Problema 2.1 * Al elemento de la figura le llega agua axialmente

II. Ecuaciones generales
Problema 2.1 *
Al elemento de la figura le llega agua axialmente con una velocidad
v0 por un conducto de diámetro D0 y a la presión p0 . El diámetro
del elemento es D1 , su altura h y el conjunto permanece quieto. La
velocidad de salida es perpendicular a la de entrada y forma 45o con
la dirección tangencial. Determinar:
p0
v0
D0
z
h
r
o
1 ) El esfuerzo axial que el agua ejerce sobre el elemento.
2o ) El par necesario para mantener el elemento quieto.
Hacer la aplicación al siguiente caso:
pa
v0 = 5 m/s; D0 = 10 cm; D1 = 40 cm; h = 1 cm
p0 = 0,5 kg/cm2 (manométrica); psalida = patm
v1
45º
Solución:
o
1 )
Fz′
=
D2
−π 40
2o ) T = −πρ
(
p0 +
v02 D04
32h
;
ρv02
)
D1
Fz′
;
= −581,19 N/m
2
T = −24,54 Nm
Problema 2.2
Un chorro de agua de caudal 0,1 m3 /s y velocidad de salida 20 m/s incide
sobre el cuerpo de la figura de tal modo que el caudal se divide en dos
partes iguales en las direcciones de la figura. Determinar, despreciando
las fuerzas másicas, las componentes horizontal y vertical de la fuerza
que el chorro ejerce sobre el cuerpo en los casos siguientes:
Q/2
45º
Q
1o ) El cuerpo está en reposo.
2o ) El cuerpo se acerca al chorro a una velocidad de 10 m/s.
3o ) El cuerpo se aleja del chorro a una velocidad de 10 m/s.
90º
Q/2
Solución:
(
)
1o ) F ′ = −1292,9⃗i + 292,89⃗j N
(
)
2o ) F ′ = −2909⃗i + 659⃗j N
(
)
3o ) F ′ = −323,2⃗i + 73,22⃗j N
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1
Mecánica de Fluidos - Ingenierı́a de Fluidos (Sep. 2013)
Problema 2.3
La tuberı́a acodada de la figura toma fluido a la presión p1
y lo expulsa a la presión p2 . La mitad superior de la tuberı́a
está a presión pa y la inferior a p2 , estando ambos ambientes
separados por un tabique T . La sección del conducto que
cruza el tabique es A. En la entrada la velocidad es v1 , la
densidad ρ1 y el área A1 . En la salida la velocidad es v2 y
el área A2 . El movimiento es permanente, las condiciones a
la entrada y salida son uniformes y se desprecian las fuerzas
másicas.
p1
v1
A1
r1
pa
A
T
p2
v2
A2
p2
Se pide calcular la densidad a la salida ρ2 y la fuerza total que ejerce el fluido tanto exterior como interior
sobre el conducto.
3
2
Aplicación numérica: ρ1 = 1, 2 kg/m ; v1 = 50 m/s; A1 = 30 cm2 ; p1 = 0, 95 kg/cm ; v2 = 100 m/s;
2
2
A2 = 20 cm2 ; p2 = 0, 8 kg/cm ; A = 25 cm2 ; pa = 1 kg/cm
Solución:
ρ2 =
ρ1 v1 A1
v2 A2
= 0,9 kg/m3
;
(
)
Fy′ = −23,7⃗i − 49,0 ⃗j N
Problema 2.4
Un lı́quido de densidad ρ fluye por un conducto bidimenC
B
sional de ancho h0 incidiendo sobre una placa plana EF
v1
D
como muestra la figura. La presión y la velocidad en una
p0
E
v
0
sección aguas arriba de la placa son p0 y v0 . Si la veloh0
Líquido
pV
Va por
r
cidad v0 es suficientemente alta, se observa que detrás
F
h1
de la placa se forma una cavidad de vapor a la presión
G
de vapor, pv . El lı́quido fluye con velocidad v1 por dos
v1
A
H
capas laterales de espesor h1 donde la presión es uniforme e igual a pv . Suponiendo despreciables las fuerzas de
fricción sobre el conducto y la densidad del vapor frente
a la del lı́quido, calcular la velocidad del lı́quido aguas abajo v1 y la fuerza sobre la placa en función de
p0 , v0 , ρ, h1 , y h0 . Se sugiere tomar como volumen de control ABCDEF GH.
Aplicación numérica:
p0 = 0,75 atm (abs.); pv = 0,05 atm (abs.); v0 = 5 m/s; h0 = 5 cm; h1 = 1 cm; ρ = 1 g/cm3
Solución:
v1 = 12,5 m/s
;
Fx′ = 1671,37 N/m
Problema 2.5
Un vertedero descarga sobre un canal horizontal de anchura
constante, de tal manera que la corriente llega verticalmente al
canal. Se observa que entre el manto de agua y el vertedero, el
agua alcanza una altura a. Suponiendo que se pueden aplicar las
ecuaciones de la fluidoestática en la pared vertical del vertedero
(aguas abajo), se pide:
pa
pa
a
1o ) Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre la cara vertical
aguas abajo del vertedero.
h
v0
2o ) Suponiendo que se desprecian las fuerzas de fricción entre el fluido y la pared horizontal y que la
velocidad del fluido aguas abajo es v0 , calcular (usando la conservación de cantidad de movimiento)
la altura h aguas abajo.
2
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II. Ecuaciones generales
Aplicación: a = 2 m ; v0 = 3 m/s.
Solución:
1o ) F1 =
2o ) h =
ρga2
2
−v02 ±
√
;
F1 = 19600 N/m
v04 +g 2 a2
g
;
h = 1,2824 m
Problema 2.6
Se trata de relacionar la fuerza F que ejerce una corriente
uniforme sobre un obstáculo bidimensional con el defecto B
de velocidad o sombra que se produce en la parte posterior
del mismo. En la figura se representa un modelo simple de
la configuración del campo fluido, aunque desde luego no
u
corresponde a una corriente real. Suponer que el ancho de
la estela es δ y que en ella la velocidad es u1 = u − ∆u. A
Tomar un volumen de control ABCD, suficientemente alejado del cuerpo para que en primera aproximación en toda
la superficie del volumen la presión sea la ambiente pa y la
velocidad sea aproximadamente u, excepto en la estela. BC a AD son lı́neas de corriente.
C
u
u1 d
u
D
Calcular:
1o ) La diferencia entre CD y AB.
2o ) Calcular la fuerza F por unidad de ancho sobre el obstáculo como función de δ, u, ρ e ∆u. Hacer la
3
aplicación a δ = 1 m, u = 5 m/s, ρ = 1, 25 kg/m e ∆u = 0, 5 m/s.
3o ) Aguas abajo la estela se ensancha, en un sitio donde el ancho sea 2δ calcular lo que valdrı́a u1 .
Despreciar las fuerzas másicas.
Solución:
1o ) CD − AB = 0,1 m
2o ) Fx′ = 2,81 N/m
3o ) u1 = 4,764 m/s
Problema 2.7
Se tiene un tubo como el de la figura de sección constante y por el
que circula un gas. En la sección de entrada del tubo la presión es dos
veces la atmosférica y en la salida la atmosférica, que es también la
ambiente. Se supone que el gas se mantiene en el tubo a la temperatura
ambiente Ta , que es por tanto la temperatura a la entrada y la salida.
El gas es perfecto y calorı́ficamente perfecto. Tomando como datos la
temperatura ambiente pa , la velocidad del gas a la entrada u1 , y las
constantes del gas Rg y γ, calcular:
1o ) la velocidad en la salida u2 ,
vE=u1
pE=2pa Ta
y
x
2o ) el calor que recibe el gas a través de las paredes del tubo por unidad de tiempo y
vs=u2
T a pa
3o ) la fuerza sobre el tubo en magnitud y dirección.
Suponer propiedades constantes en las secciones de entrada y salida del tubo. Despreciar las fuerzas
másicas. Despreciar los esfuerzos viscosos y la conducción de calor en las secciones de entrada y salida.
No hay adición de calor al gas por radiación ni por reacción quı́mica.
Solución:
1o ) vs = 2ve
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3
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3pa Ave3
Ra Ta
(
)
2v 2
3o ) F = 1 + Rg Tea pa A⃗i +
2o ) Q̇ =
4ve2
⃗
Rg Ta pa Aj
Problema 2.8
Una corriente bidimensional, gaseosa, uniforme, de presión, densidad,
temperatura y velocidad p1 , ρ1 , T1 y ⃗v1 = v1⃗i respectivamente, incide
sobre una cascada de álabes fija que distan entre sı́ una distancia L
y sobre los que ejerce en cada uno de ellos una fuerza por unidad
de profundidad: F⃗ = Fx⃗i + Fy⃗j. Se pide escribir las ecuaciones que
permiten calcular las condiciones de la corriente aguas abajo de la
cascada p2 , ρ2 , T2 y ⃗v2 , cuando dicha corriente se ha uniformizado.
Suponer el gas calóricamente perfecto, condiciones estacionarias y los
álabes aislados térmicamente.
Fy
Fx
T1 p1 r1
v1=v1 i
T2 p2 r2
a
v2
y
L
j
Solución:
Fy
Fx
p2 = p1 + ρ1 v12 − L tan
α −
L
)
(
; T2 = T1 + 2C1 p v12 − v22
; ρ2 =
ρ21 v12 L tan α
Fy
; v2 =
x
i
Fy
ρ1 v1 L sen α
Problema 2.9
Un pistón, como el indicado en la figura, se mueve con una velocidad v1 , variable con el tiempo con aceleración constante: v1 =
v10 +at y empuja a un lı́quido que descarga a través de una tuberı́a
horizontal de área A2 y longitud L. Siendo A1 el área del pistón,
se pide:
v1
A1
L
1o ) Calcular la velocidad del fluido v2 , supuesta uniforme, en la
tuberı́a.
A2
v2
2o ) Aplicando la ecuación integral de cantidad de movimiento, proyectada en dirección horizontal, al
sistema anterior, calcular la fuerza horizontal que ejerce el fluido en cada instante sobre el sistema.
Considerar los casos: a = 0 y a ̸= 0.
Suponer que el único tramo donde hay velocidad horizontal es el tubo y que la presión exterior es constante
e igual a la atmosférica.
2
Aplicación numérica: v10 = 10 cm/s; A1 = 100 cm2 ; A2 = 10 cm2 ; a = 1 cm/s ; L = 1 m; t = 0;
3
ρ = 1000 kg/m .
Solución:
1
1o ) v2 = (v10 + at) A
; v2 = 1 m/s
A2
[
]
2
A
2
2o ) F = −ρ A1 aL + A21 (v10 + at)
; F (a = 0) = −1 N ; F (a ̸= 0) = −1,01 N
4
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II. Ecuaciones generales
Problema 2.10
Se tiene una placa plana sobre la que incide un chorro con velocidad v0 y
área transversal A. La placa deflecta simétricamente la corriente en 90o . Se
desprecian las fuerzas viscosas y gravitatorias y se supone que en los bordes
exteriores de chorro y placa actúa la presión ambiente. Se pide:
Fx
v0
1o ) Calcular la fuerza Fx sobre la placa.
A
o
2 ) Hacer lo mismo si la placa se aleja del chorro con velocidad v1 constante.
Se sugiere tomar un volumen de control y un sistema de referencia que
se muevan con v1 .
Suponer ahora que la placa se mueve con velocidad v1 debido a que está sujeta en la periferia de una rueda que gira
movida por el chorro anterior, como muestra la figura. Al
girar la rueda desaparece una placa del campo de acción
del chorro y entra una nueva a ocupar su lugar. Se sugiere
tomar un volumen de control fijo respecto a tierra. El fluido
entra en el mismo con velocidad v0 según el eje x y sale, en
media, con velocidad nula relativa a la placa en dirección
x. La situación de la figura se considera representativa de
todas las posibles posiciones de las palas. Despreciar la variación temporal de cantidad de movimiento en el volumen
de control.
w
R
v0
v1= wR
x
A
v1
3o ) Calcular Fx y la potencia que producirı́a esta turbina suponiendo que la fuerza actúa a una distancia
R del eje y que v1 = ωR, siendo ω la velocidad de giro.
3
Hacer la aplicación a: v0 = 10 m/s, A = 60 cm2 , v1 = 5 m/s, R = 1 m y ρ = 1000 kg/m .
4o ) Calcular el valor de v1 que darı́a máxima potencia en el apartado 3o , manteniendo constantes los
otros parámetros.
Solución:
1o ) Fx = ρAv02
2
2o ) Fx = ρA (v0 − v1 )
3o ) Fx = ρAv0 (v0 − v1 ) = 300 N ; W = Fx v1 = 1500 W
4o ) v1 = v0 /2 = 5 m/s
Problema 2.11
El depósito indicado en la figura se encuentra aislado de la tuberı́a por una
válvula V , conteniendo inicialmente una masa de gas m1 a una temperatura
T1 . En estas condiciones el gas que circula por la tuberı́a posee una entalpı́a
he , está animado de una velocidad ve y su calor especı́fico es cv , siendo la
masa del mismo gas que el contenido inicialmente en el depósito. En un
cierto instante se abre la válvula, suponiendo que durante todo el proceso la
presión en el depósito es menor que la presión en la tuberı́a. Se pide calcular
en función de los datos el aumento de la temperatura del gas del depósito
cuando el valor de la masa contenida en el mismo haya ascendido a m2 .
Suponer proceso adiabático, fuerzas másicas despreciables y gas ideal.
ve
he
V
m1
T1
Aplicación: Supóngase inicialmente vacı́o el depósito, velocidad del flujo nula y exponente adiabático γ
conocido. Calcular el aumento de temperatura.
Solución:
m2 − m1 1
m1
T1 +
T2 =
m2
m2 cv
(
)
1 2
he
he + ve . Para ve = 0 y m1 = 0 ⇒ T2 =
= γTe
2
cv
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Problema 2.12
Se tiene una cinta transportadora que se mueve con una velocidad v y arrastra un fluido en la forma indicada en la figura. La
placa inferior es fija y entre medias el fluido tiene una distribución lineal de velocidad vx = v y/h. La longitud de la placa es
L y el ancho B. Se pide:
L
v
E
h
S
1o ) Caudal que circula entre las dos placas.
2o ) Si la viscosidad del fluido es µ, calcular las fuerzas por unidad de superficie y total que hay que hacer
para mover la placa superior.
3o ) Potencia que se consume en mover la placa superior.
4o ) Suponiendo que las presiones a la entrada y salida son iguales y que el sistema está aislado térmicamente, calcular, mediante la aplicación de la ecuación de la energı́a, el incremento de temperatura
del fluido entre la entrada y la salida. Siendo c el calor especı́fico y ρ la densidad.
5o ) Obtener de forma alternativa el resultado anterior calculando, a partir de la distribución de velocidades, la disipación viscosa por unidad de volumen y total.
Aplicación numérica:
3
v = 1 m/s, h = 0,1 mm, L = 20 cm, B = 10 cm, µ = 1 poise, c = 1 cal/go C, ρ = 0,9 g/cm .
Solución:
1o ) Q = 5 cm3 /s
2o ) τ = 1000 N/m2 ; F = 20 N
3o ) W = 20 W
4o ) ∆T = 1,063o C
2
5o ) Φ̄ = µ vh BL = 20 W
Problema 2.13
Se tiene un tubo de sección constante como el de la
pe
p3
figura, por cuya parte central se inyecta un lı́quido
de densidad ρ1 = 2ρ2 , siendo la ρ2 la densidad del
v3
otro lı́quido que circula por el resto de la sección A
T3
v1, T1, r 1
A/2
del tubo. El fluido en la sección 1 tiene una velocir3
dad v1 = 3v2 , siendo v2 la velocidad en la sección
v2, T2, r 2
2. La sección de salida del fluido 1 es la mitad de
la total del tubo, y por tanto igual a la sección 2.
Aguas abajo, en una sección 3, se mezclan los dos fluidos con una velocidad v3 y densidad ρ3 , ambas
uniformes. Se pide:
1o ) Suponiendo v3 = 2v2 , calcular la densidad ρ3 aguas abajo.
2o ) Calcular la diferencia de presiones (p3 − pe ) mediante la aplicación de la ecuación de conservación
de cantidad de movimiento. Suponer despreciables la fuerza del tubo sobre el fluido y las fuerzas
másicas. Suponer que en la entrada la presión es uniforme p2 = p1 = pe .
3o ) Calcular la temperatura a la salida T3 , suponiendo conocidos, además de los datos anteriores, las
temperaturas a la entrada T1 y T2 .
Datos: ρ1 = 1000 kg/m3 , v2 = 10 m/s , A = 1, 5 dm2 , pe = 1 atm , T1 = 15 o C , T2 = 20 o C y
c = 1 cal/g o C para los dos lı́quidos.
Solución:
3
1o )ρ3 = 74 ρ2 = 875 kg/m
2o )p3 − pe = 5ρ2
6
v22
2
2
= 125000 N/m
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II. Ecuaciones generales
3o ) T3 = 17 T2 + 67 T1 +
2
27 v2
14 c
= 15, 72 o C
Problema 2.14
Se tiene un chorro de aire de sección circular como el indicado
en la figura cuyo radio crece a medida que nos movemos aguas
abajo debido al arrastre de fluido exterior por parte del chorro.
La ley de variación del radio es: R = 0,1x + R0 donde x es la
distancia a la sección inicial cuyo radio es R0 . La aproximación
que se va a usar para resolver el problema consiste en suponer
que dentro del chorro las propiedades fluidas son uniformes en
cada sección y sólo dependen de x. En la sección inicial, el valor
de la velocidad según el eje x es u0 y el de la temperatura T0 .
Too
2R0
El fluido exterior, en el que se produce la descarga, es el mismo
que el del chorro y se supone que lejos del mismo está en reposo
y con una temperatura T∞ .
u0
T0
2R
u
T
L
x
J
Se suponen despreciables las fuerzas másicas y que el fluido es incompresible de densidad ρ y calor
especı́fico c. Suponer que a lo largo de la trayectoria del chorro no hay ningún elemento que ejerza
fuerza sobre el fluido, que el fluido arrastrado entra radialmente en el chorro y que la presión en primera
aproximación es uniforme y constante. Se pide:
1o ) Velocidad u del fluido en una sección J situada a una distancia x = L de la sección de salida.
2o ) Gasto de fluido exterior arrastrado por el chorro hasta la sección J.
3o ) Temperatura del fluido T en dicha sección J.
Aplicación: u0 = 50 m/s, R0 = 10 cm , T0 = 320 K, T∞ = 288 K, c = 1004 J/kgK, ρ = 1,25 kg/m3 ,
L = 20 m.
Solución:
1o ) u = 2,38 m/s
2o ) G = 39,25 kg/s
3o ) T = 289,5 K
Problema 2.15
Un álabe en reposo deflecta 60◦ un chorro de agua de 50 mm de diámetro.
A causa de la fricción en la superficie del álabe, el agua que abandona el
álabe ha perdido el 15 % de su energı́a cinética original. Calcular el caudal
de agua necesario para producir una fuerza hidrodinámica de 2000 N
sobre el álabe.
60º
g
D=50 mm
Solución:
Q = 0,0638 m3 /s
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Problema 2.16
Un turborreactor aspira 70 kg/s de aire y consume 4,5 kg/s de combustible. Los gases de combustión
abandonan la tobera del motor a presión ambiente y a una velocidad respecto al motor de 1400 m/s.
Calcular:
1o ) Fuerza de empuje del motor cuando éste se está probando en el banco de ensayo de un laboratorio.
2o ) Fuerza de empuje cuando el motor se encuentra instalado en un avión que vuela a 250 m/s.
Solución:
1o ) F = −104,300 kN
2o ) F = −85,675 N
Problema 2.17
Suponiendo que la variación de nivel del agua es lo suficientemente pequeña como para que la presión en el fondo del
depósito se pueda suponer constante, calcular:
p=0,25 kg/cm2
[2]
H = 7,5 m
Se tiene un depósito de grandes dimensiones como el indicado en la figura donde la altura del agua es de 7,5 m.
En la parte superior hay una cámara de aire a una pre2
sión manométrica de 0,25 kg/cm . En la parte inferior hay
2
un orificio de 1 cm de área por el que sale agua con una
velocidad de vS = 10 m/s.
g
[1]
60º
AS = 1 cm2
vS = 10 m/s
1o ) la fuerza que el chorro que sale del depósito ejerce sobre
éste y
2o ) la potencia perdida por disipación viscosa al atravesar el agua el orificio de salida del depósito y el
incremento de temperatura que sufrirı́a ésta.
El chorro que sale del depósito incide sobre un deflector en reposo como el indicado en la figura. Los
efectos viscosos se suponen despreciables en la sección de entrada [1] y de salida [2] del deflector, pero no
en el flujo intermedio donde son importantes. Debido a la disipación viscosa entre la entrada y salida del
deflector hay un incremento en la temperatura del agua de una milésima de grado centı́grado.
3o ) Despreciando las variaciones de energı́a potencial y por tanto las fuerzas másicas, calcular la velocidad
en la sección de salida [2] del deflector.
4o ) Calcular las componentes de la fuerza sobre el deflector, suponiendo que en la parte exterior del
chorro en contacto con el aire la presión es la ambiente.
Solución:
1o ) Fx = −10 N
2o ) Φv = 46 W; ∆T = 0,0115 o C
3o ) a) v2 = 9,57 m/s
b) Fx = 5,22 kN ; Fy = −8,28 kN
8
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II. Ecuaciones generales
Problema 2.18
La tuberı́a de la figura descarga a través de una tobera, inclinada 45◦ respecto a la horizontal, un chorro de agua con
una velocidad de 25 m/s. El diámetro de entrada a la tobera es
de 20 cm y el de salida de 10 cm. El manómetro colocado a la
2
entrada de la tobera indica una pe = 6 kg/cm .
45º
g
Tobera
Compuerta
pa
2
1
El chorro de agua alimenta un canal de 0,12 m de anchura
donde se establece un flujo estacionario controlado aguas abajo
3
h
v
h
por una compuerta. La profundidad del agua en el canal aguas
v
h
arriba de la compuerta es h2 = 3,5 m y aguas abajo h3 =
0,3 m. Considerar despreciable el rozamiento del agua con las
paredes del canal, que en las secciones 1, 2 y 3 la distribución
de presiones es la correspondiente a la hidrostática, que las velocidades v2 y v3 son uniformes y que el
chorro entra en contacto con la superficie libre con la misma velocidad, dirección y tamaño que sale de
la tobera. Calcular:
2
1
2
3
3
1o ) Fuerza ejercida sobre la compuerta.
