1 análisis comparativo de controladores para un mini

ANÁLISIS COMPARATIVO DE CONTROLADORES PARA UN
MINI-HELICÓPTERO DE 2 GDL
Marcela Jamett Domínguez1, Carlos Navarro Fariña2
1
Grupo de Automática, Departamento de Ingeniería Eléctrica. Universidad de Santiago de Chile.
Av. Ecuador 3519, Estación Central. Santiago de Chile. Chile.
1
[email protected]; [email protected]
RESUMEN
Se presenta el estudio sobre los modelos fenomenológicos involucrados en el movimiento de un
helicóptero. Una estrategia de control clásica se usa como base de comparación de controladores
avanzados: adaptivos, neuronales y su combinación. El análisis se desarrolla mediante simulaciones
computacionales y cálculos estadísticos, bajo las mismas condiciones de operación. Se destaca la
estabilidad, considerada una característica relevante para el vuelo de un helicóptero.
PALABRAS CLAVES: Sistemas de Control Adaptivo, Redes Neuronales, software de aplicación –
desarrollo, helicópteros.
CONTROLLERS COMPARATIVE ANALYSIS FOR
A MINI-HELICOPTER OF 2 DOF
ABSTRACT
A study on phenomenological models involved in the movement of a helicopter is presented in this work,
A classical control strategy is used as basis for comparison with advanced controllers: adaptive, neural
controllers and their combination. The analysis is developed through computer simulations and statistical
calculations, under the same operating conditions. It emphasizes stability, a feature considered relevant to
the flight of a helicopter.
KEYWORDS: Adaptive Control Systems, Neural Networks, application software
helicopters.
– development,
1. INTRODUCCIÓN
El helicóptero es una aeronave que posee importantes usos en nuestra sociedad actual, entre los que se
encuentra: el transporte de personas, uso de emergencias hospitalarias, extinción de incendios, control de
tráfico y acceso a un sinfín de otros lugares difíciles de llegar por vías terrestres o acuáticas. Los avances
en el control de vuelo de un helicóptero se han dirigido principalmente hacia la ayuda en el pilotaje,
donde los sistemas de control automático asumen un papel primordial, por su complejidad, no linealidad y
acoplamientos de sus ejes de movimiento.
En este artículo se aborda el problema del control de un helicóptero de dos grados de libertad (2 GDL), a
partir de un modelo simplificado, el Twin Rotor Mimo System (TRMS), elaborado por Feedback
Instrument Ltd [1]. Este sistema simula en gran medida el comportamiento de un helicóptero,
considerando simplificaciones en el control, tales como:
El helicóptero es un sistema de 6 GDL, mientras el TRMS tiene 2 GDL.
En un helicóptero, el control se realiza por el cambio de paso del ángulo de ataque de las palas de
los rotores y por el movimiento lateral y longitudinal de la cabeza del rotor principal, mientras que
en el TRMS se realiza el control por la variación de la velocidad de rotación de los rotores.
1
En los trabajos realizados por [2], [3], [4], [5], [6], y [7] se han desarrollado algunas variantes en la
modelación del helicóptero de 2 GDL elaborado por Feedback Instrument Ltd. o bien en la metodología
del TRMS, a través de modelos tipo caja negra o por variables de estado, siendo un buen punto de partida
para el control del sistema.
Las investigaciones desarrolladas por [2], [1], [8], [9] y [10] se utilizan para una comparación teórica en
cuanto a la estabilidad, comportamiento y control del TRMS. En particular, en [1] y [11] se trabaja sobre
el mismo sistema que se ocupa en este artículo y el controlador PID se utiliza como punto de
comparación para las pruebas realizadas.
2. ETAPAS DEL ESTUDIO
Para diseñar, desarrollar y simular esquemas combinados de control adaptativo y redes neuronales para un
helicóptero con 2 GDL, se realiza:
Estudio de estrategias de control avanzadas para el sistema propuesto, versus estándares.
Análisis de dificultades en el control del prototipo.
Evaluación de la aplicación de redes neuronales en el control del TRMS.
Combinación de controladores avanzados con redes neuronales y control adaptativo en el TRMS.
Simulación de modelos de control combinados: adaptivo y redes neuronales, aplicados al TRMS.
Comparaciones en los distintos modelos estudiados para el sistema multivariable.
3. DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA TRMS
El sistema multivariable de dos rotores acoplados TRMS cumple la misión de simular la dinámica de un
helicóptero. Este sistema se basa en un pivote que permite una rotación en los ejes vertical y horizontal:
un rotor principal y un rotor de cola respectivamente, lo que se ilustra en la figura 3.1.
Figura 3.1: Estructura del simulador de un helicóptero
Obsérvese que existen dos entradas que corresponden al voltaje aplicado en cada uno de los motores de
corriente continua (naranjo), y cuatro salidas que corresponden a los ángulos de inclinación para cada eje
y las velocidades de rotación de cada uno de los motores (rojo y amarillo). Además, en la figura 3.1 se
aprecia la nomenclatura utilizada en el resto del trabajo:
αv: Ángulo de elevación del sistema (eje vertical). Wt : Velocidad angular del rotor de cola.
αh: Ángulo de rotación del sistema (eje horiz.).
uv : Voltaje (normalizado) para el rotor principal.
Wm: Velocidad angular del rotor principal.
uh : Voltaje (normalizado) para el rotor de cola.
2
Las hipótesis simplificadoras del vuelo de helicópteros que se usan para el modelo fenomenológico son:
La dinámica de las hélices se puede expresar como ecuaciones diferenciales de primer orden.
La fricción del sistema se considera del tipo viscosa.
Para terminar, los modelos vertical y horizontal se obtienen a partir de la segunda ley de Newton, que
hace referencia a:
(3.1)
; ϵ, en donde:
Mi : suma de momentos de torque en el plano i.
Ji : suma de los momentos de inercia en el plano i.
αi
: Ángulo para el plano i.
Modelo Fenomenológico
La relación que existe entre el voltaje de entrada que se le aplica a cada uno de los motores y la fuerza de
empuje producida se presenta en la figura 3.2. Ésta se compone de dos etapas:
- Relación entre voltaje (uv,uh) y velocidad angular (ωm, ωt),
- Relación entre velocidad angular y la fuerza de empuje (Fv, Fh)
u
v
u
h
1
Tmr s + 1
1
Ttr s + 1
u
vv
Pv (uvv )
m
ω
u
hh
ω
Ph (uhh )
t
Fv (ωm )
F
Fh (ωt )
F
v
h
Figura 3.2: Modelos de entrada vertical y horizontal
La velocidad angular se obtiene en dos partes: una parte dinámica de primer orden y una estática
polinomial, relacionadas a través de uvv y uhh. La relación entre velocidad y fuerza es un polinomio que
depende exclusivamente del modelo y forma de la hélice que se ocupe, que para este caso, se utiliza las
obtenidas experimentalmente.
Modelo vertical
Esquemáticamente, las variables en el rotor principal se relacionan como se muestra en la figura 3.3.
Figura 3.3: Esquema de los momentos de fuerza en el eje vertical
El primer momento Mv1, se expresa como
3
௧
௧௥ ௧௦ ௧ 2
௩ ௠
௩ଵ ௠௥ ௠௦ ௠
2
௕ ௕
௖௕
௖௕
௩
2
donde:
Mv1: Torque de retorno para la gravedad.
mmr: Masa del motor CC con el rotor principal.
mm: Masa del rayo pivote-motor principal.
mtr: Masa del motor CC con el rotor de cola.
mt : Masa del rayo pivote-motor de cola.
mcb: Masa del contrapeso.
mb: Masa del rayo pivote-contrapeso.
(3.2)
mms: Masa del escudo principal.
mts: Masa del escudo de cola.
lm: Largo del rayo pivote-motor principal.
lt : Largo del rayo pivote-motor de cola.
lb: Largo del rayo pivote-contrapeso.
lcb: Distancia pivote-contrapeso.
g: Aceleración de gravedad.
Los momentos Mv2 y Mv4, se determinan de acuerdo a la fuerza de empuje producida por el rotor principal
y momento de roce asociado a la velocidad de giro como lo presenta [11], quedando expresado como
(3.3)
donde:
wm: Velocidad angular del rotor principal.
: Fuerza propulsora del rotor principal.
Fv
Ωv: Velocidad angular alrededor del eje vertical.
: Constante de roce en el plano vertical.
kv
(3.4)
El momento de fuerzas centrífugas hace referencia a Mv3 que se relaciona al movimiento vertical alrededor
del eje que corresponde a
! (3.5)
donde:
Ωh: Velocidad angular alrededor del eje horizontal.
