1 Mezclas. E: Un depósito contiene 100 gal de salmuera en la que

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Mezclas.
E: Un depósito contiene 100 gal de salmuera en la que hay disueltas 40 lb de sal. Se desea reducir
la concentración de sal hasta 0:1 lb/gal vertiendo agua pura en el depósito a razón de 5 gal/min
y permitiendo que salga a la misma razón. La mezcla se mantiene uniforme.
¿Cuánto tiempo pasará hasta que se logre lo deseado?
D: H Si X.t/ es la cantidad (en libras) de sal que hay en el tanque al cabo de t minutos, entonces
X.0/ D 40. Además:
La rapidez con que entra solución al tanque:
Re D 5 gal/min.
La concentración de sal en la solución que entra: Ce D 0 lb/gal.
La rapidez con que entra sal al tanque:
Re Ce D 2.0/ lb/min.
La rapidez con que sale la mezcla del tanque:
Rs D 5 gal/min.
La cantidad de solución en el tanque es constante:
V D 100 gal.
X.t/
lb/gal.
100
X.t/
La rapidez con que sale sal del tanque:
Rs Cs .t/ D 5
lb/min.
100
La rapidez de cambio de la cantidad de sal en el tanque, en cualquier instante t 0, es
La concentración de sal en la mezcla que sale:
d
X.t/ D Re Ce
dt
Cs .t/ D
Rs Cs .t/ D 0
5
X.t/
D
100
1
X.t/:
20
La cantidad X.t/ está dada por la solución del PVI:
X 0 .t/ C
1
X.t/ D 0 con X.0/ D 40:
20
Resolvemos la ED lineal:
0
X .t/ D
Z
Z
1
X 0 .t/
1
)
dt D
dt )
20
X.t/
20
1
1
) lnŒX.t/ D
t C C ) X.t/ D e 20 tCC D e
20
X 0 .t/
1
X.t/ )
D
20
X.t/
) X.t/ D C e
1
t
20 :
La anterior es la solución general de la ED. Ahora:
X.0/ D 40 ) C e 0 D 40 ) C D 40:
Luego:
X.t/ D 40e
6. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010
1
t
20
lb de sal.
1
t
20 e C
D Ce
1
t
20
)
2
Hemos resuelto el PVI. Por lo tanto la concentración de sal en la mezcla del tanque después de
t minutos es
1
1
X.t/
40e 20 t
C.t/ D
D
D .0:4/e 20 t lb/gal.
100
100
Esta concentración es de 0:1 lb/gal cuando:
C.t/ D 0:1 ) .0:4/e
)
t
20
D .0:1/ ) e
t
20
D
0:1
D 0:25 )
0:4
t
D ln.0:25/ ) t D . 20/ ln.0:25/ D 27:726 :
20
Esto es, el propósito de tener una concentración de 0:1 lb/gal se logra después de
t D 27 min, 44 s.