Guía 11 - Universidad de Chile

Fı́sica I
G ONZALO G UT ÍERREZ
F RANCISCA G UZM ÁN
G IANINA M ENESES
Universidad de Chile, Facultad de Ciencias,
Departamento de Fı́sica, Santiago, Chile
Guı́a 11
Miércoles 28 de Junio, 2006
Equlibrio estático
Condiciones para el equilibrio
1. Una viga uniforme de masa mB y de longuitud l soporta bloques de masa m1 y m2 en dos
posiciones, como se muestra en la figura 1. La viga descansa en dos puntos. ¿En qué valor
de x la viga estará equilibrada en P de tal manera que la fuerza normal en O sea cero?.
R: x =
(m1 +mB )d+m1 l/2
m2
Figure 1:
2. Una escalera uniforme que pesa 200 N está reclinada contra una pared ver figura 9. La
escalera se desliza cuando θ = 60◦ . Suponiendo que los coeficientes de fricción estática en la
pared y en el suelo son los mismos obtenga un valor para µs .
R: 0.288.
Figure 2:
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Más acerca del centro de gravedad
3. En la figura 3 se ve una escuadra de carpintero en forma de L. Localice su centro de gravedad.
R: x =3.85 cm ; y =6.85 cm.
Figure 3:
4. Considere la siguiente distribución de masa: 5 kg en (0,0) m, 3 kg en (0,4) m y 4 kg en (3,0)
m. ¿Dónde se debe ubicar una cuarta masa de 8 kg de modo que el centro de gravedad del
arreglo de cuatro masas esté en (0,0) m ?.
R: r = (−1.5; −1.5) m.
5. Paty construye tranquilamente una pista sólida de madera para su carro a escala como se
ilustra en la figura 5. La pista tiene 5 cm de ancho, 1 m de altura y 3 m de largo. El camino se
corta de manera tal que forma una parábola descrita por la ecuación y = (x − 3)2 /9. Localice
la posición del centro de gravedad de esta pista.
R: x =0.750 m.
Figure 4:
Ejemplos de objetos rı́gidos en equilibrio estático
6. Una escalera uniforme de 15 m que pesa 500 N descansa contra una pared sin fricción. La
escalera forma un ángulo de 60◦ con la horizontal.
a) Encuentre las fuerzas horizontal y vertical que el suelo ejerce sobre la base de la escalera
cuando un bombero de 800 N está a 4 m de la parte inferior.
b) Si la escalera está a punto de deslizarse cuando el bombero está 9 m más arriba, ¿cuál
es el coeficiente de fricción estática entre la escalera y el suelo?.
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R: a) fr =268 N y N =1300 N ; b) 0.324 .
7. Encuentre la masa m de la pesa que se necesita para mantener en equilibrio el camión de
1500 kg de la figura 7. Suponga que la polea no tiene masa y el roce es despreciable.
R: 177 kg.
Figure 5:
8. Dos ladrillos uniformes idénticos de longuitud L se colocan uno sobre otro en el borde de
una superficie horizontal sobresaliendo lo máximo posible sin caer, como se ve en la figura 8.
Encuentre la distancia x.
R: x = 3L/4.
Figure 6:
9. Una escalera de tijera de peso despreciable se construye como se muestra en la figura 9. Una
pintora de 70 kg de masa está parada sobre la escalera a 3 m del punto inferior. Suponga al
piso sin fricción y encuentre:
a) La tensión en la barra horizontal que conecta las dos partes de la escalera.
b) Las fuerzas normales en A y en B.
c) Las componentes de la fuerza de reacción en la articulasción única C que la pata izquierda
de la escalera ejerce sobre la pata derecha.( Indicación: trate cada paa de la escalera por
separado.)
R: a) T = 133 N ; b) nA = 429 N nB = 257 N ; c) R = (133, 257) N.
