Semana 15

Semana 15
Tema: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
Competencias:
 Describe el concepto de E.D.
 Demuestra cuando una función es solución de la E.D.
 Identifica cuando una solución es general o particular. Interpretación
geométrica.
 Resuelve EDO de primer orden: Variables separables y lineales de primer
orden.
 Resolución de problemas geométricos y físicos que conducen a EDO de
primer orden:
o Trayectorias octogonalesdX
 dP

o Crecimiento de poblaciones 
 kP;
 kX P  X 
dt
 dt

o Desintegración radiactiva.
o Problemas de Mezclas.
o Problemas de temperatura (ley de Newton de enfriamiento).
1. Demostrar que las funciones 4ex, 135x y Ax+Bex son soluciones de la EDO
( 1  x ) y( x )  xy  y  0 .
2. Demostrar que y  2  C 1  x2 es la solución general de ( 1  x2 ) y  xy  2 x
3. Hallar la EDO que tiene por solución general.
a. y=Cx2-x
4. Resolver las siguientes EDO
2
a. 2 xydy  (1  y )dx  0
dy xy  3x  y  3
b.

dx xy  2 x  4 y  8
f.
Problemas de modelación
1. Crecimiento de una población
Experimentalmente puede comprobarse que:
La rapidez con que una población P crece, en un instante t cualquiera, es
proporcional a la población presente en dicho instante.
dP
 kP donde k>0 es una constante de
Inmediatamente podemos escribir
dt
proporcionalidad.
1
2. Desintegración radiactiva
Si x es la cantidad de sustancia no desintegrada en el instante t de tiempo
entonces la velocidad de desintegración es proporcional a la cantidad de
sustancia que se desintegra.
dP
 kP donde k<0 es la constante
La EDO que rige este fenómeno físico es
dt
de desintegración que varia de una sustancia a otra.
Ejemplo 1
Un cultivo tiene una cantidad inicial P0 de bacterias. Cuando t  1h , la
3
P0 . Si la rapidez de crecimiento es
cantidad medida de bacterias es
2
proporcional a la cantidad de bacterias presentes P(t) en el momento t,
calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial.
Ejemplo 2
Un reactor de reproducción convierte el uranio 238, relativamente estable,
en plutonio 239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se tiene que se
ha desintegrado 0.043% de la cantidad inicial, A0 , de una muestra de
plutonio. Calcule la vida media de ese isótopo, si la rapidez de
desintegración es proporcional a la cantidad restante.
Ejemplo 3
Se analizó un hueso fosificado y se encontró que contenía la milésima
parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil. (la vida
media del C-14 es 5600 años.)
3. Enfriamiento y calentamiento.
La ley de Newton del enfriamiento dice: en un cuerpo que se enfría, la rapidez
con que la temperatura T cambia es proporcional a la diferencia entre la
temperatura del cuerpo y la temperatura constante Tm del medio que lo rodea
La EDO que caracteriza dicha ley es:
dT
 k T  Tm 
dt
Ejemplo 4
Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 3000F. Después de tres
minutos, de 2000F. ¿En cuánto tiempo se enfriara hasta una temperatura
ambiente de 700F?
2
4. Problemas de Mezclas.
Se permite que una sustancia S fluya hacia una cierta mezcla de un recipiente
con una cierta rapidez, la mezcla se mantiene uniforme mediante agitación. Esa
mezcla uniforme deberá salir del recipiente y pasar a otro (generalmente en
condiciones diferentes), se busca determinar la cantidad de la sustancia S
presente en la mezcla en el tiempo t.
Se denota por A: Cantidad de sustancia S en el tiempo t.
Si ENTRADA representa la razón con la que S entra a la mezcla y SALIDA
representa la razón con la que sale de la mezcla, entonces el modelo
dA
 ENTRADA  SALIDA
matemático es
dt
Ejemplo resuelto
Un tanque contiene inicialmente 50 galones de agua pura. En el tiempo t  0 ,
una salmuera que contiene 2 lb de sal disuelta por galón entra al tanque a razón
de 3 gal
. La mezcla se mantiene uniforme agitándola y después de estar
min
bien agitada sale simultáneamente del tanque con la misma rapidez.
a) Qué cantidad de sal se encuentra en el tanque en cualquier tiempo t?
b) ¿Qué cantidad de sal hay después de 25 minutos?
c) ¿Qué cantidad de sal está presente después de un tiempo
prudencialmente largo?
Solución
Datos: Sea A(t): la cantidad de
sal que hay en el tanque en un
instante t.
T: tiempo
La E.D que describe este
fenómeno
 Razón   Razón
 

dA 
  de    de  es
dt 
 

 Entrada   Salida 
2 lb
gal
3gal min
50 gal
A(t ) : Cantidadde sal en t
3gal min
Entrada:
 2 lb
 3 gal
  6 lb
gal 
min 
min

 A
 gal
  3 A lb
Salida:  lb
3


min 50
min
 50 gal
3
 dA

 6
A
Así entonces la ecuación diferencial es :  dt
50
 A0   0
3
dA 3100  A
dA
3



dt integrando ambos miembros obtenemos,
dt
50
100  A 50
3
 t
3
50
 ln 100  A 
t  k , despejando A obtenemos, A  100  Ce
50
reemplazando en la condición inicial se obtiene C=100, así entonces
3
 t

50 

A  1001  e 


3 25 




b) A25  1001  e 50   78lb


3t



c) lim1001  e 50   100 R/ Se puede verificar que en efecto pasado un largo
t 


tiempo la cantidad de libras de sal en la solución debe ser 100 libras =
(50gal)(2lb/gal)=100lb
a)
Ejemplo 5
Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el cual se disuelven 30
gramos de sal. Una salmuera que contiene 1 g de sal por litro se bombea al
tanque con una intensidad de 4 litros por minutos, la solución
adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con la misma rapidez.
Encuentre el número de gramos A(t) de sal que hay en el tanque en un
instante cualquiera.
5. Trayectorias ortogonales.
DEFINICION
Dada una familia uniparamétrica de curvas del plano F(x,y,C) = 0 se dice que la
familia G(x,y,C) = 0 es una familia de trayectorias ortogonales de la otra si todas
las curvas de una se cortan ortogonalmente con todas las curvas de la otra.
Ejemplo 6
Halla la familia de trayectorias octogonales de las siguientes curvas:
a) y 
c
x
b) y 
cx
c) y 2  cx3
x 1
d) y 
x
1  cx
4