" ೟ # #
$ %
"
೘
"
್
# & #
$ %
% # % $
Modelo Horizontal
Para el modelo horizontal de la figura 3.4., se considera un sistema en el que se modela el efecto de los
cables que poseen físicamente como un péndulo virtual.
Figura 3.4: Momentos de fuerza para el modelo horizontal
4
Realizando los mismos procedimientos hechos para el plano vertical, el momento Mh1 puede ser
expresado como
(3.6)
'( ! Los parámetros de la ecuación (3.6): D, E y F son determinadas experimentalmente en [1].
Los momentos Mh2 y Mh4 son similares a los del eje vertical, luego
)* )
(3.7)
(3.8)
Para Mh3 se hace referencia al momento producido por el rotor principal y se puede expresar como
) (3.9)
Los momentos de inercia al eje vertical se consideran constantes, ya que son independientes de la
posición del sistema y son calculados experimentalmente según lo descrito en [5] y [1].
Luego, el modelo completo del TRMS queda como
+ +
)
,- ! . 0.5 ∗ ! 2
+ +
)
donde:
Jtr
: Momento de inercia de motor-hélice de cola.
Jmr: Momento de inercia de motor-hélice principal.
Sv
: Momento angular en el plano vertical.
Sh
: Momento angular en el plano horizontal.
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
4. DISEÑO DEL EXPERIMENTO
Para el modelo presentado, se propone realizar un experimento que contemple varios controladores para
regular el vuelo del TRMS, partiendo con el más simple: el PID y luego con algunos que han mostrado
mejoras según [2]: PID adaptivo, para finalizar con la propuesta original de este artículo: control
adaptivo-neuronal. Para alcanzar este objetivo se realizan dos tipos de pruebas, explicadas a continuación.
Prueba 1: Seguimiento
Sirve para estudiar la capacidad de seguimiento del TRMS. Se consideran referencias de acuerdo a las
capacidades del sistema, tanto para los ángulos deseados como en los tiempos de estabilización, tomando
en cuenta los períodos de respuesta de dicho sistema. Las variaciones de ángulos aplicadas están dentro
de las limitaciones físicas del TRMS, permitiendo una adecuada comparación.
Prueba 2: Respuesta ante perturbaciones
El estudio del desempeño de los controladores frente a perturbaciones en el sistema contempla además
ruido agregado, lo que le da más complejidad al TRMS, pudiendo apreciarse cómo responden los
controladores ante cambios inesperados en el sistema.
Evaluación
La comparación de los esquemas de control se realiza sobre la base de indicadores cuantitativos y
cualitativos, tales como errores promedios, dispersión, adecuación, estabilidad, entre otros.
5
El primer indicador es la raíz cuadrática media del error (Root Mean Square (RMS), en sus siglas en
inglés). Este cálculo es independiente para cada eje de rotación, interpretándose como
∑- .
4+ 5
,
78, ∑ El número de muestras n es considerado igual para todo el análisis.
(4.1)
Otro índice de desempeño es la desviación estándar residual (Residual Standard Deviation (RSD), en su
sigla en inglés), que permite apreciar la sensibilidad del sistema. Igual que en el caso interior, este cálculo
es independiente de cada eje y se formula como
4+' 5
∑- .
,
9
78, (4.2)
Por último, otro índice de desempeño se utilizado es el índice de adecuación (Adequation Index (AI), en
su sigla inglés). Se utiliza este índice para comparar las magnitudes de los coeficientes de correlación
observados con la magnitud de correlación parcial. El AI se formula como la ecuación (4.3)
∑- .
(4.3)
1 78, ,
∑-; ′; ; ′;.
donde:
αj’ : Es la diferencia entre la salida obtenida y el valor medio de todas ellas.
αrefj’: Es la diferencia entre la referencia deseada y el valor medio de la salidas obtenidas.
