Funciones Inversas y Funciones Exponenciales

FUNCIONES INVERSAS
Funciones Uno-a-Uno
•
Una función f con dominio D y co-dominio o
rango R es una función uno-a-uno si satisface
al menos una de la siguientes condiciones
equivalentes.
1) Siempre que a ≠ b en D , f(a) ≠ f(b) en R .
2) Siempre que f(a) = f(b) en R, a = b en D .
Ejemplo:
• f(x) = x2 NO es uno-a-uno,
ya que f(2) = f(-2) = 4 , pero 2 ≠ -2 .
Función uno-a-uno

Cada valor de la
función en R
corresponde a
exactamente un
elemento en D .

Los valores del
campo de valores no
se comparten.
Ejemplo
Si f(x) = 3x + 2 , demuestre que f es uno-a-uno.
Solución:
a) Suponer que f(a) = f(b) para algún a y b en el dominio
de f . (Salidas iguales.)
b) Entonces, 3a + 2 = 3b + 2
c) 3a + 2-2 = 3b + 2 – 2
3a = 3b
3𝑎
3
=
3𝑏
3
Por consiguiente a = b .
d) Por lo tanto f es uno-a-uno, por la condición 2 de la
definición.
Ejemplo (cont.)
b) Si g(x) = x2 – 3 , demuestre que g NO es uno-a-uno.
Solución:
Aquí buscaremos dos números distintos en el dominio que
producen el mismo valor para la función.
Como g es una función par, existen muchas posibilidades:
•
•
•
•
Existe al menos un valor
g(-1) = g(1) = -2
de y en el recorrido que
g(-2) = g(2) = 1
corresponde a más de un
valor de x en el dominio.
etc.
Por lo tanto, g(x) = x2 – 3 , NO es uno-a-uno
Prueba de la línea horizontal
• Esta prueba dice que una función f es uno-auno si cada línea horizontal interseca la gráfica
de f en no más de un punto.
Aquí f NO
uno-a-uno.
Ejemplo
Use la prueba de la línea horizontal para
determinar si f(x) = 3x + 2 es uno-a-uno:
• Construir la gráfica de
f…
• Luego realizar la
prueba de la línea
horizontal.
• f es uno-a-uno …
Ejemplo
Use la prueba de la línea horizontal para
determinar si g(x) = x2 – 3 es uno-a-uno.
• Construir la gráfica de f…
• Luego realizar la prueba
de la línea horizontal.
• g NO es uno-a-uno, ya que
existe al menos una línea
horizontal que interseca la
gráfica de g en dos puntos.
Funciones crecientes/decrecientes
• Una función que es creciente en
todo su dominio es uno-a-uno;
• Una función que es decreciente en
todo su dominio es uno-a-uno;
Funciones Inversas
• Si f es una función uno-a-uno, definida de D a R,
y = f(x), entonces
podemos definir una función g de R a D
mediante la regla x = g(y) .
• El diagrama muestra que g invierte la
correspondencia definida por f :
• Llamaremos g la función inversa de f y
escribimos 𝑔 = 𝑓 −1 (𝑥) .
Teorema sobre funciones inversas
• Sea f una función uno-a-uno con dominio D
y rango R .
• Si g es una función con dominio R y rango
D , entonces g es la función inversa de f si y
solo si se cumple lo siguiente :
– g(f(x)) = x para todo x en D
– f(g(y)) = y para todo y en R
• A la función g que es la inversa de f, le
designamos la notación f-1 (x).
Ejemplo
Determinar si g(x) =
de f(x) = 4x + 12.
1
x
4
– 3 es la función inversa
Ejemplo
• Hallar la función inversa de f(x) = 3x - 5 :
Graficas de
-1
f
• Como una funcion y su inversa intercambian
su dominio y rango,
– el punto (a, b) está en la gráfica de f si y solo
si…
– el punto (b, a) está en la gráfica de f -1 .
• Las gráficas de f(x) y f -1(x) son reflexiones
sobre la recta y = x.
Ejemplo: Trace las gráficas de
f(x) = 3x - 5
x
-3
-1
0
1
3
𝑓 −1 (𝑥)
𝑥+5
=
3
f(x)
x
f-1 (x)
-14
-14
-3
-8
-5
-2
4
-8
-5
-2
4
-1
0
1
3
Ejemplo: Determine, f -1 (x), si existe,
para f(x) = 𝑥 + 3
Trace la gráfica de la función inversa
de la función que se muestra. X Y
f(x)
-7
3
0
2
1
1
2
0
9
-1
Dominio f(x): [-7,9]
Rango f(x): [-1, 3]
FUNCIONES
EXPONENCIALES
Funciones exponenciales
• Anteriormente han considerado ecuaciones de potencia
que tienen la variable en la base y una potencia
constante.
(base variable) (potencia constante) ,
tales como x2 , 4x3 , 8x , etc.
• Ahora, revisaremos ecuaciones con términos de la forma
(base constante) (potencia variable) ,
tales como 2 x , 4x , ½ x , etc.
Ejemplo
• Definimos f(x) = 2x
• Mostramos algunos
valores para esta función
y una gráfica :
Notamos:
• f(x) es creciente en todo su dominio.
• Dominio: Todos los reales
• Campo de valores: (0,∞)
Ejemplo
• Definimos g(x) =
𝟏𝒙
𝟐
• Mostramos algunos𝒙 valores para g:
f(x) = 2x
𝟏
g(x) = 𝟐
Notamos:
• g(x) es decreciente en todo su dominio.
• Dominio: Todos los reales
• Campo de valores: (0,∞)
Definición
• La función exponencial, f(x) = ax, (para a , un
número positivo diferente de 1 y x ,
cualquier número real) tiene las siguientes
características
Gráficas de Funciones Exponenciales
• Se observa que si a>1, y= ax
es una gráfica creciente.
• Sean f(x) = ax y g(x) = bx
funciones exponenciales. Si
a>1, b>1 y a>b, entonces:
– g(x) > f(x) para x<0
– f(x)> g(x) para x>0
• Decimos que f(x) crece más
rápido que g(x) para x > 1.
Teorema
• Las funciones exponenciales son crecientes o
decrecientes en todo su dominio
(monotónicas).
• Una función monotónica es una función unoa-uno.
• La propiedad uno-a-uno de las funciones
exponenciales nos permite resolver
ecuaciones exponenciales sencillas.
Ejemplo
• Hallar x tal que 73x = 72x + 5.
Ejemplo
Resolver para x, 2x – 3 =
Solución:
𝟏𝒙+𝟒
𝟐
Ejemplos
• Resolver para x, 35x – 8 = 9x + 2
Ejemplo
Obtener una ecuación de la forma
f(x) = b(ax ) para la gráfica
Solución: