Estructura del núcleo - Instituto de Ciencias Nucleares UNAM

Estructura del núcleo
Víctor Velázquez
Facultad de Ciencias UNAM
Estructura del núcleo
‹ PARTE
I
‹ Modelos Nucleares.
‹ El modelo de capas
‹ PARTE II
‹ Código Antoine
‹ Ejemplos
Introducción
En sus inicios, la teoría nuclear
solo consideraba al núcleo como
un conjunto de protones y
neutrones en un volumen muy
pequeño dentro del átomo. La
investigación de sus
propiedades nos ha llevado a
muchos experimentos y
modelos para establecer su
estructura y dinámica.
Estructura Nuclear
de la gota de líquido.
‹ Modelo de partícula independiente.
‹ Modelo de capas.
‹ Modelo de bosones interactuantes.
‹ Teoría de Hartree-Fock
‹ Modelos colectivos
‹ Modelo
Fórmula de la energía de amarre.
Maria Goeppert-Mayer, the
Nuclear Shell Model, and Magic
Numbers
Potencial promedio
Construido a partir de un potencial promedio de oscilador armónico
más términos que toman en cuenta el acoplamiento órbita-órbita y
Espín-órbita
La solución del Hamiltoniano de
partícula independiente:
donde
Las funciones propias están dadas como la función producto
de la parte radial y la parte angular:
Para el caso del oscilador armónico, los valores propios son:
Tomando en cuenta el acoplamiento espín-órbita la solución es:
donde la funcion de onda de acoplamiento de espín orbital es:
Las energías correspondientes son:
con
Modelo de Nilsson
Un Hamiltoniano con términos de uno y dos cuerpos tiene la
forma:
El término de dos cuerpos puede ser reemplazado por uno de un
cuerpo
Para una partícula independiente, en el potencial:
Para un sistema de A partículas independientes:
cuyas funciones propias son
… y valores propios
Partículas idénticas
Para un sistema de partículas identicas, es necesario tomar en
cuenta que las partículas son indistinguibles.
La función de onda total es antisimétrica ante el intercambio
de dos partículas.
Existen dos posibles estados finales, pero asociados a un estado
Físico individual.
Con la medida no es posible distinguir los dos procesos.
Postulado de simetrización:
Para un sistema de partículas idénticas solamente algunas funciones
propias describen estados físicos: estas son antisimétricas para
fermiones y simétricas para bosones.
Si |u> es un ket físico, entonces P|u> , también es un ket físico.
Para fermiones los kets físicos son aquellos obtenidos por
antisimetrización
Ejemplo para dos partículas:
Por el principio de exclusión de Pauli:
Para tres partículas:
Para el caso de dos partículas:
Un determinante de Slater.
Para el caso de tres partículas:
En un sistema de A partículas:
La fase global está determinada por el orden de los índices
El formalismo de los números de ocupación simplifica enormemente
la notación:
Solamente números de ocupación de órbitas de partícula independiente
son necesarios.
Segunda Cuantización
Operadores de creación y aniquilación:
El vacío es tal que
Para fermiones, la antisimetría está dada por las reglas de
anticonmutación
El operador de un cuerpo queda definido como:
los operadores multipolares:
Los operadores de dos cuerpos:
Correlaciones en los núcleos.
Para la descripción del núcleo, el campo promedio sólo es el punto
de partida
La interacción residual de dos cuerpos (correlaciones) son
responsables de la estructura detallada del núcleo.
Particularmente, las correlaciones pueden inducir coherencia, es
decir movimientos colectivos
El movimiento coherente de particulas independientes, está generado
por las correlaciones de dos cuerpos.
El éxito del modelo de partícula independiente de N partículas pueda
ser simplificada en el medio nuclear (regularización). Para un número
dado de protones y neutrones los orbitales de campo promedio pueden
Ser agrupados en tres bloques:
-Carozo inerte
-Valencia: órbitales que contienen los grados de libertad físicos
relevantes para una propiedad dada. La distribución de las partículas de
valencia entre estos orbitales, está gobernada por la interacción.
-Espacio externo
Comenzando con una interacción regularizada, la solución exacta del
problema en el espacio de Hilbert (infinito) construido con los orbitales
de campo promedio, es aproximadamente la solución de la ecuación de
Schrodinger en el espacio de valencia utilizando una interaccion
efectiva, tal que:
En general, operadores efectivos, también deben introducirse
para tomar en cuenta restriciones en el espacio de Hilbert:
Modelo de capas
Un modelo de capas necesita los siguientes ingredientes:
° Un espacio de valencia
°Una interacción efectiva
°Un códico que construya y diagonalice la matriz secular.