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Figure 7:
Mecánica de fluidos
Presión y su variación con la profundidad
10. Una mujer de 50 kg se balancea sobre uno de los altos tacones de sus zapatos. Si el tacón es
circular con radio de 0.5 cm, ¿qué presión ejerce sobre el piso?
R: 6.24 MPa
11. ¿Cuál es la masa total de la atmósfera de la tierra?. Recuerde que el radio terrestre es 6.37 ×
106 m y la presión atmosférica en la superficie es de 1.013 × 105 N/m2 .
R: 5.27 × 1018 kg
12. El resorte del medidor de presión mostrado en la figura 8 tiene una constante de fuerza de
1000 N/m, y el émbolo tiene un diámetro de 2 cm. Cuando el manómetro se sumerge en el
agua, ¿a qué profundidad el pistón se mueve 0.5 cm?
R: 1.62 m
Figure 8:
13. Un cascarón esférico sellado, de diámetro d, está rı́gidamente unido a un carro que se mueve
en dirección horizontal con una aceleración a, como se muestra en la figura 9. La esfera está
casi llena con un fluido que tiene una densidad ρ y también contiene una pequeña burbuja
de aire a presión atmosférica. Encuentre una expresión para la presión P en el centro de la
esfera.
R: P0 + (ρd/2)(g 2 + a2 )1/2
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Figure 9:
14. El tanque en la figura 10 se llena con agua a una profundidad de 2 m. En el fondo de una
de las caras laterales hay una escotilla rectangular a 1 m de altura y 2 m de ancho que está
articulada en su parte superior. a) Determine la fuerza que el agua ejerce sobre la escotilla.
b) Encuentre el momento de torsión ejercido alrededor de las bisagras.
R: a) 29.4 kN hacia la derecha; b) 16.3 kN·m
Figure 10:
15. Una bola de cobre sólido con un diámetro de 10 m al nivel del mar se coloca en el fondo del
océano, a una profundidad de 10 km. Si la densidad del agua del mar es de 1030 kg/m3 , ¿en
qué cantidad (aproximadamente) el diámetro de la bola disminuye cuando alcanza el fondo?
El módulo volumétrico del cobre es de 14 × 1010 N/m2 .
R: 0.722 mm
Medida de la presión
16. Blaise Pascal reprodujo el barómetro de Torricelli utilizando un vino tinto de Bordeaux, cuya
densidad es de 984 kg/m3 , como el lı́quido de trabajo (Figura 11). ¿Cuál fue la altura h de la
columna de vino para la presión atmosférica normal? ¿esperarı́a usted que el vacı́o sobre la
columna fuera tan bueno como para el mercurio?
R: 10.5 m; No. Algo de agua y alcohol se evapora.
17. Se vierte mercurio dentro de un tubo con forma de U, como se muestra en la parte a) de la
figura 12. El brazo izquierdo del tubo tiene un área de sección transversal A1 = 10 cm2 , y el
área del brazo derecho es A2 = 5 cm2 . Luego se vierten 100 g de agua en el brazo derecho
como se ve en la parte b) de la figura 12. a) Determine la longitud de la columna de agua
en el brazo derecho del tubo en U. b) Dado que la densidad del mercurio es de 13.6 g/cm3 ,
¿qué distancia sube el mercurio en el brazo izquierdo?
R: a) 20 cm; b) 0.49 cm
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Figure 11:
Figure 12:
Fuerzas de flotación y principio de Arquı́medes
18. a) Un globo ligero se llena con 400 m3 de helio. A 0o C, ¿cuál es la masa de la carga que puede
levantar el globo? b) ¿qué carga puede levantar el globo si se llena con hidrógeno?. Recordar
que la densidad del hidrógeno es 8.99 ×10−2 kg/m3 .
R: a) 444 kg ; b) 480 kg
19. Una pieza de aluminio con 1 kg de masa y 2700 kg/m3 de densidad está suspendida de un
resorte y entonces se sumerge por completo en un recipiente de agua (ver figura 13). Calcule
la tensión en el resorte a) antes y b) después de sumergir el metal.