2o ) Valor de h1 .
3o ) Fuerza total sobre la tobera.
4o ) Potencia disipada en la tobera y en la compuerta.
Solución:
1o ) F = 6171,76 N
2o ) h1 = 2,55 m
3o ) F = 14791,0 N
4o ) ΦTob = 88,727 kW ; ΦComp = 3,263 kW
Problema 2.19
Un depósito de 0,1 m3 de capacidad se conecta a una lı́nea de
alta presión. Tanto la lı́nea como el depósito se encuentran a
una temperatura uniforme de 20 o C. La presión manométrica
inicial en el depósito es 100 kPa. La presión absoluta en la lı́nea
es de 2000 kPa y ésta es lo suficientemente grande como para
que su temperatura y su presión se puedan suponer constantes. En el instante inmediatamente después de que se abra la
válvula la temperatura del depósito (debido a la entrada de aire) aumenta con una rapidez de 0,05 o C/s. Se pide determinar
el gasto instantáneo inicial de aire que entra en el depósito.
Línea de alta presión
p=2000 kPa (abs)
T=20ºC
Depósito
V=0,1m3
Condiciones iniciales:
T=20ºC
p=100kPa (man)
Suponer además: Transferencia de calor despreciable y depósito aislado térmicamente. Velocidad del
fluido pequeña en la lı́nea y en el depósito. Fuerzas másicas despreciables. Flujo uniforme en la entrada
del depósito. Gas perfecto (R = 287 , γ = 1,4). Propiedades uniformes en el depósito.
Solución:
Gi = 0,1014 g/s
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Problema 2.20
El tanque de grandes dimensiones de la figura de masa M se encuentra
en reposo. Este tanque contiene un volumen de agua V0 presurizado.
En el instante t = 0 se abre la válvula B originándose un chorro de
agua de área A0 y velocidad uniforme. Suponiendo: que la sobrepresión de la cámara de aire p0 es suficientemente elevada de tal forma
que la velocidad de salida del chorro es constante se puede considerar,
que las fuerzas de resistencia a la rodadura son despreciables y que
la masa de agua se encuentra en reposo respecto a las paredes del
tanque, excepto en la tuberı́a de salida; calcular:
p0
patm
B
A0
V0
1o ) Velocidad de salida del agua.
2o ) Variación temporal de la velocidad del tanque u.
3o ) Inclinación de la superficie libre del agua.
Solución:
1o ) w2 =
2o ) a =
√
2 p0 −pρ atm + 2g(z1 − z2 ) ; con g(z1 − z2 ) ≪
p0 −patm
ρ
du
ρw22 A0
=
dt
M + ρ (V0 − w2 A0 t)
3o ) θ = arctg
g
a
Problema 2.21
El funcionamiento de una hélice de barco puede idealizarse en la forma
que se indica en la figura. El agua que atraviesa la hélice está separada del
resto por una superficie de corriente axilsimétrica. Lejos de la hélice aguas
arriba, en la sección 1 el agua sin perturbar tiene una velocidad v1 =
3 m/s y una presión de p1 = 1,2 atm. A medida que nos movemos aguas
abajo el agua se acelera hasta que suficientemente lejos aguas abajo de la
hélice, en la sección 4, la presión es de p4 = 1,2 atm y la velocidad es v4 =
9 m/s, superior a la del fluido sin perturbar. Suponer: funcionamiento de
la hélice estacionario, nula la resultante de las fuerzas de presión sobre el
volumen de control y despreciables las fuerzas viscosas y las de gravedad.
Se pide:
1
2
3
4
v4
v1
1o ) Sabiendo que A1 = 3 m2 , calcular el área de salida A4 .
2o ) Calcular la fuerza del agua sobre la hélice indicando su sentido.
3o ) Calcular la energı́a comunicada por la hélice al fluido.
4o ) Determinar el incremento de presión entre las secciones 2 inmediatamente anterior y 3 posterior a la
hélice y el diámetro de la misma.
Solución:
1o ) A4 = 1 m2
2o ) Fx = −54000 N
3o ) W = 324 kW
2
4o ) ∆p = 36000 N/m , D = 1,38 m
10
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II. Ecuaciones generales
Problema 2.22
Por un canal de 3 m de anchura circula un caudal
de agua Q. La profundidad de la corriente en la
sección 1 es de 9 cm. Aguas abajo de esta sección
el fondo del canal se eleva 6 cm tal como se indica
en la figura y la superficie libre del agua se eleva en
9 cm. Suponiendo que la velocidad de la corriente
es uniforme en las secciones 1 y 2, y despreciando
los efectos viscosos, calcular:
2
g
9 cm
1
B
9 cm
6cm
A
1o ) Caudal de agua Q.
2o ) Fuerza horizontal del agua sobre el elemento AB del fondo del canal
3o ) Repetir el apartado anterior, sin despreciar la viscosidad y sabiendo que las pérdidas de energı́a
mecánica por fricción con el fondo del canal entre las secciones 1 y 2 son un 20 % de la energı́a en 1.
Solución:
1o ) Q = 0,5 m3 /s
2o ) Fx = 180,2 N
3o ) Fx = 156,22 N
Problema 2.23
La figura muestra un conducto donde se mezclan
dos corrientes de aire. La corriente superior (1)
tiene una velocidad v1 = 100 m/s, una temperatura T1 = 10o C, una presión manométrica de
p1 = 2 bar y un área A1 = 0,5 m2 ; la corriente
inferior (2) tiene una v2 = 100 m/s, una temperatura T2 = 20o C, una presión manométrica de
p2 = 3 bar y un área A2 = 0,5 m2 . Calcular la
presión p3 .
A1 = 0,5 m2
v1 = 100 m/s
p1 = 2 bar
T1 = 10 ºC
A3
v3
p3
T3
A4
v4
p4
T4
A2 = 0,5 m2
v2 = 100 m/s
p2 = 3 bar
T2 = 20 ºC
Sabiendo que la presión en una sección 4, muy
aguas abajo (L34 ≫ L13 ), p4 = 1,5 bar y que la
temperatura T3 = T4 , calcular la fuerza F del tubo sobre el fluido en el tramo 3-4 y el calor que hay que
comunicar o extraer del fluido en ese tramo de tubo.
Solución:
1o ) p3 = 253461 Pa
2o ) F = −84441,5 N
3o ) Q = 2,039 × 106 W
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11
Mecánica de Fluidos - Ingenierı́a de Fluidos (Sep. 2013)
Problema 2.24
El tanque mostrado en la figura tiene un área transversal cuadrada de lado L = 1 m, y una altura H = 12 m, con sus paredes frontales inclinadas un ángulo α = 60◦ . La masa de tanque excluido el peso de agua en él contenida es M = 300 kg.
Cuando inicialmente se encuentra en reposo, el volumen de
agua v0 = 10 m3 se encuentra sometido a una presión absoluta
p0 = 10 bares. En el instante t = 0 se abren las válvulas B1 y
B2 , originándose dos chorros de agua de velocidad uniforme y
diámetros D1 = 10 cm y D2 = 5 cm respectivamente.
L
p0
D1
H
V0
B1
B2
D1
D2
a
Suponiendo que la sobrepresión de la cámara de aire p0 es lo
suficientemente elevada como para considerar que el flujo de los chorros se mantiene constante, que las
fuerzas de resistencia a la rodadura son despreciables y que la masa de agua se encuentra en reposo
respecto a las paredes del tanque, excepto en las tuberı́as de salida; calcular:
1o ) La velocidad con que se mueve el tanque para el instante de tiempo t = 15 s.
2o ) Fuerzas de superficie y punto de aplicación que se ejercen sobre las paredes frontales en el mismo
instante de tiempo.
