Diseño de Compensadores y Controladores

PS-2320
Control de Procesos II
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XI. COMPENSACIÓN UTILIZANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES
El lugar geométrico de las raíces representa la ubicación de las raíces de la ecuación
característica a lazo cerrado cuando se varía un parámetro (generalmente, la ganancia de
lazo abierto). A partir del mismo se puede tener una muy buena idea del comportamiento
temporal del sistema.
Es por ello, que se utiliza para diseñar compensadores y/o
controladores cuando los requerimientos de los mismos sean requerimientos temporales
(Ejemplo: ess, Mp, ts).
Para visualizar la variación que puede tener el comportamiento de un sistema al añadir
polos o ceros, se mostrará inicialmente ambos casos y luego se concretará al estudio de los
compensadores sobre la respuesta del sistema.
11.1
11.1.1
VARIACIÓN DEL LGR AL AÑADIR POLOS O CEROS
Adición de Polos:
Al Lugar Geométrico de las Raíces que se muestra en la figura 1.1 (i) se le añadirán polos
para observar su efecto:
FIGURA 11.1. ADICIÓN DE POLOS EN UN LGR
( i ) El sistema es estable para todo K, la respuesta siempre será exponencial pues, las
raíces son siempre reales. A medida que aumenta K, el tiempo de establecimiento y el error
disminuyen debido a que la raíz del sistema a lazo cerrado se traslada hacia la derecha.
( ii ) Al añadir un polo en el origen, mejora el error drásticamente pues aumenta el tipo del
sistema, pero el tiempo de establecimiento desmejora. La respuesta puede ser oscilatoria,
pues aparecen raíces imaginarias, pero sigue siendo estable para todo K.
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( iii ) Al añadir otro polo, mejora aun más la respuesta permanente pero, desmejora la
respuesta transitoria y se ve afectada la estabilidad, pues ahora existe un valor límite de la
ganancia.
11.1.2. Adición de Ceros:
Para analizar el efecto de añadir ceros se partirá del LGR mostrado en la figura 1.1 (iii)
(i)
(ii)
FIGURA 11.2. ADICIÓN DE CEROS EN UN LGR
( i ) Al añadir un cero al sistema de la figura (iii), este pasa a ser estable para todo K y
mejora la respuesta transitoria.
( ii ) Al añadir otro cero, la variación del LGR muestra que los polos dominantes del
sistema se trasladan hacia la izquierda, lo que implica una mejora en respuesta transitoria.
Dependiendo de la ubicación de los ceros, el tiempo de establecimiento variará.
Se puede observar que, al añadir polos o ceros en el lazo directo se logra modificar el
Lugar Geométrico de las Raíces (LGR), lo que se traduce a una modificación en la
respuesta temporal a lazo cerrado.
Además, se puede concluir que la adición de polos en el origen mejora la respuesta
permanente, desmejorando la respuesta transitoria, en cambio, la adición de ceros mejora la
transitoria. A continuación se procederá a mostrar los procedimientos de diseño para añadir
distintos tipos de compensadores adelanto, atraso y adelanto - atraso
11.2
COMPENSACIÓN EN ADELANTO:
La función de transferencia del compensador es igual a la estudiada anteriormente para el
caso frecuencial, donde 0,07 < α < 1, por lo que el máximo ángulo que proporcionará el
adelanto será de 60º.
 Ts + 1 
Gc(s) = α 
Kc
 αTs + 1 
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El cero ocurre en s = -1/τ, y el polo en s = -1/ατ, tal como se muestra en la figura 11.3, a
partir de alli se observa que el valor del ángulo del cero es γ y el ángulo del polo es β, por
lo que, al añadir el compensador en adelanto, la condición de ángulo se verá modificada en
un valor igual a φ = γ - α, tal como se observa en la figura 11.3. Debido a ésto, este tipo de
compensador se utiliza cuando es necesario modificar el L.G.R. para mejorar la respuesta
transitoria del sistema a lazo cerrado.
αz > αp
αp
−1/ατ
Polo deseado
αz - αp = φ
αz
−1/τ
φ : ángulo proporcionado por adelanto
FIGURA 11.3 CERO Y POLO DEL ADELANTO
11.2.1
PROCEDIMIENTO DE DISEÑO
1) A partir de las especificaciones que debe cumplir el sistema a lazo cerrado, se
determina la localización de los polos dominantes deseados (P.D.D)
