`-2.y`+ - GEOCITIES.ws

SEMANA 03
FAMILIA DE CURVAS
Hallar la ecuación diferencial de la siguiente familia de curvas:
1. y=C.x-C-C2
2. y-ex.(a.x+b)
3. y = C1 .x +
C2
+ C3
x
Sol. y' 2 + y'− x.y'+ y = 0
Sol. y’’-2.y’+y=0
3
x
Sol. y' ' '+ .y' ' = 0
4. y = C1e 2 x + C2 e x + C3
5. y 2 = 4C (C + x)
APLICACION GEOMETRICA
Hallar la ecuación de la curva para la que:
1. El segmento de la normal trazada en el punto (x, y), cuyos extremos son este punto y el
de intersección con el eje x, es cortado en dos partes iguales por el eje y.
Sol. y 2 + 2.x 2 = C
2. El segmento de perpendicular desde el origen a una recta tangente de la curva es igual a
Sol. y 2 + x 2 = C.x
la abscisa del punto de contacto (x, y).
3. La longitud del arco desde el origen al punto variable (x,y) es igual al doble de la raíz
cuadrada de la abscisa del punto.
4. La pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la
recta que une este punto con el origen de coordenadas.
5. La normal en un punto cualquiera (x,y) y la recta que une el origen con ese punto forma
un triangulo isósceles que tiene el eje x como base.
TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Hallar la trayectoria ortogonal para la siguiente familia de curves:
1. y=a.eax
a=constante
1
3
2. x 2 − .y 2 = a 2
Sol. 2.x+a.y2=C
Sol. x.y3=b
3. y 2 = x3 /(C − x)
4. y = x − 1 + Ce − x
5. y 2 = 2 x 2 (1 − Cx)
APLICACIONES FISICAS, QUIMICAS, ETC..
CALENTAMIENTO Y ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
1. Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es
proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura To del
aire. Si la temperatura del aire es de 20° C y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde
100° hasta 60°, ¿dentro de cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30°?
Sol. 60 minutos
MEZCLAS
2. El fondo de un depósito de 300 litros de capacidad, esta cubierto de sal. Suponiendo
que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la
concentración en le instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. de
sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de agua pura dada disuelve 1/3 de kg. de sal
por minuto, hallar la cantidad de sal que contendrá la disolución al cabo de una hora.
Sol. 18.1 kg.
3. Cierta cantidad de una sustancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kg. sal se
somete a la acción de 30 litros de agua. Después de 5 minutos se disuelve 1 Kg. de sal.
¿Dentro de cuanto tiempo se disolverá el 99% de la cantidad inicial de sal?
Sol. 32.2 minutos
TIEMPO DE VACIADO DE RECIPIENTES
4. Un embudo de 10 cm de diámetro en la parte superior y 1 cm de diámetro en la inferior
tiene una altura de 24 cm. Si se llena de agua, hallar el tiempo que se tarda en vaciar.
5. Hallar el tiempo que se necesita para vaciar un tanque de sección cuadrada de 6 dm de
lado y 9 dm de profundidad, a través de un agujero circular de 1/12 dm de radio
practicado en el fondo.
VARIOS
1. Se disuelven inicialmente 50 lbs (lb.) de sal en un gran tanque que contiene 300 galones
(gal) de agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 galones por minuto; y luego
la solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque también a razón de 3
gal/min. Si la concentración de la solución que entra es de 2 lb./gal, determine la
cantidad de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. Que cantidad de sal hay
después de 50 minutos? Que cantidad de sal habrá luego de un tiempo bastante largo?
2. Se bombea cerveza con un contenido de 6% de alcohol por galón a un tanque que
inicialmente contiene 400 gal de cerveza con 3% de alcohol. La cerveza se bombea
hacia el interior con una rapidez de 3 gal/min., en tanto que el líquido mezclado se
extrae con una rapidez de 4 gal/min. Obtenga el número A(t) de galones de alcohol que
hay en el tanque en un instante cualquiera. Cual es el porcentaje de alcohol que hay en
el tanque después de 60 min? Cuanto demorara el tanque en vaciarse?
3. La ecuación diferencial que rige la velocidad v de un cuerpo de masa m que cae
sometido a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es:
dv
m. = mg − kv en donde k es una constante positiva de proporcionalidad. Resuelva la
dt
ecuación sujeta a la condición inicial v(0)=v0 y determine la velocidad limite del
cuerpo. Si la distancia s se relaciona a la velocidad mediante ds / dt = v , encuentre una
expresión explicita para s si además se sabe que s(0)=s0
4. La rapidez con que un medicamento se disemina en el flujo sanguíneo se rige por la
dX
= A − BX ; en donde A y B son constantes positivas. La
ecuación diferencial
dt
función X(t) describe a la concentración del fármaco en el flujo sanguíneo en un
instante t cualquiera. Halle el valor límite de X cuando t → ∞ . Cuanto demora la
concentración en alcanzar la mitad de este valor limite? Suponga que X(0)=0
5. En un cierto modelo que representa la variación de la población P(t) de una comunidad,
dP dB dD
=
−
en donde dB/dt y dD/dt son las tasas de natalidad y de
se supone que:
dt
dt dt
mortalidad, respectivamente.
dB
dD
a. Obtener P(t) si:
= k1 P
y
= k2 P
dt
dt
b. Analice los casos k1 > k2 , k1 = k2 y k1 < k2