R: a) 9.8 N; b) 6.17 N
20. Un cubo de madera de 20 cm de lado y una densidad de 650 kg/m3 flota en el agua. a) ¿Cuál
es la distancia desde la cara superior horizontal del cubo hasta el nivel del agua? b)¿cuánto
peso de plomo debe ponerse sobre la parte superior del cubo para que éste quede justo al
nivel del agua?
R: a) 7 cm; b) 2.8 kg
Ecuación de Bernoulli
21. Una tuberı́a horizontal de 10 cm de diámetro tiene una reducción uniforme hasta una tuberı́a
de 5 cm de diámetro. Si la presión del agua en la tuberı́a más grande es de 8 × 104 Pa y la
presión en la tuberı́a pequeña es de 6 × 104 Pa, ¿cuál es la rapidez de flujo de agua a través
de las tuberı́as?
R: 12.8 kg/s
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Figure 13:
22. En un gran tanque de almacenamiento abierto en la parte superior y lleno de agua se forma
un pequeño hoyo en su costado, en un punto 16 m debajo del nivel del agua. Si la relación
de flujo de la fuga es de 2.5 ×10−3 m3 /min, determine a) la rapidez a la cual el agua sale por
el hoyo, b) el diámetro de éste.
R: a) 17.7 m/s; b) 1.73 mm
23. Por una manguera contra incendios de 6.35 cm de diámetro fluye agua a una relación de
0.012 m3 /s. La manguera termina en una boquilla con diámetro interior de 2.2 cm. ¿Cuál es
la rapidez con la cual el agua sale de la boquilla?
R: 31.6 m/s
Misceláneos
24. Un resorte ligero de constante k = 90 N/m descansa verticalmente sobre una mesa (Figura
14). Un globo de 2 g se llena con helio (densidad = 0.18 kg/m3 ) hasta un volumen de 5 m3 y
se conecta con el resorte, con lo cual éste se alarga como en la figura. Determine la longitud
de alargamiento L cuando el globo está en equilibrio.
Figure 14:
25. El suministro de agua de un edificio se alimenta a través de una tuberı́a principal de 6 cm de
diámetro. Un grifo de 2 cm de diámetro localizado 2 m arriba de la tuberı́a principal llena
un recipiente de 25 lt en 30 s. a) ¿Cuál es la rapidez a la cuál el agua sale del grifo? b) ¿Cuál
es la presión manométrica en la tuberı́a principal de 6 cm? (Suponga que el grifo es la única
fuga en el edificio.)
R: a) 2.65 m/s; b) 2.31 × 104
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Movimiento oscilatorio
Movimiento armónico simple
26. El deplazamiento de una partı́cula en t = 0.25 s está dado por la expresión x = A cos(3πt+π)
, donde A = 4 m y x está en metros y t está en segundos. Determine:
a) La frecuencia y el periodo del movimiento.
b) La amplitud del movimiento.
c) La constante de fase.
d) El desplazamiento en t = 0.25 s.
R: a) 0.477 Hz y 2.09 s respectivamente ; b) A = 4 m ; c) π rad ; d) x =2.83 m.
27. Una partı́cula con movimiento armónico simple desplazándose a lo largo del eje x parte de
la posición de equilibrio en el origen en t = 0 y se mueve a la derecha. La amplitud de su
movimiento es de 2 cm y la frecuencia de 1.5 Hz.
a) Muestre que el desplazamiento de la partı́cula está dado por x = B sin(3πt)., donde
B = 2 cm. Apartir de esto determine:
b) La máxima rapidez y el tiempo previo (t > 0) al cual la partı́cula tiene dicha rapidez.
c) La máxima aceleración y el tiempo previo (t > 0) al cual la partı́cula tiene dicha aceleración.
d) La distancia total viajada entre t = 0 s y t = 1 s.