2) Se traza el lugar geométrico de las raíces del sistema no compensado y se verifica si los
polos dominantes deseados pertenecen al LGR. Si no se dispone del LGR se verifica
utilizando la condición de ángulo.
3) Para introducir la red de adelanto se pueden utilizar dos procedimientos:
a) Se calcula el ángulo necesario para que los polos dominantes deseados pertenezcan
al LGR. (φ). Se ubica el cero del compensador abajo del polo dominante deseado.
(Ver figura 11.4)
FIGURA 1.4. PRIMER
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MÉTODO GRÁFICO PARA EL ADELANTO
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Se ubica el polo de forma tal que se satisfaga la condición de ángulo αz - αp = φ
b) Se traza una horizontal que pase por el polo dominante deseado y una recta que una
el origen con el polo dominante deseado ( figura 1.5). Se traza la bisectriz y de allí
se trazan dos rectas a φ / 2 de cada lado, lo que ubica el polo y el cero del adelanto.
Bisectriz
Z... Cero del Adelanto
P... Polo del Adelanto
φ/2 φ/2
P
Z
FIGURA 11.5 SEGUNDO MÉTODO GRÁFICO PARA EL ADELANTO
4) Sea cual sea, el método de diseño, se debe calcular por condición de Módulo la
ganancia tal que, los polos dominantes deseados sean la solución de la ecuación
característica.
EJEMPLO 11.2.2
Para un sistema como el siguiente:
FIGURA 11.6 ESQUEMA DE CONTROL
Diseñe un compensador tal que, los polos dominantes deseados sean s = −3 ± 2 3 j
SOLUCIÓN:
1) Se verifica si los PDD pertenecen al lugar geométrico de las raíces Como la función de
transferencia a lazo abierto es muy sencilla, es fácil dibujar el LGR tal como se muestra en
la figura 11.7. Gráficamente se observa que el polo dominante deseado no pertenece al
LGR.
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Polo
dominante
2 3
α
β
-3
FIGURA 11.7 LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PARA EL EJEMPLO 11.2.2
2) Se debe calcular numéricamente el valor de φ a añadir utilizando la condición de
ángulo. Para ello se calcula el ángulo de G (s) =
G
G
G
PDD
PDD
PDD
5
s(0,5s + 1)
para s = PDD
= ∑ ceros − ∑ polos = 0 – (α + β)
(
) (
)
= − − 3 + 2 3 j − 0,5 ⋅ (−3 + 2 3 j) + 1
= -130,89° - 106,11° = - 237° ≠ - 180°
Por ello se debe añadir φ = 57°, para satisfacer la condición de ángulo.
3) Utilizando el primer procedimiento se añade el cero en s = - 3, y se obtiene
numéricamente el valor del ángulo del polo tal como se muestra continuación (figura 11.8).
3,464
φ = αz - αp = 57º
90º
αp
αp = αz - φ = 33º
X
-3
FIGURA 11.8 EJEMPLO 11.2.2
tg 60º = 3,464/ x
→ x = 5,3333
Por lo tanto el cero estará en s = - 3 y el polo en s = - 8,33333
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4) Finalmente, la ganancia para que ese punto sea el polo dominante deseado se calcula
utilizando la condición de módulo:
K
(s + 3)
5
=1
(s + 8,33) s(0,5s + 1) PDD
K = 3,0333
De allí, que el compensador a añadir tendrá la siguiente función de transferencia.
Gc = 3,0333
(s + 3)
(s + 8,333)
11.3 COMPENSACIÓN EN ATRASO
Para un sistema que tiene buenas características de respuesta transitoria pero no satisface
los requerimientos en respuesta permanente se utiliza la compensación en atraso.
Esencialmente, un compensador en atraso aumenta la ganancia de lazo cerrado sin
modificar apreciablemente el lugar geométrico de las raíces. Para ello, se colocan el cero y
el polo de la red de atraso cerca del origen la cual tiene la siguiente función de
transferencia:
G C (s ) = K C β
s +1 T
Ts + 1
= KC
s + 1 βT
β Ts + 1
El cero y el polo del atraso se colocan muy cerca del origen, por lo que la red de atraso no
tendrá prácticamente ningún efecto sobre la condición de módulo y la condición de ángulo,
es decir,
G C (s )
G C (s )
PDD
PDD
= KC
s +1 T
s + 1 βT
≈1
(Kc = 1)
PDD
< 5°
Por lo tanto, si la función de transferencia de lazo directo, evaluada para PDD, satisface la
condición de ángulo y la condición de módulo, al añadirle Gc(s), éste no se verá afectado.
De allí que sólo queda verificar que la nueva función de transferencia a lazo directo GH(s)
Gc(s), tendrá una variación en el error igual a β
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G c (s) GH(s ) = β
7