Los dos últimos puntos limitan el espacio de valencia
Espacio de valencia
La selección del espacio de valencia
Para los núcleos ligeros, el oscilador armónico determina las
clausuras del espacio de valencia.
Capa
p
Cohen
/Kurat
ah
Capa
sd,
Brown/
Wildent
hal
Capa pf
deformada
Para núcleos pesados: el acoplamiento jj debido al término espínórbita controla las clausuras, por ejemplo
La interacción en segunda
cuantización
El Hamiltoniano puede ser escrito como:
Y en segunda cuantización:
Introduciendo un campo promedio:
El Hamiltoniano puede ser reescrito como:
Los estados base son vectores propios del campo promedio, y el
Hamiltoniano de dos cuerpos es diagonzalizado en esta base.
El Hamiltoniano desacoplado:
El Hamiltoniano acoplado
Introduciendo los operadores:
Tensor de acoplamiento como:
obtenemos
Y definiendo el
Ejemplos: espacio de valencia,
interacción y código
Wigner decía que la sustitución de una matriz realista por una
interacción aleatoria con el mínimo de propiedades reales
(simetrías) deberia arrojar como resultado, propiedades básicas
del sistema a estudiar.
Valores B(E2)
Estructura nuclear
(laboratorio computacional)
Víctor Velázquez
Facultad de Ciencias UNAM
Los tres pilares del modelo de
capas
• El espacio de valencia
• La interacción
• Un código corriendo en una computadora
lo suficientemente rápida
El esquema M
• Las simetrías del Hamiltoniano no son
explícitas.
• La base está construida por determinantes
de Slater a partir de los orbitales de
valencia.
• Así los estados físicos provienen de la
diagonalización de la matriz Hamiltoniana:
• Los elementos de matriz son fáciles de
calcular. Tomemos el ejemplo del 12Ca en
la capa p.
• Representamos un determinante de Slater
por una palabra de máquina donde cada
estado es un bit.
• En el ejemplo, el determinante de Slater
ocupa una palabra de 12 bits.
• La acción del Hamiltoniano en este objeto
es muy simple.
• Sea |I> una función base. La acción de un
término de dos cuerpos nos lleva a:
•Una amplitud
•Si K, l están ocupados e i,j están vacíos,
de otra manera dichas amplitudes son igual a cero
• Si el resultado no es cero, esto nos lleva a
otro estado |J>.
• La aplicación del operador:
• En la práctica:
• todas las palabras de máquina
correspondientes a todos los estados de la
base son generados: {|I>} I=1,…,N
• e iteraciones son hechas sobre todos los
operadores de dos cuerpos.
• Los estados |J> resultantes se clasifican
( o se identifican) dentro de la lista de
determinantes de Slater, quedando el
elemento de matriz
• Ejemplo:
Con la acción de
y fase
Diagonalización del Hamiltoniano
Resulta imposible almacenar la Matriz Hamiltoniana,
Pero aún es posible calcular HΨ.
Es posible utilizar un algoritmo iterativo para diagonalizar.
El método de Lanczos
• El método de Lanczos consiste en la
construcción de una base ortonormal por
la ortogonalización de los estados
Obtenida por la acción repetida del
Hamiltoniano sobre un estado pivote |1>
De este procedimiento resulta una matriz
tridiagonal.
• En el primer paso:
Donde E11 es el valor esperado de H en el
estado |1>.
• E12 es ontenido por normalización
En el segundo paso
Ya que H es Hermitiano
• E23 es obtenido por normalización
En el paso N
• ASi obtenemos una matriz tridiagonal
CONVERGENCIA
La interacción
• La información relativa a la interacción
está completamente contenida en
Las simetrias del Hamiltoniano tiene la
siguientes consecuencias
• A valores fijos de J(T), los
correspondientes valores de M(M_z) son
todos iguales.
Los elementos de matriz entre valores de
diferente J(T), son cero.
Interacción realista efectiva
Descomposición multipolar
• Parte monopolar y multipolar
• Las matrices obtenidas de información
experimental tienen dos características:
• La parte multipolar funciona bien
• La parte monopar funciona mal.
Descomposicion multipolar
• En el espacio de particula-particula
• En el espacio partícula agujero
• Descomposición multipolar
• Difrentes multipolos
Algunos resultados
• Backbending en Cr 48.
• B8 para J=3
• Na23 para J=3