Ejemplo de ecuaciones simultáneas y elásticidad

Estimación de ecuaciones
estructurales
Consideremos la oferta de mano de obra de las trabajadoras casadas que ya forman parte del
mercado laboral. Escribimos el salario ofrecido en función de las horas trabajadas y las
variables habituales de productividad.
– p.
horas=
log(salario)=
α1 log(salario) + β10 + β11 educacion + β12 edad
+β13 hijosm6 + β14 oingresos + ǫ1
α2 horas + β20 + β21 educacion + β22 experiencia
+β23 experiencia2 + ǫ2
edad: es la edad de la mujer en años;
hijosm6: número de hijos menores de 6 años;
oingresos: otros ingresos incluyendo el salario del marido.
Todas las variables excepto horas y salario se suponen
exógenas.
– p.
horas=
α1 log(salario) + β10 + β11 educacion + β12 edad
+β13 hijosm6 + β14 oingresos + ǫ1
log(salario)= α2 horas + β20 + β21 educacion + β22 experiencia
+β23 experiencia2 + ǫ2
¿Qué ecuación está identificada?
– p.
horas=
α1 log(salario) + β10 + β11 educacion + β12 edad
+β13 hijosm6 + β14 oingresos + ǫ1
log(salario)= α2 horas + β20 + β21 educacion + β22 experiencia
+β23 experiencia2 + ǫ2
¿Qué ecuación está identificada?
La ecuación de horas cumple la condición de orden para
la identificación: una variable endógena log(salario) y dos
variables exógenas experiencia y experiencia2 excluidas
de su ecuación.
– p.
horas=
α1 log(salario) + β10 + β11 educacion + β12 edad
+β13 hijosm6 + β14 oingresos + ǫ1
log(salario)= α2 horas + β20 + β21 educacion + β22 experiencia
+β23 experiencia2 + ǫ2
¿Qué ecuación está identificada?
La ecuación de horas cumple la condición de orden para
la identificación: una variable endógena log(salario) y dos
variables exógenas experiencia y experiencia2 excluidas
de su ecuación.
La ecuación de log(salario) cumple la condición de orden
para la identificación: una variable endógena horas y tres
variables exógenas edad, hijosm6 y oingresos que son
posibles VI.
– p.
log(salario)= π20 + π21 educacion + π22 edad + π23 hijosm6
+π24 oingresos + π25 experiencia
+π26 experiencia2 + ν2
La condición de rango se traduce en: π25 6= 0 o π26 6= 0,
algo que podemos contrastar con un test estándar F
(H0 : π25 = π26 = 0).
Para estimar las horas cuando log(salario) es una variable
endógena mediante MC2E. Las variables instrumentales
son las variables exógenas que aparecen en uno y otro
modelo.
– p.
Etapa 1: Estimar la variable log(salario) usando la
ecuación reducida. Comprobar que se satisface la
condición de rango.
\
Etapa 2: Usar log(salario)
para estimar la ecuación
estructural de horas
Coeficientes error estándar
Intercepto
2225.662
310.328
log(salario)
1639.556
254.163
educacion
-183.751
31.920
edad
-7.806
5.065
hijosm6
-198.154
98.802
oingresos
-10.170
3.573
– p.
Si queremos estimar log(salario):
horas=
π20 + π21 educacion + π22 edad + π23 hijosm6
+π24 oingresos + π25 experiencia
+π26 experiencia2 + ν2
La condición de rango se traduce a:
– p.
Si queremos estimar log(salario):
horas=
π20 + π21 educacion + π22 edad + π23 hijosm6
+π24 oingresos + π25 experiencia
+π26 experiencia2 + ν2
La condición de rango se traduce a: π25 6= 0 o π26 6= 0, algo
que podemos contrastar con un test estándar F
(H0 : π23 = π24 = 0).
– p.
Si queremos estimar log(salario):
horas=
π20 + π21 educacion + π22 edad + π23 hijosm6
+π24 oingresos + π25 experiencia
+π26 experiencia2 + ν2
La condición de rango se traduce a: π25 6= 0 o π26 6= 0, algo
que podemos contrastar con un test estándar F
(H0 : π23 = π24 = 0).
Para estimar las log(salario) cuando horas es una variable
endógena mediante MC2E. Las variables instrumentales
son las variables exógenas que aparecen en uno y otro
modelo.
– p.
Etapa 1:
– p.
Etapa 1: Estimar la variable horas usando la ecuación
reducida.
– p.