Ts + 1
GH(s )
β Ts + 1
Así se comprueba que la ganancia de lazo directo se verá modificada en un valor igual a β,
lo que aumenta el coeficiente de error en el mismo factor β.
PROCEDIMIENTO DE DISEÑO
1) Verificar que los polos dominantes deseados pertenezcan al lugar geométrico de las
raíces.
2) Calcular el valor de β necesario para satisfacer coeficientes de error
K requerido
K no
compensado
=
1T
=β
1 βT
3) Se ubica el cero cerca del origen y con el valor de β se calcula la posición del polo.
4) La contribución del ángulo no debe ser mayor de 5º
5) Se verifica la condición de módulo y de ángulo para garantizar que el polo dominante
deseado pertenezca al lugar geométrico de las raíces después de incluir el compensador.
6) Se verifica que se satisfaga el error.
EJEMPLO 11.3.1
Para el siguiente sistema, se desea que los polos dominantes deseados sean s = −2 ± 2 3 j y
se satisfaga un Kv = 20
FIG. 11.9 ESQUEMA DEL SISTEMA
1) Se verifica que los polos dominantes deseados pertenezcan al LGR. Ya que el LGR es
tan simple, por simple inspección, se observa que los PDD, sí pertenecen al lugar
geométrico de las raíces, se verifica también usando la condición de ángulo.
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PDD = s1
s1 = −2 ± 2 3 j
s1 = −2 ± 3,4641j
FIG. 11.9 LGR DEL SISTEMA
G (s)
PDD
G (s)
PDD
=− s
=
PDD
− (s + 4)
PDD
= −120° − 60° = −180°
K
=1
4× 4
Se calcula el Kv del sistema no compensado
K v = lim s ⋅ G (s) = 16 / 4 = 4
s →0
Como no satisface, se debe añadir un atraso.
K requerido
K no
=
compensado
1T
= β → β = (20 /4) = 5
1 βT
Se escoge el cero en s = 0,05. Por lo que el polo estará en:
s=
0,05
= 0,01
β
G C (s) =
s + 0,05
s + 0,01
Se comprueba G c (s)
G c (s)
G c (s)
PDD
PDD
=
PDD
y G(s)
PDD
4,0252
= 1,005
4,005
= 120,6164 º - 120,1239 º = 0,4925 º
A partir de la función de transferencia de lazo directo final se verifica Kv:
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 s + 0,05 
K v = lim s ⋅ G c (s)G (s) = 
= 5 × 4 = 20
×
s→0
 s + 0,01  s(s + 4 )
11.4 COMPENSACIÓN ADELANTO –ATRASO
Este compensador se añadirá cuando se necesite modificar las condiciones de la respuesta
transitoria y permanente. Su diseño puede ser realizado a partir del diseño separado de la
red de atraso y la red de adelanto, es decir, se diseña inicialmente la red de adelanto tal que
los polos dominantes deseados (PDD), pertenezcan al Lugar Geométrico de las Raíces y
luego a través del atraso se logra la ganancia deseada en lazo directo que satisfaga el error.
Para ilustrar el método se realiza el siguiente ejemplo.
Se desea que el sistema que se muestra en la figura 11.10, cumpla con los siguientes
requerimientos:
EJEMPLO 11.4.1
Se desea que el Kv = 20, ζ =0,5 y ts 2% = 2
FIGURA 11.10 ESQUEMA DE CONTROL DEL EJEMPLO 11.9.1
1) Se ubican los PDD.
Si ξ = 0,5 → θ = 60°
ts 2% =
1 − ξ2
tg θ =
ξ
4
=2
ξw n
PDD = s1 = - 2 + tg 60° x 2 = - 2 + 3,46j
2) Debido a que no se dispone del LGR exacto del sistema original, se verificará
numéricamente si los PDD pertenecen o no al LGR original.
G (s )
PDD
=− s
PDD
− (s + 1)
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PDD
− (s + 5)
PDD
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G (s )
PDD
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10
= −120° − 106,12° − 49,07° = −275,19°
El ángulo necesario para que el PDD pertenezca al lugar geométrico de las raíces será la
diferencia entre –275° y -180°
φ = 95°
Esto implica que es necesario introducir una red de adelanto que satisfaga dicha condición
de ángulo. Como el φmax = 60°, se deben añadir dos compensadores por adelanto.
3) Se utiliza el segundo método para ubicar el cero y el polo del adelanto, (Figura 11.11)
Bisectriz
αp
60º
γ
x
y
FIGURA 11.11 DISEÑO
DEL COMPENSADOR POR ADELANTO
ADELANTO DOBLE
φ = 47,5° → φ/ 2 = 23,75°
Se observa que γ = 30º - 23,75° = 6,25° → αz = 90º - γ = 83,75°
tg β = 3,46/ x → x = 0,3789
La ubicación del cero del adelanto está en s = - 2,3789
Para ubicar el polo volvemos al gráfico de la figura 11.11
αz + 90° +(30° + φ/2) = 180°
αz = 36,25° → tg αz = 3,46/y → y= 4,7188
La ubicación del polo será: en s = - 6,7188
G Ad
 s + 2,38 
= K Ad 

