Ecuaciones Diferenciales: Grupo 29 Tarea 1

Ecuaciones Diferenciales: Grupo 29
Tarea 1
Ing. Rodrigo Alejandro Gutiérrez Arenas
Semestre 2012-1
Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas. Todos los problemas deberán de ser acompañados por
su campo de direcciones (ver problema 1) y por diez soluciones particulares (en caso de ser un problema de
valor inicial, solamente la solución particular en cuestión).
1. La ecuación diferencial
dy
= y2 − x
dx
no tiene una solución en términos de funciones analı́ticas, sin embargo se puede analizar su comportamiento a partir del campo de direcciones.
a) Obtenga el campo de direcciones de la ecuación diferencial utilizando algunas de las herramientas
que es encuentra en la página de Internet del curso (links: Utilizando Matlab para resolver Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden o Espacio Fase y Campo de direcciones). Los lı́mites para
ambos ejes deben de ser −4 y 4.
b) Una separatriz es una curva tal que por encima de ella las soluciones se comportan (conforme la
variable independiente crece) de una forma, mientras que por debajo las soluciones se comportan
(conforme la variable independiente crece) de una forma distinta. Para la ecuación diferencial en
cuestión existe una separatriz tal que las soluciones crecen sin lı́mite (conforme x se incrementa)
mientras que las soluciones por debajo decrementan su amplitud (conforme x se incrementa). Use
cualquiera de las aplicaciones para encontrar dicha separatriz y comente si es posible encontrar
dicha separatriz de forma analı́tica.
c) Encuentre los puntos (a, b) del plano xy donde las curvas solución tengan una recta tangente con
pendiente −1.
2. Un esquiador de agua (W ) se sujeta mediante una cuerda de longitud L a un bote de motor (M ) como
se muestra en la figura 1. El esquiador comienza en (0, 1) sobre el eje y mientras que el bote comienza
en un punto sobre el eje x y se mueve hacia la derecha. El esquiador viaja a lo largo de una curva
que recibe el nombre de tractriz. Encuentre una ecuación diferencial para esta curva y resuélvala para
encontrar la ecuación de la curva. Nota: la cuerda se encuentra siempre tangente a la curva.
3. En un problema de caı́da libre o de tiro vertical, normalmente, se considera que la fuerza de gravedad
(con dirección hacia la superficie de la Tierra) es constante a lo largo del viaje. Sin embargo, en el
caso de cohetes que realizan viajes largos, la atracción gravitacional de un planeta disminuye cuando
la distancia hacia el planeta crece. Especı́ficamente, de acuerdo a la ley de gravitación de Newton, la
fuerza de gravedad ejercida sobre un objeto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
del objeto al centro del planeta. Ası́ que, si R es el radio del planeta y y = y (t) representa la distancia
del objeto a la superficie, entonces la constante g (gravedad) se puede reemplazar por
g (t) =
C
2,
(y (t) + R)
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Figura 1: Problema 1.
donde C es una constante de proporcionalidad. Sin embargo, sabemos que g (t) = g en la superficie del
planeta (donde y = 0) y, por lo tanto
C
R2
C = R2 g.
g=
Por lo tanto
g (t) =
R2 g
2,
(y (t) + R)
y ahora, considerando la segunda ley de Newton (F = ma, donde a = dv
dt ), la ecuación diferencial para
esta situación (sin considerar el efecto de la resistencia atmosférica) se transforma en
dv
R2 g
=−
2.
dt
(y (t) + R)
(1)
En la ecuación anterior se tienen tres variables v, y y t, por lo que se puede utilizar la regla de la
cadena para eliminar una de ellas (en especı́fico el tiempo):
dv
dv dy
dv
=
=v ,
dt
dy dt
dy
con lo que la ecuación 1 resulta
v
dv
R2 g
=−
2.
dy
(y + R)
(2)
a) Resuelva la ecuación 2 y determine la altura máxima del objeto. Nota: La forma más sencilla de
lograr esto es obtener y = f (v).
Ahora, se considerará el caso en que se toma en cuenta la resistencia atmosférica, suponiendo que la
fuerza de resistencia es
kR2 v 2
fr (t) =
(3)
2,
(y + R)
donde k es la constante de amortiguamiento. Considerando la expresión 3, la ecuación 1 tiene la
siguiente forma
dv
mR2 g
kR2 v 2
m
=−
−
(4)
2
2.
dt
(y (t) + R)
(y (t) + R)
b) Resuelva la ecuación 4 y obtenga la altura máxima. Compare sus resultados con el inciso anterior.
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c) Obtenga una expresión para la velocidad de escape. La velocidad de escape es la velocidad inicial
que requiere un cuerpo para que, sin ningún otro impulso, no regrese a la superficie terrestre. En
otras palabras es la velocidad inicial para que la altura máxima sea infinito.
4. Usualmente un imán en forma de barra es modelado como un dipolo magnético, con uno de sus
extremos etiquetado como polo norte N y el extremo opuesto como polo sur S. El campo magnético
para el dipolo magnético es simétrico con respecto a una rotación sobre el eje longitudinal que pasa
por el centro de la barra. En consecuencia se puede estudiar el campo magnético en un solo plano que
contiene el eje de simetrı́a con el origen en el centro de la barra.
Para un punto P que se encuentra localiza do a una distancia r del origen, donde r es más grande que
la longitud del imán, las lı́neas de campo magnético satisfacen la ecuación diferencial
3xy
dy
.
= 2
dx
2x − y 2
a) Resuelva la ecuación anterior y obtenga una expresión para las lı́neas de campo magnético.
b) Encuentre las lı́neas equipotenciales al campo magnético, dichas lı́neas son siempre ortogonales al
campo magnético.
5. Pruebe que si una ecuación M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 tiene un factor integrante f (x) y también un
factor integrante g (y), entonces la ecuación diferencial es de variables separables.
6. A partir de la ecuación M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, pruebe, que si la expresión
∂M
∂y
−
6∂ N
∂x
N −M
es función de x + y (llámesele P (x + y)), entonces al ecuación diferencial tiene un factor integrante
que es función de x + y. Especı́ficamente, pruebe que
eI(x+y)
es un factor integrante, donde I es una antiderivada para P :
Z
I (t) = P (t) dt.
Emplee el resultado anterior para resolver la ecuación
2
2
(x + y) + y dx + (x + y) − x dy = 0.
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