Taller sobre integrales y funciones inversas

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II
Taller sobre integrales y funciones inversas
Éstos son algunos problemas para estudiar para el parcial 3 el 25 de octubre.
Discutiremos las soluciones durante las clases de la semana del 21 al 24 de
octubre. No son para entregar.
Problema 1: Recordemos que si f (x) = sin−1 (x) (la función inversa de
seno), entonces dom(f ) = [−1, 1] y (por convención) el rango de valores de f es
[−π/2, π/2], y
1
.
f 0 (x) = √
1 − x2
(a) Encuentre el valor exacto de
Z
√
2/2
√
0
1
dx.
1 − x2
(b) Encuentre el ínfimo y el supremo de los valores de f 0 (x) sobre el intervalo
√
(0, 2/2).
(c) Utilize la parte (b) para demostrar (sin usar una calculadora) que
√
2
π
≤ ≤ 1.1
2
4
Problema 2: Integrales indefinidas: para cada función abajo, encuentre
todas sus antiderivadas (generalmente esto será en términos de uno o más
constantes arbitrarios).
(a)
f1 (x) =
√
5
x + 2 · sec2 (x) + 4;
Z
f1 (x) dx = ???
(b)
Z
f2 (x) = cos(2x + 2);
f2 (x) dx = ???
(c)
Z
f3 (x) = |x|;
f3 (x) dx = ???
1 Si alguna vez se preguntó cómo se calculan los dígitos de π: una manera es por aproximar
integrales como ésta, y se puede encontrar cotas para la integral utilizando particiones cada
vez más finas del intervalo de integración.
1
Problema 3: Integrales definidas: se puede utilizar el Teorema Fundamental de Cáculo, si aplica.
(a)
4
Z
x3 + cos(x) dx = ?
1
(b)
2π
Z
4 · | cos(x)| dx = ?
0
(c)
Z
lim+
a→0
1
a
1
√ dx = ?
x
(d) Halle el área de la región finita entre las curvas y = 2x3 y y = x4 .
Problema 4: Sea f (x) = x3 + x.
(a) Pruebe que f es uno-a-uno (sobre todo R), y por lo tanto tiene una
función inversa f −1 .
(b) Calcule (f −1 )0 (0).
Problema 5: Más funciones inversas!
g
(a) Sea g(x) = x5 + 3x3 + 2x + 1. Explique porque existe una función inversa
cuyo dominio es todo R. ¿Cuál es el rango de g −1 ?
−1
(b) Para la función g arriba, calcule (g −1 )0 (1).
(c) Sea h(x) = sin(x) − x, y explique porque existe una inversa h−1 .
(d) ¿Cuál es el dominio de (h−1 )0 ?
(e) Sea k(x) = (sin(x))3 , pero sólo para x en el intervalo (0, 1) (el dominio
de k es (0, 1)). Pruebe que k −1 existe. ¿Cuál es el dominio de k −1 ? ¿Cuál es
su rango? ¿Cuál es el valor de
√
−1 0 2 2
)?
(k ) (
8
2
Problema 6: Verdadero o falso. Si es verdadero, intente dar una explicación
basada en los teoremas de la clase; si es falso, dé un contraejemplo.
(a) Si las funciones f y g son uno-a-uno y tienen dominio todo R, entonces
f + g es uno-a-uno.
(b) Si f es continua y uno-a-uno con dominio todo R, entonces f −1 es continua.
(c) Si f es continua y uno-a-uno con dominio todo R, entonces toda antiderivada de f es uno-a-uno.
(d) Si f y g son ambos uno-a-uno, entonces la composición f ◦ g también lo
es.
Problema 7: Supongamos que miramos un libro de integrales (antes del
internet se publicaban libros con nada más que listas de antiderivadas), y encontramos la fórmula
Z
p
sin−1 (x) dx = x · sin−1 (x) + 1 − x2 + C
donde C es cualquier constante, y se entiende que x está en el intervalo
[−1, 1].
(a) Use esto para calcular
1
Z
sin−1 (x) dx.
0
(b) Calcule
Z
1
sin−1 (x) dx.
−1
¿Se sorprende el resultado? Intente dar una explicación sencilla de por qué su
respuesta es correcta.
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