 s + 6,72 
2
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G Ad (s)
PDD
11
= 2 (83,73) – 2(36,24) = 94,97°
de allí que se añade el ángulo necesario.
Se calcula KAd para que se satisfaga la condición de módulo:
G(s) G (s) Ad
PDD
=1
K Ad (s + 2,38)
1
=1
s(s + 1)(s + 5) (s + 6,72 )2
2
1
K Ad (3,48)
=1
(3,99)(3,60)(4,58) (5,85)2
2
G (s) G Ad (s) =
→
186,37 (s + 2,38)
KAd = 186,37
2
s (s + 1)(s + 5)(s + 6,72 )
2
Teniendo completa la función de transferencia de lazo directo se calcula Kv
K V = lim = s G(s) Gc(s) = 4,68
→
s →0
NO SATISFACE LA CONDICIÓN DE ERROR !!!
SE UTILIZA UN ATRASO!!
β=
K requerida
→
K original
Cero en s = 0,05
PDD
Gc(s) At
Gc(s) At
=
s + 0,05
s + 0,0117
PDD
PDD
→
β = 4,27
sirve con un atraso simple.
Polo en s = 0,0117
Se verifica Gc(s)At y
G At
20
4,68
β=
Gc(s) At
=
PDD
= (s + 0,05)
3,9717
= 0,9953
3,9906
PDD
→
− (s + 0,0117)
= 119,4049° − 119,884° = −0,47°
OK!!!
PDD
→ ∆φ = - 0,47° (< 5°) OK!!
186 (s + 2,38) (s + 0,05)
2
G (s)Gc(s) Ad Gc(s) At =
s (s + 1)(s + 5)(s + 6,72 ) (s + 0,0117 )
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Kv final =
186 (2,38)2 (0,05)
(5)(6,72 )2 (0,0117 )
= 19,94
12
→ Satisface Kv !!!
11.5. DISEÑO DE CONTROLADORES USANDO EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES
Los controladores también pueden ser diseñados utilizando el Lugar Geométrico de las
Raíces, a partir del cual es posible determinar los parámetros de cada controlador tal que
satisfagan los requerimientos establecidos.
Los controladores a estudiar serán los siguientes:
•
Proporcional ( P )
•
Proporcional Derivativo ( PD )
•
Proporcional Integral ( PI )
•
Proporcional Integral Derivativo ( PID )
11.5.1 PROPORCIONAL ( P )
Gc(s) = Kp
Ajustar el valor de la ganancia K en un controlador proporcional será como moverse en el
LGR hasta lograr la respuesta deseada, tanto transitoria como permanente. Con ello se
logra modificar tanto la respuesta transitoria como la respuesta permanente, pero en forma
limitada.
11.5.2
PROPORCIONAL DERIVATIVO ( PD )
La función transferencia del controlador puede ser escrita como:
Gc(s ) = K p (1 + sTd ) = K p ⋅ Td  s + 1 
Td 