R: b) 18.8 cm/s en 0.33 s ; c) 178 cm/s2 en 0.5 s ; d) 12 cm.
Nueva visita al sistema bloque resorte
28. Una masa de 0.5 kg unida a un resorte con 8 N/m de constante de fuerza vibra en un
movimiento armónico simple con una amplitud de 10 cm. Calcule:
a) El valor máximo de su rapidez y aceleración.
b) La rapidez y aceleración cuando la masa está a 6 cm de la posición de equilibrio.
c) El tiempo que tarda la masa en moverse de x = 0 a x = 8 cm.
R: a) vmax = 40 cm/s, amax = 160 cm/s2 ; b) v = 32 cm/s, a = −96 cm/s2 ; c) 0.232 s.
29. Una masa de 7 kg cuelga del extremo inferior de un resorte vertical fijo a una viga. La masa
se pone a oscilar verticalmente con un periodo de 2.6 s. Encuentre la constante de fuerza del
resorte.
R: 40.9 N/m
30. Una partı́cula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2 rad/s. El
sistema resorte–partı́cula está suspendido deltecho de la caja de un elevador y cuelga sin
moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una rapidez constante
de 1.5 m/s. La caja se detiene repentinamente.
a) ¿Con qué amplitud oscila la partı́cula?.
b) ¿Cuál es la ecuación de movimiento para la partı́cula? (Elija la dirección hacia arriba
como positiva.)
R: a) 0.75 m ; b) x = (−0.75) sin(2t).
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Energı́a de un oscilador armónico simple
31. Un automóvil que tiene una masa de 1000 kg se dirige hacia un muro de ladrillos en una
prueba de seguridad. El parachoques se comporta como un resorte de constante igual a
5×106 N/m y se comprime 3.16 cm cuando el auto se lleva al reposo. ¿Cuál fue la rapidez
del auto antes del impacto, suponiendo que no se pierde energı́a durante el impacto con la
pared?.
R: 2.23 m/s.
32. Una partı́cula ejecuta un movimiento armónico simple con una amplitud de 3 cm. ¿A qué
desplazamiento desde el punto medio de su movimiento su rapidez es igual a la mitad de
su rapidez máxima?.
R: 2.6 ó -2.6 cm.
El péndulo
33. Un hombre ingresa a una torre alta para determinar su altura. Él nota que un gran péndulo
se extiende desde el techo casi hasta el piso y que su periodo es de 12 s.
a) ¿Cuán alta es la torre?.
b) Si este péndulo se lleva a la Luna, donde la aceleración de caı́da libre es de 1.67 m/s2 ,
¿cuál es su periodo ahı́?.
R: a) 35.7 m ; b) 29.1 s.
34. Un péndulo simple tiene una masa de 0.25 kg y una longuitud de 1 m. Se desplaza por un
ángulo de 15◦ y después se suelta. ¿Cuáles son:
a) La rapidez máxima.
b) La aceleración angular máxima.
c) La fuerza restauradora máxima?.
R: a) vmax =0.82 m/s ; b) amax =2.57 rad/s2 ; c) 0.641 N.
35. Una partı́cula de masa m se desliza sin fricción en el interior de un tazón hemisférico de
radio R. Demuestre que, si parte del reposo con un pequeño desplazamiento a partir de la
posición de equilibrio, la partı́cula efectúa un movimiento armónico simplepcon una frecuencia angular igual a la de un péndulo simple de longuitud R. Es decir, v = g/R.
36. Un péndulo fı́sico en la forma de un cuerpo plano efectúa un movimiento armónico simple
con una frecuencia de 0.450 Hz. Si el péndulo tiene una masa de 2.2 kg y el pivote se localiza
a 0.35 m del centro de masa, determine el momento de inercia del péndulo.
R: 0.944 kg·m2 .
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