ = 57
Cuello
g=5
v = (∆(∆-1)D -2)/(∆-2) = 3250
e = ∆·v/2 = 92625
Construcción de un grafo de Moore
• Uso de árbol generador del grafo.
• Llamamos Grafo soporte al grafo cuya
ampliación (añadiendo aristas) nos permite
obtener el grafo de Moore.
• El etiquetado que usemos no es relevante
para el proceso (los vértices son
indistinguibles en cada nivel).
Construcción de un grafo de Moore
• Grafo de Petersen
Construcción de un grafo de Moore
• Grafo soporte de Hoffman-Singleton
Modelización por Matrices
• La matriz de adyacencia asociada al grafo soporte
se denomina Forma canónica.
• Una matriz siempre puede expresarse de forma
canónica con permutaciones fila-columna.
Forma canónica
Forma canónica
• Dada una matriz de adyacencia A, existe una
permutación P tal que
A’ = Pt · A · P
donde A’ es forma canónica.
• Propiedades:
– A’ + (A’)2 = (∆-1)·I + J
– A’ tiene exactamente ∆ unos en cada fila
– A’ es binaria nxn con n = ∆2 + 1 y diagonal nula
Forma canónica
• Grafo de Petersen
Forma canónica
• Grafo de Hoffman-Singleton
Problema de los 36 oficiales
• Problema de cuadrados latinos r-ortogonales
propuesto por Euler.
• “Tenemos 36 oficiales de 6 rangos distintos en 6
regimientos distintos. ¿Pueden disponerse los 36
oficiales en un cuadrado de forma que en cada
fila y en cada columna haya un oficial de cada
rango y de cada regimiento?”
…