3o ) Si se supone que el tanque se ve afectado por un coeficiente de arrastre aerodinámico CD y que las
condiciones de presión y temperatura en el exterior son las ambientales, plantear cual serı́a la ecuación
que rige la variación de la velocidad del tanque en este caso.
Solución:
1o ) u = 23,74 m/s
2o ) F1 = 12,55 × 106 N, x1 = 6,95 m
F2 = 12,54 × 106 N, x2 = 6,95 m
)
(
du ρw12 π4 D12 − D22 − CD 12 ρaire uHL
o
]
[
3 )
=
dt
H + ρ v0 − w1 π4 (D12 + D22 ) t
√
con w1 =
2(p0 −pa )
ρ
Problema 2.25 *
El dispositivo de forma troncocónica y altura L de la figura posee una pared
lateral con un coeficiente de porosidad ε. La finalidad del sistema es distribuir
agua de la forma más uniforme posible, para lo cual el cuerpo está girando con
una velocidad angular ω consecuencia de un par torsor de accionamiento T , que
es suministrado por un motor. Se sabe que el fluido que abandona lateralmente
el cuerpo, lo hace con velocidad uniforme y normal a la pared respecto a un
sistema de referencia solidario con el cuerpo.
Sobre la sección superior del cuerpo troncocónico, de radio R1 , está localizada
la tuberı́a de alimentación de radio R0 . El fluido penetra por esa tuberı́a con
una velocidad axial ve y una presión manométrica pe . La tuberı́a de salida, de
radio R0 , está localizada en la sección inferior del cuerpo, la cual posee un radio
R2 . La velocidad axial del fluido a la salida es vs y se sabe que descarga a la
atmósfera. Se pide:
1o ) Determinar la velocidad angular con la que se mueve el sistema.
ve, pe
R0
R1
w
T
L
R2
vs,patm
o
2 ) Determinar las fuerzas de superficie ejercidas sobre la cara lateral del cuerpo.
3o ) Evaluar las pérdidas producidas en el sistema.
Datos: R1 = 18 cm ; ve = 10 m/s ; pe = 0, 5 bares ; R2 = 6 cm ; vs = 4 m/s ; L = 1 m ; R0 = 3 cm ;
T = 100 Nm ; ε = 10 %
Solución:
1o ) ω = 327,48 rad/s
12
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II. Ecuaciones generales
2o ) Fx = 860,61 N
3o ) Φ = 19045,41 W
Problema 2.26
La aeronave de la figura tiene una masa de 3000 kg y se mantiene a una altura del suelo fija mediante dos propulsores idénticos
que funcionan de manera estacionaria. Se sabe que en la sección
2 la presión es igual a la atmosférica, que el rendimiento de los
propulsores es la unidad y que el calor intercambiado con el fluido es despreciable. Las condiciones de presión y temperatura
ambiente son pa = 1 atm y Ta = 15◦ C.
pa Ta
3,3m
1
1o ) Calcular para una altura dada, la velocidad de salida v2 y
la potencia cedida al fluido.
Mg
2o ) Repetir el apartado anterior cuando la aeronave asciende
con una velocidad de 50 m/s.
2
3,75m
pa
4m
Solución:
1o ) v2 = 93,03 m/s, W = 752,640 kW
2o ) w2 = 129,18 m/s, W = 1,726 MW
Problema 2.27
Un chorro de aire bidimensional descarga
verticalmente como muestra la figura en una
atmósfera en reposo donde las condiciones
de presión y temperatura son pa = 1 bar y
Ta = 15o C. El gasto másico descargado es
de 10 kg/s · m. El chorro arrastra aire exterior y el espesor del mismo E, aumenta
linealmente con la distancia vertical z de
manera que: E = E0 + Cz (m) donde E0 es
igual a 1 m y C es una constante.
Se sabe que el gasto de aire arrastrado entre
la sección de salida (z = 0) y una distancia
cualquiera z, es: GL = 2z (kg/s · m)
p
Mg
TL = 15 ºC
pa = 1 bar
Mg
v(z)
T(z)
5m
TL = Ta
G0 = 10 kg/s
T0
E0 = 1 m
L >> 1 m
Se supondrá que en el chorro todas las propiedades son uniformes en cada sección transversal y que sólo dependen de la coordenada vertical z; que
el aire entrante al chorro lo hace en dirección horizontal y que la presión en una sección sin perturbar es
igual a la atmosférica, pa = 1 bar.
1o ) En una primera situación, la temperatura de salida del chorro es igual a la atmosférica, Ta = 288 K.
Calcúlese el peso de una placa P transversal al chorro y soportada por éste.
2o ) En otra situación, la temperatura de salida del chorro T0 es el doble de Ta . En este caso se supondrá,
además, que la temperatura del aire arrastrado por el chorro TL es igual a Ta .
a) Demuéstrese que se cumple: Cv [T (z) − Ta ] ρ(z)v(z)A(z) = cte
b) Encuéntrese la ley de variación de la velocidad con la distancia a la salida v(z).
c) Calcúlese el peso máximo de una placa P situada a una distancia de 5 m de la sección de salida,
que podrı́a soportar el chorro.
Solución:
1o ) P = 82,5 N/m
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13
Mecánica de Fluidos - Ingenierı́a de Fluidos (Sep. 2013)
2o ) b) v(z) =
R (G0 T0 + 2zTa )
E0 + cz
donde c =
0
−v0 G0 + v(z) (G0 + 2z) − RpgaTga G20 ln z+G
G0
(
)
G20
pa g
G0 z
z+G0
Rg Ta
2 − 2 ln G0
c) Pmax = 206,22 N/m
Problema 2.28
1o ) Suponiendo el depósito fijo al suelo y que el nivel del lı́quido
en el mismo es de H = 1 m, calcular a que altura h del suelo
tendrı́a que incidir un chorro de diámetro d = 15 cm y velocidad v = 20 m/s, para que el ángulo de equilibrio sea α = 15◦ .
a
V
H=1m
Un depósito prismático de base cuadrada de lado L = 1 m con3
tiene un lı́quido de elevada viscosidad y de densidad 1100 kg/m .
La pared derecha del depósito es una compuerta articulada en su
arista inferior que se mantiene en equilibrio por la acción de un
chorro circular horizontal de agua, ver figura. Se pide:
h
2o ) Suponiendo que el depósito puede deslizar sin fricción sobre la superficie del suelo, que su masa es
de 1200 kg y que contiene en su interior 1 m3 de lı́quido, calcular cual tendrı́a que ser la velocidad de
un chorro de agua, de diámetro d = 15 cm y h = 0,9 m, para que en el instante en el que el depósito
alcance una velocidad de u = 2 m/s la compuerta estuviera en equilibrio vertical (α = 0◦ ). Suponer
que la masa del agua procedente del chorro en la zona próxima a la compuerta es despreciable frente
a la del depósito.
Solución:
1o ) h = 0,2723 m
2o ) v = 13,45 m/s
Problema 2.29
Por un canal de anchura b = 0,5 m circula un flujo de agua estacionario
controlado por una compuerta A situada aguas abajo, tal como se
indica en la figura. La profundidad del agua en el canal es h1 = 4 m
aguas arriba de la compuerta y h2 = 2 m aguas abajo. El número
de Froude, Fr = √vgh , en la sección 1 es 0,3. Suponiendo que las
distribuciones de velocidad en las secciones 1 y 2 son uniformes y
que el rozamiento del agua con las paredes del canal es despreciable,
calcular:
1
A
2
1o ) La velocidad v2 en la sección 2.
2o ) La fuerza ejercida sobre la compuerta.
3o ) Incremento de temperatura del agua al atravesar la compuerta.
