Tarea V Tópicos actuales en F´ısica clásica (2002

Tarea V
Tópicos actuales en Fı́sica clásica (2002-02)
Introducción a la Fı́sica No lineal
Prof. Marcel G. Clerc
1) Sistema Hamiltoniano Considere una partı́cula
puntual de masa m = 1 bajo la influencia de un potencial
biestable, el cual tiene la forma
V (x) = −
3-a Encuentre y clasifique todos los puntos de equilibrio del sistema.
3-b Dibuje el espacio de fase de todas las formas que
ud. considere apropiada e interprete las diferentes trayectorias.
3-c Encuentre la expresión análiticas de las curvas heteroclinas que conectan los puntos hiperbólicos.
3-d ¿Las ecuaciones anteriores son Hamiltonias?.
Muestre que el modelo anterior es reversible, es decir,
encuentre la transformación de reversibilidad.
x2
x4
+ .
2
4
1-a Encuentre y clasifique todos los puntos de equilibrio del sistema.
1-b Dibuje el espacio de fase de todas las formas que
ud. considere apropiada e interprete fisicamente las diferentes trayectorias.
1-c Encuentre las expresiones analı́ticas de las curvas
homoclinas en este sistema.
1-d Muestre que los sistemas conservativos (Hamiltonias) no pueden tener atractores ni repelores.
4) Ondas en un Laser Anillo: Un laser anillo es
un laser con una cavidad configurada de manera que permita la emisión de ondas viajeras en sentido opuesto. El
campo eléctrico al interior de la cavidad tiene la forma
~
E(x)
= A(x, t)ekz−wt ~x + B(x, t)e−kz−wt ~x + c.c.
2) Circuito Eléctico: Considere un circuito eléctrico
formado por una bobina, un capacitador y una resistencia
en serie, como lo ilustra la figura. La bobina, el capacitador y la resistencia son cracterisadas por los parámetros
L, C y R respectivamente, donde L, C y R son números
positivos o ceros.
donde A(x, t) y B(x, t) son las amplitudes de las ondas
izquierda y derecha. A partir de primeros principios uno
puede encontrar el siguiente modelo que da cuenta de la
interacción de la onda izquierda y derecha.
Ȧ = ²A − (|A|2 + γ|B|2 )A,
Ḃ = ²B − (|B|2 + γ|A|2 )B,
L
C
como función de los parámetros.
4-a Encuentre y clasifique todos los puntos de equilibrio del sistema.
4-b Dibuje el espacio de fase para las diferentes regiones de los parámetros e interprete las diferentes regiones de este.
R
FIG. 1. Circuito eléctrico.
2-a ¿cuál es la ecuación que describe la evolución de
la corriente en el circuito?
2-b Como función de los parámetros, caracterize los
diferentes tipos de equilibrio que puede exhibir el sistema.
3) Trayectorias Heteroclinas: Las trayectorias heteroclinas son las curvas separatrizes del espacio de fase.
considere el siguiente sistema de ecuaciones
ẋ = y − y 3 ,
ẏ = −x − y 2
el cual tiene un centro no lineal en el origen.
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