5. DESEMPEÑO DE CONTROLADORES
Controlador PID
Al ser un controlador inherentemente mono-variable, el PID convencional que se ocupa, tiene dos lazos
de control separados. Sin embargo, esta independencia es poco realista, luego se propone el esquema de
control de tipo complejo de la figura 5.1, en la cual hay interacciones entre los ejes.
e
v
PID
u
vv
v
+
PID
vh
e
h
PID
u
hv
h
+
PID
hh
Figura 5.1: Esquema de control PID complejo
Los parámetros de los controladores PID convencional y complejo se obtienen según el algoritmo de
Gauss-Seidel, obteniéndose
6
Tabla 5.1: Parámetros de los controladores PID
PIDh
PIDv
PIDhh
PIDhv
PIDvh
PIDvv
P
0,25
0,38
0,3
0,23
0,45
0,54
I
0,13
1,0
0,12
0,2
0,05
0,98
D
0,3
1,3
0,5
0,5
0,3
1,98
Seguimiento de una referencia cambiante. En la figura 5.2 se aprecia el comportamiento del sistema,
mediante un controlador convencional ante una señal de seguimiento. En él se aprecia sus reacciones ante
cambios de tipo escalón durante la simulación.
Figura 5.2: Simulación del TRMS con PID en ejes horizontal y vertical
Respuesta ante perturbaciones. La respuesta frente a perturbaciones de este controlador se presenta en la
figura 5.3. Con respecto al ruido introducido, se aplica inicialmente una perturbación al eje vertical a
partir de los 90 (s). Posteriormente, a los 150 (s) se le añade una perturbación de la misma naturaleza
aplicada en el rotor principal (eje vertical).
Figura 5.3: Respuesta ante perturbación con PID (ejes vertical y horizontal)
Controlador Adaptivo
El método utilizado en este artículo está basado en el uso de los modelos de sensibilidad para adaptar los
parámetros en la dirección correcta. La deducción de este método parte con el planteamiento de buscar el
mínimo cuadrático medio del error
1 (5.1)
Т = > ??
2 Donde el e1 = αj – αj referencia y el índice T se evalúan sobre el período T fijo, para el cual los parámetros
quedan constantes. En el instante (t+T) los parámetros ajustados decrecen en la dirección de T.
7
@ = @ A
BТ
1
B> ?
@ A D 2> ?
?
B@
2 B@
(5.2)
De la ecuación (5.2), A representa la ganancia de adaptación y teniendo en cuenta que:
B> ? B
B@
B@
(5.3)
De las ecuaciones 5.1 y 5.2 considerando que T tiende a cero, se obtiene la ley de adaptación:
Donde la expresión de
೛ೝ೚೎೐ೞ೚
B
@
A> B@
(5.4)
, representa la sensibilidad de la salida del TRMS ante la variaciones en @.
La ley de adaptación es la denominada la regla MIT [12], presentada esquemáticamente en la figura 5.4.
Figura 5.4: Esquema estándar del Controlador Adaptivo MIT
Se trabaja con un PID como base del controlador primario, luego los parámetros a determinar son
@ )ೕ )ೕ )ೕ ,
j ϵ [h,V]
(5.5)
Reemplazando la ecuación 5.5 en 5.4, se obtiene la ley de adaptación para los ejes del TRMS.
)*
G ണ J
F )* ണ I Aೕ Aೕ Aೕ ∗ -1> . 111 ∗ , j ϵ [h,V]
ೕ
F I
*
)
E H
(5.6)
ണ
De 5.6, ej es la diferencia entre la salida del modelo de referencia y la salida del sistema.
Para el esquema planteado, el modelo de referencia está colocado en paralelo con el proceso. Se escoge
del tipo estándar de segundo orden. Se escoge para el eje vertical K=0.91 y L =0.3. Mientras que para el
eje horizontal se escoge K=0.82 y L =0.41. En consecuencia los modelos quedan
_
1
_
1
P
(5.7)
M_
6 4 1
M_
11 6 1
Para la sintonización de los parámetros Γ, se realizan de tal forma que el sistema sea estable y posea un
buen comportamiento transitorio, logrando que siga la referencia deseada. Estos parámetros se muestran
en la tabla 5.2.
Tabla 5.2: Parámetros Γ para el controlador
Eje
Horizontal
Vertical
૚
0,35
૛
0,1
1,25
0,3
8
૜
0,4
1,2
Seguimiento de una referencia cambiante. A continuación se presentan las respuestas del TRMS con el
PID Adaptivo frente a la tarea de seguimiento (véase figura 5.5).
Figura 5.5: Simulación del TRMS con PID Adaptable en ejes horizontal y vertical
Respuesta frente a perturbaciones. En la figura 5.6 se presentan los resultados obtenidos del sistema
controlado frente a perturbaciones en ambos ejes, considerando las posibles interacciones entre ellos.