Etapa 1: Estimar la variable horas usando la ecuación
reducida.
Etapa 2: Usar los valores estimados de horas, es decir
\ para estimar la ecuación estructural de log(salario)
horas
– p.
Etapa 1: Estimar la variable horas usando la ecuación
reducida.
Etapa 2: Usar los valores estimados de horas, es decir
\ para estimar la ecuación estructural de log(salario)
horas
Intercepto
horas
educacion
experiencia
experiencia2
Coeficientes error estándar
-0.656
0.338
0.00013
0.00025
0.110
0.016
0.035
0.019
-0.00071
0.00045
– p.
Los modelos de ecuaciones simultáneas pueden tener
más de dos ecuaciones.
y1 = α12 y2 + α13 y3 + β1 w1 + ǫ1
y2 = α21 y1 + β21 w1 + β22 w2 + β23 w3 + ǫ2
y3 = α32 y2 + β31 w1 + β32 w2 + β33 w3 + β34 w4 + ǫ4
¿Cuáles de estas ecuaciones se pueden estimar?
– p.
Los modelos de ecuaciones simultáneas pueden tener
más de dos ecuaciones.
y1 = α12 y2 + α13 y3 + β1 w1 + ǫ1
y2 = α21 y1 + β21 w1 + β22 w2 + β23 w3 + ǫ2
y3 = α32 y2 + β31 w1 + β32 w2 + β33 w3 + β34 w4 + ǫ4
¿Cuáles de estas ecuaciones se pueden estimar?
La ecuación de y3 tiene una variable endógena pero no
hay VI para y2 . Luego esta ecuación no se puede estimar
consistentemente.
La ecuación de y1 tiene dos variables endógenas (y2 , y3 ) y
en el sistema hay 3 variables que podrían ser
instrumentos para ellas (w2 , w3 y w4 ). Por lo tanto esta
ecuación supera la condición de orden.
– p.
En cualquier MES, una ecuación cumple
la condición de orden para la identificación si el número
de variables exógenas excluidas de la ecuación es
por lo menos igual a su número de variables endógenas.
– p.
En cualquier MES, una ecuación cumple
la condición de orden para la identificación si el número
de variables exógenas excluidas de la ecuación es
por lo menos igual a su número de variables endógenas.
y1 = α12 y2 + α13 y3 + β1 w1 + ǫ1
y2 = α21 y1 + β21 w1 + β22 w2 + β23 w3 + ǫ2
y3 = α32 y2 + β31 w1 + β32 w2 + β33 w3 + β34 w4 + ǫ4
¿Supera la segunda ecuación la condición de orden?
– p.
En cualquier MES, una ecuación cumple
la condición de orden para la identificación si el número
de variables exógenas excluidas de la ecuación es
por lo menos igual a su número de variables endógenas.
y1 = α12 y2 + α13 y3 + β1 w1 + ǫ1
y2 = α21 y1 + β21 w1 + β22 w2 + β23 w3 + ǫ2
y3 = α32 y2 + β31 w1 + β32 w2 + β33 w3 + β34 w4 + ǫ4
¿Supera la segunda ecuación la condición de orden?
Sí, porque tiene una sola variable endógena y1 y hay una
variable exógena z4 que está excluida de la segunda
ecuación
– p.
y1 = α12 y2 + α13 y3 + β1 w1 + ǫ1
y2 = α21 y1 + β21 w1 + β22 w2 + β23 w3 + ǫ2
y3 = α32 y2 + β31 w1 + β32 w2 + β33 w3 + β34 w4 + ǫ4
¿Es la condición de orden condición suficiente
para la identificación del MES?
Si β34 = 0 entonces w4 no apareceria en el sistema, es
decir no está correlada con y1 ni con y2 , ni con y3 .
Si β34 = 0 entonces la segunda ecuación no está
identificada
La ecuación primera está sobreidentificada
La ecuación segunda está exactamente identificada
La ecuación tercera está subidentificada
– p. 1
Solo las ecuaciones que están identificadas
(o sobreidentificadas) pueden estimarse mediante MC2E
– p. 1
Solo las ecuaciones que están identificadas
(o sobreidentificadas) pueden estimarse mediante MC2E
y1 = α12 y2 + α13 y3 + β1 w1 + ǫ1
y2 = α21 y1 + β21 w1 + β22 w2 + β23 w3 + ǫ2
y3 = α32 y2 + β31 w1 + β32 w2 + β33 w3 + β34 w4 + ǫ4
– p. 1
Solo las ecuaciones que están identificadas
(o sobreidentificadas) pueden estimarse mediante MC2E
y1 = α12 y2 + α13 y3 + β1 w1 + ǫ1
y2 = α21 y1 + β21 w1 + β22 w2 + β23 w3 + ǫ2
y3 = α32 y2 + β31 w1 + β32 w2 + β33 w3 + β34 w4 + ǫ4
Asumiendo que β22 6= 0 o β23 6= 0 o β34 6= 0 podemos
estimar y1 mediante MC2E
Asumiendo que β34 6= 0 podemos estimar y2 mediante
MC2E.