Ahora la compuerta se desplaza a contracorriente a una velocidad v = 2 m/s. Suponiendo que se mantienen
las condiciones anteriores, calcular la fuerza ejercida sobre la compuerta
4o ) Utilizando un sistema de referencia solidario a la compuerta.
5o ) Utilizando un sistema de referencia solidario al canal.
Solución:
1o ) v2 = 3,8 m/s
2o ) Fx = 22780 N
3o ) T2 − T1 = 0,0035o C
14
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II. Ecuaciones generales
4o ) Fx = 420 N
Problema 2.30
Un cohete de área A = 1 m2 , de masa M = 100 kg está inicialmente lleno de
mc (0) = 100 kg de combustible y ml (0) = 100 kg de oxı́geno lı́quido. Cuando se
produce la combustión sale por la parte inferior gas a v2 = 400 m/s, T2 = 600 K
y p2 = 2 bar. Inicialmente el cohete se encuentra sujeto por medio de apoyos a
una base. Determinar:
1o ) La fuerza ejercida inicialmente sobre los apoyos.
2o ) En ese momento se sueltan los apoyos y el cohete comienza a elevarse.
Determinar la evolución de la velocidad y la aceleración del cohete con el
tiempo, suponiendo que las fuerzas aerodinámicas son despreciables.
ml0 = 100 kg
mc0 = 100 kg
pa = 1 bar
M = 100 kg
A2 = 1 m2
v2 = 400 m/s
T2 = 600 K
p 2 = 2 bar
3o ) ¿Cuál serı́a la ecuación diferencial que permite obtener la aceleración si se
tiene un coeficiente aerodinámico de arrastre CD = 0,6?
Hipótesis: Suponer que el consumo de combustible y de oxı́geno lı́quido se produce a la misma tasa y que
la composición de los gases de escape se puede considerar igual que la del aire.
Solución:
1o ) F = 282,980 kN
2 ) u(t) = −615,25 ln
o
3o ) a(t) =
(
)
t − 0,64575
− gt
615,25
;
a(t) =
615,25
−g
0,64575 − t
v2 G2 + (p2 − pa ) A2 − 12 CD ρA2 u(t)2
MT (0) − G2 t
Problema 2.31 *
El sistema de la figura está compuesto por
una tuberı́a en forma de T de masa m con
dos apoyos solidarios. Los dos ramales superiores están inclinados un ángulo α respecto a la horizontal, además, sus salidas
A
están curvadas un ángulo β (ver sección
AB). Tanto la tuberı́a principal como los
dos ramales tienen un diámetro D. Cuando
no circula caudal, el sistema permanece en
reposo (posición A), con el muelle, de constante K, en posición de equilibrio. A medida que aumenta el caudal Q que circula por
la tuberı́a inferior, sucede que se ejerce un
empuje vertical creciente que, una vez venb
cido el peso de la tuberı́a, comprime el muelle elevando el conjunto (Fmuelle = K · ∆y).
Además los dos chorros de salida provocan
un par creciente que, una vez vencido el par
resistente constante M0 debido a los rozamientos,
(posición B). Se pide:
y
y
D
a
D
B
Apoyo
Dy
Muelle
Apoyo
Dy
Q
x
Posición B
Posición A
b
R
z
X
Sección: AB
hace que el sistema empiece a girar entrono al eje y
1o ) Calcular el grado de elevación ∆y en función del caudal Q que circula por la tuberı́a inferior.
2o ) Calcular la expresión de la velocidad de giro ω en función del caudal Q que circula por la tuberı́a
inferior recordando que, debido a los rozamientos existe un par resistente constante M0 .
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Mecánica de Fluidos - Ingenierı́a de Fluidos (Sep. 2013)
3o ) Siendo m = 50 kg, k = 3000 N/m, α = 15o , b = 30o , R = 0,5 m, D = 2 × 10−2 m y M0 = 200 Nm
calcular:
a) El caudal Q1 para el cual el sistema comienza a elevarse.
b) El caudal Q2 para el cual el sistema comienza a girar.
c) La altura alcanzada y la velocidad de giro para un caudal Q3 = 15 l/s.
Solución:

√
0 si Q ≤ Q0


mgπd2 /4
o
[
(
)
]
(
)
1 ) ∆y =
;
siendo
Q
=
2
0
1
Q
1

ρ 1 + 12 sen α

ρ 2
1 + sen α − mg si Q > Q0
k πd /4
2

√
0 si Q ≤ Q′0


πd2 M0
′
[
]
2o ) ω =
;
siendo
Q
=
0
1 2Q
M0

2ρR cos α sen β

cos α sen β −
si Q > Q′0
R πd2
ρRQ
3o ) a) Q1 = 11,674 l/s
b) Q2 = 22,8 l/s
c) ∆y = 0,106 m , w = 0 rad/s
Problema 2.32
DEPÓSITO
H
salida del
inyector
entrada al
inyector
Desde un depósito cuyo nivel permanece constante se conduce
agua a un inyector a través de una tuberı́a de alimentación
con una altura geométrica de H = 2 m. Se sabe que el radio
a la entrada del inyector es r1 = 100 mm y a la salida es r2 =
50 mm, que en la salida la presión es la atmosférica y el perfil
de velocidades a la salida del inyector sigue una ley del tipo:
(
)
r2
u2 = 2u0 1 − 2
r2
Suponiendo las pérdidas despreciables, se pide:
1o ) Demostrar que u0 se corresponde con la velocidad media
de salida.
Tubería de
alimentación
2o ) Calcular la presión manométrica y la velocidad del agua a
la entrada del inyector.
3o ) Sabiendo que los pernos en conjunto soportan una fuerza
FP = 15 N, calcular la fuerza que el fluido ejerce sobre la
aguja del inyector.
2o ) p1 = 19600 −
DETALLE DEL INYECTOR
r1
r2
u2
Aguja del
inyector
Solución:
Inyector
Pernos de
sujección
u0
ρu20
; v1 =
32
4
3o ) F = 650,35 N
16
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II. Ecuaciones generales
Problema 2.33
En un canal con perfiles de velocidad uniformes se ha
formado un resalto hidráulico que se caracteriza por
ser un proceso disipativo en el que se produce una
pérdida de energı́a mecánica. Tomando medidas en el
mismo se ha comprobado que la altura h1 del agua
antes del resalto es de 1 metro, y que a consecuencia
de la disipación viscosa el agua a través del resalto sufre un incremento de temperatura de 0,001o C.
Suponiendo que la presión en el lı́quido es aproximadamente la hidrostática y que la fricción del fluido
con las paredes es despreciable, determinar:
Barrera
móvil
v=2m/s
Resalto
v2
h2
v1
h3=3m
h1=1m
1o ) Caudal por unidad de longitud que circula por el
canal.
2o ) Altura y velocidad del agua del canal en la sección 2.
3o ) Aguas abajo del resalto se coloca una barrera móvil cuya función es la limpieza del canal. Esta barrera
se mueve hacia aguas abajo a una velocidad de v = 2 m/s. Determinar la fuerza necesaria para mover
la barrera. Suponer que debido a la barrera la profundidad del agua aguas abajo es h3 = 3 m.
Problema 2.34
Por el conducto bidimensional de la figura de altura H = 0,1 m circula aire. La velocidad, presión y densidad del fluido en la sección
3
v1
1 son uniformes: v1 = 30 m/s, p1 = 1,3 atm y ρ1 = 1,573 kg/m .
H
En el conducto se ha colocado un cuerpo que obstaculiza el paso
v2
del fluido y origina en la sección 2 un perfil de velocidad de forma
triangular con velocidad nula en el centro y velocidad máxima v2
en las proximidades de las paredes del conducto. En esta sección
3
2, la presión y la densidad son uniformes con valores: p2 = 1 atm y ρ2 = 1,21 kg/m respectivamente.
