1. Encontrar una fórmula que exprese la suma parcial de las

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1. Encontrar una fórmula que exprese la suma parcial de las siguientes series y, si es posible,
determinar su límite. Este límite se conoce como la suma de la serie.

(a)  n1 n 3  n  1 3 
Solución:
Para determinar la fórmula que exprese la suma parcial de la serie analizaremos cual
es el comportamiento que tiene los términos de la misma.
S1  1  8
S 2  1  8  8  3  27
S 3  1  8  8  3  27  27  64
...
S n  1  8  8  3  27  27  64 . . . n  1 3  n 3   n 3  n  1 3 
S n  1  n  1 3
Por tanto la fórmula que nos permite expresar la suma parcial de la serie

 n1 n 3  n  1 3  es S n  1  n  1 3
Luego, lim S n lim 1  n  1 3   

(b)  n1
n
n
1
nn1n2
Solución:
Mediante fracciones parciales tenemos que:


1
1
1
1
  n1 2n
 n1
 2n2
 n1 nn1n2
Luego:
S 1  12  12  16
S 2  12  12  16
S 3  12  12  16
S 4  12  12  16
...
S n  12  12  16



1
4
1
4
1
4



1
3
1
3
1
3



1
8
1
8
1
8


1
6
1
6


1
4
1
4


1
10
1
10

1
10

1
6

1
14

1
4

1
3

1
8

1
6

1
4

1
10

1
10

1
6

1
14
1
. . .  n1

Si observamos a simple vista no podemos encontrar alguna fórmula que nos permita
expresar la suma parcial de la serie dada, pero observemos lo siguiente:
1
2n
1
1
1
1
1
1
 2n2
 2n
 2n1
 2n1
 2n2
n1

1
1
1
1
1
 n2
 n1
donde
n  n1
n1 2

1
1
1
 n1
son dos series telescópicas, por
n1 2
n2




1
2

 n1
1
2
1
n
1
n

1
n1
1
n1


1
n2

y
tanto para nuesra serie inicial
tenemos que:
1
1
S n  12 1  n1
  12  n2
 
1
1
 n2
Luego, lim S n lim 12  12  n1

n
n
1 1
1
1
 n2
  n1
2 2
1
 12  14
2

1
1
n1

(c)  n1
1
n3

1
n1 3
Solución:
Para determinar la fórmula que exprese la suma parcial de la serie analizaremos cual
es el comportamiento que tiene los términos de la misma.
S 1  1  18
1
S 2  1  18  18  27
1
S 3  1  18  18  27
 271  641
...
1
8
1
n1 3
Sn  1 
Sn  1 

1
8

1
27

1
27

1
64
. . .   n13 
1
n3

1
n1 3
Por tanto la fórmula que nos permite expresar la suma parcial de la serie
1
1
 1 3 es S n  1  n1

3
n3

n1
n1
Luego, lim S n lim 1 
n

1
n0
n
1
n1 3
1
(d) 
Solución:
Para determinar la fórmula que exprese la suma parcial de la serie analizaremos cual
es el comportamiento que tiene los términos de la misma.
S0  1
S1  1  1
S2  1  1  1
S3  1  1  1 
...
S n  1  1  1  1 . . . 1 . . .
Sn  n  1

Por tanto la fórmula que nos permite expresar la suma parcial de la serie  n0 1 es
Sn  n  1
Luego, lim n  1  
n
2
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