Determinación de un modo (11) de la ecuación de Helmholtz en un recinto elíptico. Gallardi, Carlos M. Area Física Aplicada - Depto. de Física - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE. Campus Universitario - Av. Libertad 5600 - (3400) Corrientes - Argentina. Teléfono/Fax: +54 (3783) 473931 interno 115 E-mail: [email protected] ANTECEDENTES Las autofunciones y autovalores de la ecuación de Helmholtz [ 1 ] tienen importancia por sus diversas aplicaciones.Esta ecuación se origina al separar variables, por ejemplo, en la ecuación de hondas homogénea, y su solución permite el análisis de problemas relacionados con fenómenos vibratorios, entre otros. El tratamiento matemático de dicha ecuación en coordenadas elípticas conduce a las funciones de Mathieu.En años recientes se publicaron importantes aplicaciones de estas funciones [ 2 ]-[ 3 ]-[ 4 ] y desarrollaron métodos para calcular soluciones de la mencionada ecuación en dichas coordenadas . En esta comunicación se realiza una sistematización de algoritmos y presenta un método para calcular, de manera simple, un modo o solución de la citada ecuación en un recinto elíptico con condiciones de contorno y el autovalor correspondiente, utilizando el programa Mathematica ® V.2.2 [ 5 ]. METODO DE CALCULO Se busca una solución de la ecuación de Helmholtz (1) 2 s (ξ , η ) = 0 (∇ 2 + k 11 )Φ11 en un recinto elíptico con condiciones de contorno, donde (ξ , η ) representan coordenadas elípticas. Más precisamente y con las condiciones mencionadas, el método aquí desarrollado permite calcular un modo o autofunción inmediatamente superior al fundamental [ 6 ] de la ecuación anterior que satisfaga condiciones homogéneas en todos los puntos de un contorno elíptico. 2 indicamos el autovalor asociado al modo Φs y, como es posible demostrar [ 1 ], este último se expresa Con k11 11 mediante un producto de dos funciones senos de Mathieu. Este trabajo desarrolla un método de cálculo [ 6 ] para s 2 h2 / 4 ,siendo h la distancia focal de hallar un modo Φ11(ξ , η ) = Se1 (ξ , q11 ) se1(η , q11 ) [ 1 ] ,con q11 = k11 la elipse para un dado valor de su excentricidad e , y que satisface las siguientes condiciones: debe ser solución de la ecuación (1) en un abierto y cumplir condiciones homogéneas de Dirichlet sobre su frontera elíptica ξ 1 ( q11 ) de manera que : (2) s Φ11 (ξ1 , η ) = Se1 (ξ1 , q11 ) se1(η , q11 ) = 0. La función se1(η , q11 ) se anula solamente para η = 0 y η = π donde se halla una línea nodal, entonces la condición (2) se satisface siempre que Se1 (ξ1 , q11 ) = 0. Siguiendo a [ 7 ] escribimos la función seno modificada de Mathieu de primera especie y orden uno como sigue: (3) Se1 (ξ , q ) = ∞ ∑ (1) B2r+1( q ) senh [(2 r +1) ξ ] r= 0 y la función seno de Mathieu de primera especie y orden uno ∞ ∑ se1(η , q ) = (4) (1) B2r+1( q ) sen [(2 r +1) η ] r= 0 tiene los mismos coeficientes que (2). Teniendo en cuenta que, para una dada excentricidad e, no es un dato de entrada el valor asociado de q para que se cumpla la condición (2) , el método que aquí se expone [ 6 ] permite establecer previamente una relación qi -> ei para un intervalo arbitrario q1 ≤ q ≤ q2 (q1 > 0 ) y hallar posteriormente una función polinómica q = q(e) . Así, conocida una elipse y desde un punto de vista práctico, será posible determinar con facilidad el correspondiente valor de q y en consecuencia , el modo y el autovalor asociado . Puede elegirse un intervalo [ q1, q2 ] representativo de un amplio conjunto de excentricidades, o bien