No podemos estimar y3 porque la ecuación no está
identificada
– p. 1
– p. 1
Elasticidad es un concepto que se usa en economía para
explicar la relación entre dos variables.
Si la variación porcentual de la variable dependiente y es
mayor a la variable independiente x, se dice que la
relación es elástica, ya que la variable dependiente y
varía en mayor cantidad a la de la variable x
Al contrario, si la variación porcentual de la variable x es
mayor a la de y , la relación es inelástica.
Si la relación es inelástica entonces la modificación que la
variable x hace sobre la variable y es pequeña en
términos porcentuales.
Si la relación es elástica entonces la modificación de x
sobre y es importante.
– p. 1
∆y ∂ log(y) x∂y ∆ log(y) y E(y, x) = ∂ log(x) = y∂x Discreto E(y, x) = ∆ log(x) = ∆x x
Las relaciones entre variables de acuerdo a su elasticidad
E(x,y):
1. Elástico: (E(y,x)> 1).
2. Inelástico: (0<E(y,x)<1).
3. Unitario: (E(y,x)= 1).
– p. 1
Por ejemplo, el pan de harina de trigo es un producto
típicamente inelástico en la cultura occidental, ya que es
considerado un artículo de primera necesidad, de tal
manera que, aunque el precio del mismo subiera
drásticamente, la demanda no se modificaría en la misma
medida, mientras que bajar su precio no supondría un
aumento de la demanda.
Si nos encontramos ante un producto inelástico, sabemos
que tenemos un amplio margen de subida de precios, y
que una bajada de precios no serviría de nada.
Si nos encontramos ante un precio elástico, sabemos que
una bajada de precios disparará la demanda, y por lo
tanto dará mejores resultados globales, mientras que una
subida de precios puede suponer una caída súbita en las
ventas.
– p. 1
\
log(salario)
= 4.822 + 0.257 log(ventas)
El coeficiente estimado de log(ventas) es la elasticidad
estimada de salario con respecto a ventas. Implica que el
aumento del 1% de las ventas conlleva que el salario del
director se incrementa en 0.257 por ciento.
E(salario, ventas) =
∆ log(salario)
∆ log(ventas)
=
∆salario
salario
∆ventas
ventas
= 0.257/1 < 1
inelástico.
– p. 1
\ = 2225.66 + 1639.56 log(salario) − 183.75educacion
horas
−7.81edad − 198.15hijosm6 − 10.17oingresos
\ ≈ 1640∆ log(salario)
∆horas
\
∆ log(horas) = (∆horas/horas)
≈ 1640/horas∆ log(salario)
Elasticidad ≈ 1640/horas
Esta elasticidad depende de la variable horas porque el
modelo no se representa en log(horas).
La media de horas trabajadas es de 1303, la elasticidad
estimada es 1640/1303 > 1.26 ⇒ relación elástica.
Un incremento salarial del 1% resulta en un incremento
de horas de más del 1%
– p. 1
Cuando el parámetro de x es positivo y el de x2 es
negativo, la expresión cuadrática tiene una forma
parabólica. Primero se observa un efecto positivo de x
sobre y y luego un efecto negativo. Por lo tanto hay un
punto de inflexión o crítico a partir del cual se produce el
cambio.
ŷ = β̂0 + β̂1 x + β̂2 x2
Punto crítico |β̂1 /(2β̂2 )|
– p. 1
ĉigarros=
−3.64(24.08) + 0.880(0.728)lrenta
−0.751(5.773)lpreciocig − 0.501(0.167)educacion
+0.771(0.160)edad − 0.0090(0.0017)edadcuad
−2.83(1.11)restaurante
El consumo de cigarrillos se relaciona con la edad de manera
cuadrática. Fumar aumenta con la edad hasta que edad=
0.771/2(0.009)=42.83 y luego disminuye.
– p. 1