Tarea #4 de F´ısica I

Tarea #4 de Fı́sica I
satisface (3), es decir que la longitud del resorte se
comporta igual que la posición de una partı́cula en
1. Una partı́cula se mueve de acuerdo con la trayectoria
~r(t) = (A cos ωt, A sen ωt, 0). Obtén la norma de ~r(t)
y muestra que la partı́cula se mueve sobre una circunferencia con centro en el origen. ¿Cuál es la fuerza
que actúa sobre la partı́cula? Considera una masa m
que tiene una trayectoria circular dentro de un cilindro. ¿Cuál es la velocidad mı́nima que debe tener la
masa para que no caiga por la acción de su peso si el
coeficiente de fricción entre el cilindro y la partı́cula
es µ?
un movimiento armónico simple. La vibración en la
molécula de CO se puede aproximar mediante la ley
de Hooke. ¿Cuál es la constante de fuerza del enlace C≡O si las masas de los núcleos de carbono y de
oxı́geno son 1.99 × 10−26 kg y 2.66 × 10−26 kg respectivamente y los átomos vibran con una frecuencia
ν = ω/2π = 6.424 × 1013 s−1 ? Compara esta constante de fuerza con la de un resorte que hace que una
masa de 300 g tenga un perı́odo de 1.23 s. Muestra
que las ecuaciones (1) y (2) implican que el momento
lineal del sistema, m1 ẋ1 + m2 ẋ2 , es una constante de
2. Considera un disco que está sobre una mesa. El coefi-
movimiento, y que por tanto la velocidad del centro
ciente de fricción entre el disco y la mesa es µ. Mues-
de masa ẋCM = (m1 ẋ1 + m2 ẋ2 )/(m1 + m2 ) = v0CM
tra que si se golpea el disco de manera tal que in-
es constante. Muestra que
mediatamente después del impacto el disco tiene una
velocidad v0 , entonces, el disco recorrerá una distanv02
.
cia d = 2µg
3. Considera dos masas unidas
k
=
m2
m1
x1 (t) +
x2 (t)
m1 + m2
m1 + m2
(5)
despeja x1 (t) y x2 (t) a partir de las ecuaciones (4) y
por un resorte que obedece
la ley de Hooke, tal como se
xCM (t) = x0CM + v0CM t
(5) y verifica que cada una de ellas satisface las ecuam1
muestra en la Figura 1.
m2
ciones (1) y (2). Demuestra la validez de la igualdad
Figura 1.
Muestra que la segunda ley de Newton aplicada a las
masas 1 y 2 conduce a las siguientes ecuaciones de
movimiento
1
1
m1 ẋ21 + m2 ẋ22 =
(m1 + m2 )ẋ2CM + µẊ 2 /2
2
2
es decir que la energı́a cinética del sistema equivale a
k(x2 − x1 − leq ) = m1 ẍ1
(1)
la suma de las energı́as cinéticas de una partı́cula de
−k(x2 − x1 − leq ) = m2 ẍ2
(2)
masa m1 + m2 que se mueve con el centro de masa
y de una masa µ que se mueve con velocidad Ẋ.
donde leq es la longitud de equilibrio del resorte. Sea
Finalmente, demuestra que
X la longitud del resorte, X = x2 − x1 . Muestra que
a partir de las ecuaciones (1) y (2) se puede concluir
que
d[(m1 + m2 )ẋ2CM /2 + µẊ 2 /2 + k(X − leq )2 /2]
=0
dt
es decir, que la suma de las energı́a cinética y poten-
m1 m2
−k(X − leq ) =
Ẍ = µẌ
m1 + m2
(3)
donde µ = m1 m2 /(m1 + m2 ) es la masa reducida del
sistema de dos partı́culas. Verifica que
cial del sistema es una constante de movimiento.
4. Considera un oscilador armónico con una fuerza de
fricción proporcional a la velocidad. La ecuación de
movimiento de este sistema es
s
x2 (t) − x1 (t) = X(t) = leq + A cos
!
k
t+φ
µ
(4)
mẍ = −kx − bẋ
(6)
b2
Verifica que si k > 4m
s
bt
− 2m
xamort (t) = Ae

k
b2
cos 
t + φ
−
m 4m2
(7)
es una solución de (6). Supón que para un problema
particular se tiene que A = 8 m, φ = 0, m = 1 kg,
k = 0.2 kgs−2 y b = 0.2 kgs−1 . Grafica xamort (t) desde
un tiempo inicial hasta un tiempo final que muestre
las principales caracterı́sticas del movimiento.
Dos puntos extras: Ahora considera el mismo oscilador armónico con una perturbación periódica. La
segunda ley de Newton para este sistema se expresa
como:
mẍ = −kx − bẋ + F0 cos ωt
(8)
Muestra que:
F0 ωb sen ωt + (k − ω 2 m) cos ωt
x(t) = xamort (t) +
(k − ω 2 m) + ω 2 b2
(9)
satisface (8) y que xamort (t), es transiente es decir que
lı́mt→∞ xamort (t) = 0 Muestra que para tiempos en
los cuales se puede despreciar xamort (t) se tiene que
F0 cos(ωt − φ)
x(t) = p
(k − ω 2 m)2 + ω 2 b2
(10)
con
φ = arctan
ωb
k − ω2m
F0
, co(k − ω 2 m)2 + ω 2 b2
mo función de ω para F0 = 10 N y los valores de
Grafica la amplitud de (10), p
A, φ, m, b y k dados anteriormente. Muestra claramente que el valor máximo de la amplitud está en
ω = ω0 =
p
k/m. Discute sobre la importancia de
que las construcciones tengan frecuencias naturales,
valores de ω0 , que sean diferentes a aquellos con los
que vibra la Tierra en un terremoto.