hallar diferentes funciones q = q(e) para varios intervalos de e. Cálculo de los coeficientes B(1)2r+1( q ) y de la excentricidad. Adoptamos para los B(1)2r+1 ( q ) la condición de normalización [ 7 ] : [1/ B1(1) ]2 = 1 + (5 ) ∞ ∑ r =1 (1) 2 [ B (1) 2r +1 / B1 ] = 1 + ∞ ∑ r =1 (R 2 r+1 )2. Utilizando algoritmos con fracciones continuas convergentes [ 8 ] se pueden calcular los números R2r+1. Escribimos R3 = G3 = B(1)3 / B(1)1 = 1+ (b1-1) /q = 1 / (V3 - G5 ) con V3= (bj - 9)/q . Además definimos: Gm = 1 / ( Vm - Gm + 2 ) , ( m = 5,7,9,..) que genera una fracción continua para G3 ; Vm = (b j - m2 ) / q , ( j=1,2,3,..) y G 2p+1 = B(1) 2p+1 / B(1) 2p-1 , ( p =1,2,3,...) donde b j (q) son los números característicos de Mathieu para las funciones Se1( q1j ) y se1( q1j ). Para el caso que estamos tratando, j = 1. En estas condiciones, la raíz de menor valor b1 de la ecuación G3 - 1 1 1 .... V3 - V5 - V7 - = 0 , permite calcular R3 para un dado valor de q . Las otras cantidades R se obtienen de las fracciones generadas por r Gm (b1) pues R2 r+1 = ∏ G2 p+1 . Llevando estos valores a (5 ) puede calcularse B(1)1 y en consecuencia B(1)2 p=1 (1) = R2 r+1 . B 1 , lo que permite construir las funciones (3) y (4). Igualando a cero la función (3) para una suma finita hasta el coeficiente B(1)2 r+1, se halla la menor raíz ξ = ξ 1 . Finalmente, de las coordenadas elípticas resulta que e = 1/ Cosh ξ 1 ; excentricidad en correspondencia con el valor originalmente adoptado para q. r+1 Cálculo de la función q = q(e). Se debe eligir un intervalo de n valores qi que permitan calcular, mediante el método expuesto anteriomente, las excentricidades ei correspondientes. Con los n pares de valores o, en situaciones prácticas, una cantidad menor, se construye una función polinómica q = q(e) que pase por los puntos ( ei, qi ). DISCUSION DE RESULTADOS La Tabla I muestra un amplio intervalo de valores qi de entrada y las excentricidades correspondientes.Esta correspondencia, al relacionar solamente los qi con las ei, tiene un carácter general e independiente de los valores que se adopten posteriormente para los ejes de las elipses. El número de decimales exactos del autovalor k211 está determinado por la exactitud con la que se expresa la distancia focal h en la fórmula teórica indicada anteriormente, y no por el método aquí espuesto, pues siempre es posible hallar q11 con una exactitud mucho mayor que la correspondiente al dato de la distancia h, con sólo considerar una conveniente extensión de las fracciones continuas y aumentar consecuentemente el número de coeficientes B(1)2 r+1 . En la Tabla, las excentricidades calculadas , están expresadas con seis decimales exactos habiéndose considerado hasta r = 6 para el cálculo de los coeficientes B(1)2 r+1 . Para una elipse con e = 0,800 , el polinomio cuadrático en el intervalo [ 0.792714 , 0.804249] resultó : q( e ) = 86,6992 - 238,324 e + 170,949 e2 y en consecuencia q (0,8) = q11 = 5,44734. Utilizando este último valor, las fracciones continuas Gm (b1) fueron calculadas hasta m = 19 y por consiguiente ξ 1 (e) = 0,693145 obteniéndose para la condición de contorno la cantidad: 1,5x10-16 que, en valor absoluto, es la máxima diferencia con la condición (2) y proviene de los valores que para q11 tienen las funciones Se1 y se1 , esta última para η = π /2 y η =3 π /2 donde asume sus valores máximos y mínimos ,respectivamente. s El modo calculado se escribe finalmente: Φ11(ξ , η ) = Se1 (ξ , 5.44734 ) se1(η , 5.44734 ) y el autovalor asociado