Figura 5.6: Respuesta frente a perturbaciones en ejes vertical y horizontal con PID Adaptable
Controlador Adaptativo Neuronal
De un PID, sus parámetros kp, ki y kd, son variables para la creación de una red que se ajusta según la
respuesta entregada ante distintas situaciones. Se espera que sea suave ante cambios bruscos en su
referencia, con el objeto que el sistema no se vea forzado a presentar oscilaciones innecesarias. El
esquema con redes neuronales se basa en el uso del controlador adaptivo MIT, en el que la red se ocupa
en lugar del bloque “Ajuste de parámetros del controlador” (véase figura 5.4).
El esquema neuronal realizado en este trabajo, contempla dos opciones: una red backpropagation (BP) y
una red layer recurrent (LR). Ambas con la misma arquitectura y especificaciones: tres entradas, igual
número de salidas y una capa oculta con treinta elementos. Las funciones de activación son sigmoidales a
excepción de la capa de salida que es lineal.
Seguimiento de una referencia cambiante. En las figuras 5.7 y 5.8 se muestran paralelamente las
respuestas con cada una de las redes propuestas: en azul para la red BP y en verde para la LR.
Figura.5.7: Simulación adaptivo-neuronal del eje horizontal de las redes BP y LR
9
Figura 5.8: Simulación adaptivo-neuronal del eje vertical de las redes BP y LR
Respuesta frente a perturbaciones. En la figura 5.9 se presentan los resultados obtenidos del controlador
con red neuronal BP (azul) frente a perturbaciones en ambos ejes, considerando las posibles interacciones
entre ellos, mientras que en la figura 5.10 la de red neuronal LR (rojo).
Figura 5.9: Respuesta frente a perturbaciones en ejes vertical y horizontal – red BP
Figura 5.10: Respuesta frente a perturbaciones en ejes vertical y horizontal – red LR
6. COMPARACIÓN ANALÍTICA Y CUANTITATIVA
En la figura 5.11 (siguiente página) se aprecian las respuestas del sistema con los distintos controladores
estudiados frente a un cambio en la referencia de los ejes y ante una perturbación.
Como puede apreciarse, tanto el PID clásico como el adaptativo convencional, presentan comportamiento
subamortiguado. Lo contrario que ocurre con los controladores adaptivos-neuronales que producen
respuestas mucho más suaves. Adicionalmente se tomaron los indicadores cuantitativos explicados en la
sección 4.3, generándose la tabla 6.1 (página siguiente).
A partir de la tabla 6.1, se observa que el PID presenta los mejores índices en comparación a los demás
controladores estudiados, lo que se debe principalmente a que el controlador adaptativo tiene un tiempo
de respuesta más lento, similar a lo que ocurre con los controladores adaptivos-neuronales. Sin embargo,
es importante notar que las diferencias entre el mejor y el peor indicador no son significativas.
10
Figura 5.11: Comparación de los controladores para ejes horizontal y vertical
Tabla 6.1: Indicadores de error de los controladores
Eje
Indicador
Horizontal
Vertical
Eje
Horizontal
Vertical
RMS
RSD
IAE
RMS
RSD
IAE
Ind.
RMS
RSD
IAE
RMS
RSD
IAE
Seguimiento
Adapt.
Adp-BP
6.729x10-2
5.710x10-2
1.345x10-2
1.140x10-2
8.313x10-1
8.114x10-2
4.501x10-2
6.438x10-2
1.343x10-2
1.901x10-2
9.928x10-1
9.892x10-1
Regulación
Adapt.
Adp-BP
1.878x10-1
5.416x10-1
5.844x10-2
2.124x10-2
2.591x10-5
7.923x10-6
4.501x10-2
1.527x10-1
1.343x10-2
7.816x10-2
9.928x10-1
2.395x10-2
PID
3.910x10-2
7.99x10-3
1.308x10-1
6.204x10-2
2.460x10-2
4.712x10-1
PID
5.710x10-2
1.140x10-2
8.114x10-1
1.331x10-2
6.672x10-3
3.216x10-2
Adp-LR
6.171x10-2
1.231x10-2
7.107x10-2
6.728x10-2
1.984x10-2
9.888x10-1
Adp-LR
3.446x10-1
1.157x10-1
1.340x10-6
5.756x10-2
2.899x10-2
6.756x10-2
7. CONCLUSIÓN
El diseño y desarrollo de distintos esquemas de control para el TRMS permite concluir que – a pesar de
sus no linealidades y acoplamientos – el modelo de control basado en PID es el más apropiado, siempre y
cuando se integren mejoras como la adaptabilidad y la robustez frente a incertidumbres, lo que se logran
en este trabajo mediante esquemas de control adaptivo y el uso de redes neuronales BP y LR.