Suponiendo régimen estacionario y que las fuerzas viscosas son despreciables frente a las de presión.
Calcular:
1o ) Valor de la velocidad v2
2o ) Fuerza ejercida sobre el cuerpo por unidad de anchura.
3o ) Calor que es necesario intercambiar con el fluido, justificando si se extrae o se aporta.
4o ) Plantear las ecuaciones que permitirı́an resolver los apartados 2 y 3 en el caso de no despreciar las
fuerzas viscosas.
Solución:
1o ) v2 = 78 m/s
2o ) F = 3108,8 N/m
3o ) Q̇ = 5054 W/m
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
17
Mecánica de Fluidos - Ingenierı́a de Fluidos (Sep. 2013)
Problema 2.35
Un cuerpo con forma de cuarto de toro con centro en
40 cm
A y de sección transversal cuadrada está sumergido en
0
u
B
A
una solución salina en la que la densidad varı́a linealQ
3
mente desde ρ = 1 gr/cm en la superficie libre hasta
30 cm
30º
3
ρ = 1,1 gr/cm a 50 cm de profundidad. Dicha solución
ejerce una fuerza hidrostática sobre las caras del cuerpo
20 cm
10 cm
produciendo un momento total sobre el punto A. Dicho
momento se equilibra con el producido por la fuerza de
un chorro que golpea sobre un deflector como indica la
figura. La manguera por la que sale el chorro se mueve
hacia la placa con una velocidad u = 1m/s. Cuando el depósito está vacı́o y no existe chorro todo el
sistema mecánico está en equilibrio.
1o ) Calcular el momento respecto de A producido por el lı́quido del depósito sobre el cuerpo.
2o ) Debido a la disipación viscosa en el deflector, entre la entrada y la salida de éste, se pierde un 5 % de
la energı́a cinética de entrada. Calcular el caudal de agua que sale por la manguera para que equilibre
el momento del apartado anterior. La manguera tiene una sección de 50 cm2 . Suponer que la fuerza
del chorro se aplica en el punto B.
Solución:
1o ) M = 5,3 Nm (Sentido horario)
2o ) Q = 6,68 l/s
Problema 2.36
Un depósito de anchura 1 m tiene en su lado izquierdo
una pared que bascula sin rozamiento respecto del punto
A. Para mantenerla con un ángulo de inclinación θ = 30o
respecto de la horizontal, se emplea un chorro de agua
situado a una altura h = 3 m, el cual se deflecta en la
dirección de la pared.
Determinar:
A = 400 cm2
B
h0=5m
h=3m
A
q = 30º
h1 = 2 m
1o ) La velocidad del chorro si el nivel de agua en el
depósito es h0 = 5 m.
2o ) Fuerza aplicada en el punto B.
Solución:
1o ) v = 82,49 m/s
2o ) FB = 36470,86 N
18
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
II. Ecuaciones generales
Problema 2.37
Una piscina de agua salada tiene un fondo rectangular de 20 × 10 m y
una profundidad de 4,5 m. Está llena de agua hasta los 4 m. Sabiendo
3
que la densidad del agua salada varı́a linealmente desde 1000 kg/m en
3
la superficie libre hasta 1004 kg/m en el fondo de la piscina. Se pide:
4,5m
4m
1o ) Hallar la fuerza que actúa sobre la pared frontal sumergida de 10 m
de ancho.
20m
2o ) Calcular la variación del nivel de la piscina suponiendo que llueve verticalmente, que las gotas caen con
3
una velocidad de 0,5 m/s, son esferas de diámetro 2 mm y que su concentración es de 45000 gotas/m .
3o ) Calcular la fuerza que la lluvia ejerce sobre la superficie de la piscina.
Solución:
1o ) F = 785045, 33 N
2o ) h = 4 + 9,4 × 10−5 · t
3o ) F = −9,425 N
Problema 2.38
Un chorro de agua bidimensional simétrico incide
sobre una cuña de ángulo 2α. Aguas arriba el chorro tiene una velocidad u0 y un espesor h0 . El chorro al incidir sobre la cuña se divide en dos partes
iguales. Aguas abajo, cuando el fluido abandona la
cuña, se consideran dos situaciones. Una en la que
son despreciables los efectos viscosos y por tanto
la velocidad a la salida es uniforme. Otra en la que
como resultado de la fricción en la pared aparece
una distribución de velocidad como la dada en la
figura.
u0
pa
y'
u0
h
y
x'
x
h0
a
1o ) Calcular el espesor
a) h supuesto flujo no viscoso
b) δL supuesto flujo viscoso
u0
dL
u ( y' ) = u 0sen
2o ) Determinar la fuerza por unidad de profundidad ejercida sobre la cuña para los casos de:
a) flujo no viscoso
b) flujo viscoso
p y'
2d L
3o ) Calcular la diferencia entre las fuerzas calculadas en 2a) y 2b) para α = π/2.
4o ) Resolver de nuevo el apartado 2o cuando la cuña se mueve hacia la izquierda con velocidad v.
Datos: u0 , h0 , α, ρ
Solución:
h0
2
δL = πh4 0
Fx = ρu20 h0
Fx = ρu20 h0
1o ) a) h =
b)
o
2 ) a)
b)
(1 − cos α)
(
)
1 − π4 cos α
3o ) No hay diferencias
2
4o ) a) Fx = ρ (u0 + v) h0 (1 − cos α) ; h = h20
)
(
2
b) Fx = ρ (u0 + v) h0 1 − π4 cos α ; δL =
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πh0
4
19
Mecánica de Fluidos - Ingenierı́a de Fluidos (Sep. 2013)
Problema 2.39
La bomba que alimenta una fuente está instalada en un contenedor
impermeable G. Dicha bomba alimenta cuatro tuberı́as de las cuales
salen chorros de agua. La parte superior del contenedor se encuentra
abierta. El nivel de agua en la fuente es constante. Si el diámetro
interno de cada una de las cuatro tuberı́as es 75 mm, ¿Cuál es la fuerza
vertical total ejercida sobre los soportes del contenedor? Suponiendo
flujo ideal en el interior de las tuberı́as, ¿Cuál es la potencia consumida
por la bomba si el rendimiento global es del 90 %?
8m
70º
70º
Bomba
Agua
Contenedor G
Solución:
1o ) Ftotal = −2603,77 N
2o ) Ẇ = 19,2 kW
Problema 2.40
Un cohete es impulsado mediante un chorro de gases calientes resultado de la combustión. Se sabe que por la tobera de salida de 150 cm2
salen los gases, de composición similar al aire, a una velocidad de
500 m/s con una temperatura de 850 K y una presión absoluta de
1,83 × 105 Pa.
u
Z
1o ) Sabiendo que la masa inicial del cohete es de 100 kg, asumiendo
que la presión atmosférica no varı́a con la altura, que el consumo
de combustible se conserva constante y que la fuerza de arrastre
aerodinámico es despreciable, determinar la velocidad de ascenso
del cohete transcurridos 5 segundos de su lanzamiento.
2o ) Sabiendo que los gases quemados son resultado de la combustión
de un combustible de potencia calorı́fica 3,5 MJ/kg y de oxı́geno
lı́quido, los cuales penetran en la cámara de combustión a una
temperatura de 288 K y que el gasto de combustible es 1/3 del
gasto de oxı́geno lı́quido, determinar el flujo de calor que se disipa
a través de las paredes de la cámara de combustión.
Depósito de
oxígeno
líquido
Depósito de
combustible
g
Cámara de
combustión
ps, Ts
As
Datos:
Calor especı́fico del combustible lı́quido a 288K: cs = 1 kJ/kgK.
