1. CONTROLADOR PID CONTINUO

Identificación y Control Adaptivo –Martín Di Blasi 2006
TEMA 4 AUTOSINTONIA DE PID
1. CONTROLADOR PID CONTINUO....................................................1
2. CONTROLADOR PID DISCRETO ....................................................2
1. CONTROLADOR PID CONTINUO
t
⎛
1
de ⎞
u (t ) = K p ⎜ e(t ) + ∫ e(τ )dτ + Td
⎟
Ti 0
dt ⎠
⎝
Gc (s ) =
2
u(s ) Kd K ps + K ps + K p / Ti
=
e(s )
s
(1.1)
(1.2)
Para procesos que pueden aproximarse mediante el siguiente modelo:
GP (s ) =
K
exp − Ls
1 + Ts
(1.3)
Los parámetros de este modelo aproximado pueden obtenerse a partir de un ensayo
de respuesta al escalón a lazo abierto:
Las reglas de sintonía de Ziegler-Nichols para procesos en los cuales 0.1 ≤
Kp
P
Ti
L
≤ 0.6 :
T
Td
1
a
[ICA-06] TEMA 4 AUTOSIN PID 1 de 5
Identificación y Control Adaptivo –Martín Di Blasi 2006
PI
0.9
a
1.2
a
PID
siendo a = K
3L
2L
L/2
L
.
T
También es posible determinar ciertos parámetros a lazo cerrado del proceso a
controlar mediante su control a lazo cerrado en un esquema denominado de relee
oscilante:
Este esquema producirá una oscilación constante en la salida de amplitud a y
4d
periodo Tu (periodo último). Definiendo la ganancia última como K u =
, Ziegleraπ
Nichols determinaron las siguientes sintonías:
Kp
Ti
P
0.5 K u
PI
0.4 K u
0.8Tu
PID
0.6 K u
0.5Tu
Td
0.12Tu
2. CONTROLADOR PID DISCRETO
Es posible implementar el PID continuo (1.1) mediante un algoritmo digital en un
controlador, para lo cual se puede discretizar de diversas maneras:
Regla de integración rectangular:
⎡
T
u[n ] = K p ⎢e[n ] + 0
Ti
⎣
D
⎤
0
⎦
T
∑ e[k − 1] + T ( e[n] − e[n − 1])⎥
n
k =0
(2.1)
[ICA-06] TEMA 4 AUTOSIN PID 2 de 5
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Esta expresión, que requiere de la suma acumulativa de términos pasados del error,
puede simplificarse mediante la siguiente manipulación algebraica:
⎡
T
u[n − 1] = K p ⎢e[n − 1] + 0
Ti
⎣
n −1
D
⎤
0
⎦
T
∑ e[k − 1] + T ( e[n − 1] − e[n − 2])⎥
k =0
(2.2)
Restando (2.2) de (2.1) y operando se llega al denominado algoritmo de velocidad:
∆u[n ] = u[n ] − u[n − 1] = q0e[n ] + q1e[n − 1] + q2e[n − 2]
GR ( z −1 ) =
u( z −1 ) q0 + q1z −1 + q2 z −2
=
1 − z −1
e( z −1 )
⎛ T ⎞
q0 = K p ⎜ 1 + d ⎟
⎝ T0 ⎠
⎛
T T ⎞
q1 = −K p ⎜ 1 + 2 d − 0 ⎟
T0 Ti ⎠
⎝
T
q2 = K p d
T0
(2.3)
Regla de integración trapezoidal:
⎡
⎤
T ⎛ e[0] + e[n ] n −1
⎞ T
+ ∑ e[k ] ⎟ + D ( e[n ] − e[n − 1] ) ⎥
u[n ] = K p ⎢e[n ] + 0 ⎜
Ti ⎝
2
k =0
⎠ T0
⎣
⎦
(2.4)
Luego de manipular algebraicamente la expresión anterior de manera similar al caso
anterior, es posible llegar a la siguiente expresión:
∆u[n ] = u[n ] − u[n − 1] = q0e[n ] + q1e[n − 1] + q2e[n − 2]
GR ( z −1 ) =
u( z −1 ) q0 + q1z −1 + q2 z −2
=
1 − z −1
e( z −1 )
⎛
T
T ⎞
q0 = K p ⎜ 1 + 0 + d ⎟
⎝ 2Ti T0 ⎠
⎛
T
T ⎞
q1 = −K p ⎜ 1 + 2 d − 0 ⎟
T0 2Ti ⎠
⎝
T
q2 = K p d
T0
(2.5)
3. SINTONÍA POR ASIGNACIÓN DE POLOS
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En este método, la especificación de diseño para el sistema controlado a lazo
cerrado es su transferencia equivalente.
GLC =
3.1
GRGP
1 + GRGP
SISTEMA DE PRIMER ORDEN CONTINUO
Se desea controlar una planta de primer orden mediante un PI:
GP (s ) =
⎛
1 ⎞
GR (s ) = K c ⎜ 1 +
⎟
1 + Tps
⎝ Ti s ⎠
Kp
(3.1)
Se desea que el comportamiento a lazo cerrado corresponda a un sistema de
segunda orden. Utilizando el polinomio característico del sistema a lazo cerrado:
s2 +
(1 + K pK c )
Tp
s+
K pK c
TT
i P
s 2 + 2ξωs + ω 2
2ξωTP − 1
⎧
⎪K c =
Kp
⎪
⇒⎨
⎪T = 2ξωTP − 1
⎪⎩ i
ω 2TP
3.2
(3.2)
SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN DISCRETO
Se desea controlar una planta de segundo orden mediante un PID para lograr un
comportamiento a lazo cerrado como el especificado a continuación:
GP ( z −1 ) =
b1z −1
1 − a1z −1 − a2 z −2
GR ( z −1 ) =
q0 + q1z −1 + q2 z −2
1 − z −1
1 + GPGR = (1 − pz −1 )3 (3.2.1)
Operando es posible demostrar que:
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q0 =
1
3
(1 + a1 − )
b1
p
q1 =
1
3
(a2 − a1 + 2 )
b1
p
q2 = −
(3.2.2)
1
1
(a2 + 3 )
b1
p
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