Grup: 2.2.4 Components: Aleix Gimeno Pardina Alèxia Jou Elena

Grup: 2.2.4
Components:
Aleix Gimeno Pardina
Alèxia Jou Elena
Enrique López Rodenas
Exercici 3.1
Flux bidimensional definit per
on K és una constant positiva
a) És compressible el flux?
En primer lloc, sabem que s’ha de complir l’equació de continuïtat i conservació
de la massa:
Com que el problema no fa cap referència en aquest sentit, suposarem que la
densitat no varia amb el temps, la qual cosa és bastant raonable si no estem parlant
de velocitats molt elevades.
Amb les dades que tenim podem calcular la divergència de la velocitat:
Si la divergència de la velocitat és zero, se’ns simplifica l’equació:
Com que la velocitat no és zero, sabem que
incompressible.
b) És irrotacional?
=0, per tant el flux és
És irrotacional.
c) Trobar l’equació general de la funció de corrent i dibuixar les línies de corrent.
Com que el flux és estacionari, no depèn del temps, les línies de corrent són
iguals a la trajectòria.
Obtenim cercles centrats a l’origen. Sentit antihorari.
y
x
d) Velocitat angular intrínseca de la partícula.
La velocitat angular és proporcional al rotacional de la velocitat, el qual és
zero com ja hem vist abans. Per tant, la velocitat de rotació de les partícules és
zero, és a dir que no giren sobre si mateixes.
e) Acceleració de la partícula.
, )
)
, , )
)
,
, , )
, )
,
)
)
)
, )
)
)
,
)
)
)
)
,
)
)
)
)
)
)
f) Demostrad que la circulación del campo de velocidades sobre una línea cerrada,
de forma rectangular, contenida en el plano xy es proporcional a la superficie que
encierra esta línea.
La circulación se define como:
En nuestro caso L será un
rectángulo arbitrario centrado en
el origen i de lados 2a y 2b tal y
como se indica en el dibujo. Para
hallar la circulación trataremos
cada lado por separado, sabiendo
que:
Para el lado 1:
Integrando, y sabiendo que y = -b:
Para el lado 2:
Siendo x = a:
Para el lado 3:
Siendo y = b:
Para el lado 4
Siendo x = -a:
Sumando,
0
Se demuestra que la circulación no es proporcional al área del rectángulo, de
hecho, siempre será cero.