El PID clásico es el punto de partida en la comparación por su facilidad de ajuste e implementación, pero
por su naturaleza monovariable, en el sistema trabajado presentó complicaciones al no considerar las
interacciones entre los ejes y al tener parámetros fijos, su sintonía resultó ser un procedimiento crítico,
provocando grandes inestabilidades si se encontraba ligeramente alejado de las condiciones ideales.
El modelo adaptivo MIT permite considerar el sistema multivariable y el cálculo de los parámetros del
PID-adaptivo resulta más apropiado para el TRMS, pues permite la compensación de las interacciones
entre los ejes, lo que se manifiesta con menores oscilaciones en la respuesta del sistema. Sin embargo el
tiempo de respuesta de este tipo de controlador es más largo que el del un PID clásico.
Los resultados fueron muy satisfactorios para los controladores adaptivos-neuronales, pues suponen el
sistema multivariable y manejan las incertidumbres (el modelo utilizado es sólo una aproximación), lo
que se refleja en un comportamiento suave, sin oscilaciones y rápido. Por último, los indicadores de error,
varianza y adecuación calculados respaldan lo discutido anteriormente.
11
RECONOCIMIENTOS
Los autores de este artículo agradecen el apoyo brindado por:
El Departamento de Investigaciones Científicas y Tecnológicas de la Universidad de Santiago de
Chile, por medio del Proyecto DICYT 060713JD.
El Grupo de Automática, con su constante inspiración e impulso a la investigación científica.
http://www.die.usach.cl.
REFERENCIAS
1. FEEDBACK Instruments Ltd., "Advance teaching manual 1; 33-007- 4M5". Crowborough, Inglaterra.
(1999).
2. Claudio Urrea, “Identification d’un système à rotors jumeaux (Helicoptére) et comparaisons de
commandes multivariables”, Conférence Internationale Francophone d’Automatique (CIFA), Bordeaux,
Francia. (2006).
3. Ting-Kai L. & Jih-Gau J., “A single neuron PID control for Twin Rotor MIMO System”, IEEE
International Conference on Advanced intelligent Mechatronics, pp.186-191. (2009).
4. Rahideh A., Shaheed H.M. & Bajodah A.H., “Adaptive non-linear model inversion control of a Twin
Rotor Multi-input Multi-output system using artificial intelligence”, Journal of Aerospace Engineering,
vol. 221, pp.343-351.(2007).
5. Satapathy A. & Rashmi R., “Modelling of Twin Rotor MIMO system”, Departament of Electrical
Engineering, National Institute of Technology of Rourkela, India. (2010).
6. Maryam J. & Mohammand F., “Adaptive control of Twin Rotor Mimo System Using Fuzzy”, Iran
University of Science and Technology. (2009).
7. Pin-Syuan L., “Adaptive robust control design for a MIMO nolinear Twin Rotor System whith sliding
sector”, Tatung University. (2011).
8. Jih-Gau J., “PID control using presearched genetic algorithms for a MIMO System”, IEEE Trans. on
Systems, Man and Cybernetics, vol. 38, Nº 5, pp.716-727. (2008).
9. Peng Wen & Te Wei L., “Decoupling control of a Twin Rotor MIMO System using robust deadbeat
control technique”, University of Southern Queensland, Australia. (2009).
10. Carmona D. te.al., “Diseño óptimo de controladores PID para sistemas Multivariables”. (2009).
11. Nghia Nguyen H., “Modeling simulation and calibration of Twin Rotor MIMO System”, Universidad
de Catalonia Barcelona. (2007).
12. Rubio F.R. & López M.J., “Control adaptivo y robusto”, Universidad de Sevilla. (1995).
SOBRE LOS AUTORES
Marcela Jamett Domínguez, Doctora en Ciencias de la Ingeniería, mención Automática. USACH, Chile.
Profesor/Investigador Jornada Completa del Departamento de Ingeniería Eléctrica de la USACH.
Miembro IEEE y Grupo de Automática – DIE, USACH.
Carlos Navarro Fariña, Ingeniero Civil en Electricidad. Universidad de Santiago de Chile (USACH).
Ingeniero de Control de Sistemas, BECHTEL.
12