k211 = 4 q11/ h2 = 21,78936 /h2 . Para una elipse con e = 0,8 y un semieje mayor de 2 unidades, resulta un semieje menor de 1,2 unidades. Con s en un plano que contiene al eje menor de la elipse estos semiejes , la Fig. 1 muestra los valores del modo Φ11 y es perpendicular al plano de la misma. A lo largo del eje mayor, existe una línea nodal puesto que se1(0 , q11) = se1( π , q11 ) = 0. Para una elipse con e = 0,2 y el mismo valor para el semieje menor de 1,2 unidades, se obtuvo la autofunción: s Φ11 (ξ , η ) = Se1 (ξ , 0.151017)se1(η , 0.151017) y un k211 = 0,604068 /h2. El máximo error para la condición (2) resultó ser, en valor absoluto, 9,04x10-16. La Fig.2 muestra los valores de esta última autofunción en un plano que contiene al eje menor de la elipse y es perpendicular al plano de la misma. Las Figs 1 y 2 indican que la amplitud del modo para una alta excentricidad, y salvo una constante multiplicativa, es muy pequeño comparado con el correspondiente a una baja excentricidad. Tabla I. Correspondencia entre valores de q y e . q e q e 0.1 0.163378 2.6 0.666439 0.2 0.228730 3.6 0.729287 0.4 0.317089 4.6 0.772658 0.8 0.431389 5.2 0.792714 1.2 0.509075 5.4 0.798645 1.6 0.567326 5.6 0.804249 2.0 0.613164 5.8 0.809550 s sobre un plano Fig. 1 Valores del modo Φ11 perpendicular a la elipse y que contiene al eje menor, para e = 0,8. s sobre un plano Fig. 2. Valores del modo Φ11 perpendicular a la elipse y que contiene al eje menor, para e = 0,2. APLICACION Los resultados anteriores permiten calcular la frecuencia de corte fc [ 9 ] y la longitud de onda de corte λc para una onda electromagnética que se propaga en el modo TM11 en una guía de ondas cilíndrica de sección transversal elíptica. En una guía metálica con aire como dieléctrico en su interior, la componente Ez,11 (ξ , η ) del campo eléctrico satisface una ecuación del tipo (1) y las condiciones (2), donde z representa la dirección longitudinal de la guía. Para una elipse con e = 0,8 y 1,2 cm de semieje menor resulta h = 1,6 cm, entonces : fc = c k11 / 2 π = 3.10 10 ( q11) 1/2 /h π = 1,39.1010 s-1 y λc = 2 π / k11 = π h/ ( q11)1/2 = 2,1 cm. CONCLUSIONES El método aquí expuesto para el cálculo de q11 permite determinar, de manera simple, el modo 2 autovalor k 11 . El modo c Φ11 expresado mediante funciones cosenos de Mathieu y modos 2 superiores con sus autovalores asociados k utilizados aquí. nj Φn j s Φ11 y el de órdenes 2 = 4 qn j / h , pueden hallarse mediante algoritmos similares a los REFERENCIAS [ 1 ] Morse, P.M., and Feshbach,H., Methods of Theoretical Phisics. N.Y. McGraw-Hill.1970. [ 2 ] Chen,G., Morris,P.J., and Zhou,J., Visualization of Special Eigenmode Shapes of a Vibrating Elliptical Membrane. SIAM Review. 36(3).1994. [ 3 ] Allievi,A.,and Soudack,A., Ship Stability via the Mathieu equation.Int.J.Control. 51.1990. [ 4 ] Hettich,R.,Haarem,E.,et al,Acurate numerical approximations of eigenfrequencies and eigenfunctions of elliptic membranes.ZAMM, 67.1987. [ 5 ] Adamchik,V.,et al,Guide to Standard Mathematica ® Packages.V.2.2.T. Report.W. Research Inc. 1993 [ 6 ] Gallardi,C.M., Método para calcular el modo fundamental de la ecuación de Helmholtz en un recinto elíptico. Comunicaciones Científicas y Tecnológicas. Tomo IV. UNNE.1998. [ 7 ] Angot ,A., Moderna Matemática para Ingenieros.Ed. Nigar. Buenos Aires. 1964. [ 8 ] Abramowitz, M., and Stegun, I., Handbook of Mathematical Functions. Dover Publ. Inc. N. Y. 1972. [ 9 ] Jackson,J.D., Electrodinámica Clásica.Alhambra.S.A.Madrid.1966.