Consiste en ubicar un cero en 1/Td y el valor de Kp tal que se satisfagan los requerimientos.
11.5.3
PROPORCIONAL INTEGRAL ( PI )

1
Gc(s ) = K p 1 +
 sTi

1 + sTi 
1 Ti + s 
 = K p 
 = Kp 

 s 

 sTi 
Consiste en ubicar un polo en el origen y un cero en s = - 1/ Ti tal que se logre el objetivo
deseado, además de fijar Kp.
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11.5.4
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13
PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO ( PID )
 sTi + s 2 Ti Td + 1

1 
 = K 
Gc = K p 1 + sTd +

sTi 
sTi



Consiste en ubicar dos ceros y un polo en el origen tal que se satisfagan los requerimientos.
A continuación se mostrarán diferentes ejemplos para ilustrar los procedimientos de cada
caso.
EJEMPLO 11.5.1
Para un sistema cuya FTLA es G =
1
se necesita que el sistema a lazo cerrado
s(s + 1)(s + 3)
satisfaga los siguientes requerimientos:
-
Error al escalón unitario menor que 0,1
-
Polos dominantes s = -1 + 2j
LGR sistema original
FIGURA 11.12. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES PARA EL EJEMPLO 11.5.1
Claramente el polo dominante deseado no pertenece al LGR pero el error siempre se
satisface por ser un sistema de tipo 1.
DISEÑO:
1) Se utilizará un controlador PD para mejorar la respuesta transitoria.
Gc = K p (1 + sTd ) = K p ⋅ Td  1 + s 
 Td

El ángulo necesario a añadir será:
∠GPDD = - ∠sPDD - ∠(s+1)PDD - ∠(s+3)PDD
∠GPDD = - 116,56° - 90° - 45° = - 251,56°
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El ángulo necesario a añadir con el cero será φ = 71,56°. (Ver figura 11.13)
tg φ = 2 /x
→ x = 0,667
Por lo tanto el cero estará en s = - 1,667.
FIGURA 11.13. ANGULO A AÑADIR UN CERO
Finalmente, se calcula la ganancia para que se satisfaga la condición de módulo.
GGc = 1
1(K ⋅ Td )(s + 1,667 )
=1
s(s + 1)(s + 3)
(K ⋅ Td )(2,1083)
=1
(2,236 )(2)(2,8284 )
Como
→ K⋅Td = 5,9995
1/ Td = 1,667 →
K = 9,999 ≈ 10
EJEMPLO 11.10.2
Para un sistema, cuya función de transferencia es G (s) =
1
, diseñe Gc ( P, PI,
(s + 1)(s + 5)
PD, PID) tal que satisfaga los siguientes requerimientos:
Kv = 20
ts 2% < 1
wd = 2
FIGURA 11.14. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES
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15
A partir de los requerimientos de ts y de ωd se obtienen los PDD = - 4 + 2j
1) Se escoge un PID pues se necesita mejorar el error drásticamente y también la
transitoria
2) Gc = K
(s + a )(s + b )
s
Hay infinitas soluciones.
∠GPDD = - ∠(s+1)PDD - ∠(s+5)PDD
∠GPDD = - 146,3° -63,43° = -209,76°
GPDD = 3,605
Tal como se había dicho, el PDD no pertenece al LGR, se necesita un adelanto de φ = 30°
que se logrará con los ceros, considerando también el ángulo añadido por el polo en el
origen.
Para calcular el ángulo que deben añadir los ceros se realiza a partir del ángulo φ.
φ = 30° = − (s + 4)
PDD
− (s + 6)
PDD
− s
PDD
+ ceros
PDD
ceros = 30º +153,43º
Si se fija uno de los ceros en s = - 4 , entonces el otro se fija para satisfacer la condición de
ángulo descrita anteriormente.
ceros = 90º + γ
γ = 93,43º
γ = 93,43°
tg(180-γ) = 2/ X → X =0,1199
FIGURA 11.15. DETERMINACIÓN DEL CERO
El otro cero estará en s = -3, 88
Gc = K
(s + 4 )(s + 3,88)
s
Para establecer el valor de K se hace por condición de modulo:
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GGc PDD =
16
1
K (2 )(2 )
=1
(2,2361)(3,605) (4,4721)
K= 9,01
K v = Lim s ⋅ GG c =
s→0
9 ⋅ 4 ⋅ 3,88
= 27,93
5
→ Satisface la condición Kv >20
Si no se logra satisfacer Kv, se debe reubicar los ceros.
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