Calor especı́fico del oxı́geno lı́quido a 288K: cox = 2 kJ/kgK.
Calores especı́ficos del aire a 850K: cp = 1,181 kJ/kgK y cv = 0,894 kJ/kgK.
Solución:
1o ) u = 188 m/s
[
2o ) Q̄ = G cp Ts +
20
ws2
2
−
Hc
4
−
cc +3cox
T
4
]
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II. Ecuaciones generales
Problema 2.41
Por un conducto de diámetro D = 10 cm por el
que circula agua. Todo el conjunto gira con una
velocidad angular Ω = 100 rad/s. En el centro
del conducto hay un núcleo gaseoso con presión
p0 . En una sección del tubo hay una transición,
en la que se contrae el núcleo gaseoso, de manera
que aguas arriba de la misma, en la región 1, éste
tiene un radio R1 = 2 cm, y aguas abajo, en la
región 2, R2 = 1 cm. Se pide:
1
v1
R1
D=2R
2
W
v2
Agua
p0
Gas
R2
p0
A1
A2
1o ) Calcular la distribución de presiones radial p(r), en las regiones 1 y 2 aplicando fluidoestática. Indicar
el sistema de referencia elegido para poder aplicar fluidoestática.
2o ) Calcular las resultantes de las fuerzas de presión en dirección axial en cada una de las dos secciones
A1 y A2 , situadas en las regiones 1 y 2 respectivamente. En el núcleo gaseoso la presión se supone
nula p0 = 0.
3o ) Calcular las velocidades del fluido v1 y v2 en las regiones 1 y 2 respectivamente, supuestas uniforme.
Despreciar la fuerza axial de rozamiento con la pared del tubo. Suponer el proceso estacionario.
4o ) ¿Cómo se modificarı́an los resultados anteriores si la presión en el núcleo gaseoso tomase un valor
p0 = 105 Pa? Suponer que la densidad del gas en cualquier caso es despreciable comparada con la del
agua.
Nota: se puede despreciar la fuerza másica de la gravedad.
Solución:
)
Ω2 ( 2
r − R12 si R1 < r < R
2
)
Ω2 ( 2
p2 (r) = p0 + ρ
r − R22 si R2 < r < R
2
2o ) F1 = 34,6 N , F2 = 45,2 N
1o ) p1 (r) = p0 + ρ
3o ) v1 = 3,585 m/s ; v2 = 3,137 m/s
4o ) F1 = 820,00 N, F2 = 830,60 N
Problema 2.42
Los aerogeneradores extraen energı́a del viento para obtener
potencia. A diferencia con las turbinas hidráulicas en las que el
lı́mite teórico para el rendimiento es del 100 %, los aeroturbinas
u4
presentan un lı́mite máximo próximo al 60 % asumiendo flujo
u1
ideal debido a que no se puede extraer la totalidad de la energı́a
cinética del viento. En la figura está representado el rodete de
D
un aerogenerador de diámetro D. También se ha representado
la superficie de corriente que pasa por la punta del rodete. Se 1
2 3
considera la sección 1 una sección aguas arriba de la turbina en
4
la que la velocidad u1 es la del viento, la sección 4 está aguas
debajo de la turbina y posee una velocidad u4 que puede medirse. Las secciones 2 y 3 se corresponden con la entrada y salida
de la turbina. Asumiendo flujo ideal, se van a determinar las condiciones de máximo rendimiento para
este aerogenerador. Para lo cual se van a seguir los siguientes pasos:
1o ) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2, y entre 3 y 4, obtener el salto de presión entre la
entrada y salida del aerogenerador en función de las energı́as en 1 y 4. Evaluar la fuerza que ejerce el
fluido sobre el aerogenerador a partir de esta diferencia de presiones.
2o ) A partir de la ecuación de conservación de cantidad de movimiento aplicada entre 1 y 4, obtener la
fuerza sobre el aerogenerador. De ambas expresiones para la fuerza, obtener la relación que existe
entre la velocidad u2 = u3 y las velocidades u1 y u4 .
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21
Mecánica de Fluidos - Ingenierı́a de Fluidos (Sep. 2013)
3o ) Definiendo el rendimiento como el porcentaje de potencia del viento que es extraı́do por la máquina,
obtener la velocidad u4 que hace máximo el rendimiento de la máquina y evaluar ese rendimiento.
η=
u2 F
ρ (πD2 U1 /4) U12
3
4o ) Sabiendo que el aire posee una densidad ρ = 1,2 kg/m y que el aerogenerador posee 12 m de diámetro,
determinar la potencia extraı́da asumiendo flujo ideal con rachas de viento de u1 = 20 m/s cuando
aguas abajo de la turbina la velocidad es u4 = 8 m/s
Solución:
)
(
1o ) F = ρ π8 D2 u21 − u24
2 o ) u2 =
u1 +u4
2
3o ) u4 = u1 /3 , η = 16/27
4o ) W = G · ∆p/r
Problema 2.43
Un turbomotor colocado en un túnel de viento recibe aire de densi3
dad 1,2 kg/m a una velocidad de 130 m/s y a la presión de 0,9 bar.
La distribución de velocidad del chorro de entrada es uniforme y
el área transversal 0,1 m2 . A la salida del turbomotor la velocidad
del chorro saliente no es uniforme, sino la dada por:
(
)
r2
u(r) = 2u0 1 − 2
r0
Combustible
donde r0 es el radio de la sección recta del chorro a la salida y
u0 = 600 m/s. La presión media en el chorro saliente es de 1,2 bar
3
y su densidad 0,6 kg/m . Además, el gasto de combustible introducido lateralmente corresponde al 2 %
del gasto de aire que circula. Se pide:
1o ) Mostrar que u0 es la velocidad media del chorro de salida y determinar la velocidad máxima.
2o ) Hallar el empuje del turbomotor (fuerza de propulsión).
3o ) ¿Cuál serı́a el empuje si el chorro saliente hubiese tenido una velocidad uniforme u0 ?
Nota: Las presiones dadas son absolutas. Tomar como presión atmosférica 1 bar. Todos los flujos son
incompresibles.
Solución:
1o ) umax = 1200 m/s
2o ) Rx = −12585,6 N
3o ) Rx = −9403,2 N
22
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II. Ecuaciones generales
Problema 2.44
El tanque mostrado en la figura está abierto a la atmósfera y tiene un
área transversal cuadrada de lado L. La masa del tanque excluido el peso
del agua contenida es M y la altura inicial de agua es h. Inicialmente,
con el depósito en reposo, incide sobre él un chorro de agua de velocidad
uniforme v1 y diámetro D1 . El chorro incide sobre las paredes del tanque
de tal modo que el caudal se divide en dos partes iguales. Se suponen
despreciables las fuerzas de resistencia a la rodadura.
L
v1
h
1o ) Calcular la expresión de la velocidad con que se mueve el tanque en
función del tiempo y su valor para t = 15 s.
2o ) Calcular las fuerzas que ejerce el lı́quido interior sobre las paredes
frontales en t = 15 s y su punto de aplicación.
3o ) Empieza a llover y la lluvia hace que el nivel del depósito suba a
una velocidad dh/dt . Hallar la ecuación diferencial que describe la
evolución de la aceleración del tanque en el tiempo.
Datos: L = 1 m, M = 300 kg, h = 6 m, v1 = 40 m/s, D1 = 10 cm y dh/dt = 1 mm/min
Solución:
1o ) u = v1 −
1
ρA
1
t+
2
M + ρL h v1
, u(t = 15 s) = 17,1 ms
2o ) Fizq = 178359,5 N ; dizq = 2,011 m ; Fder = 174451,3 N ; dder = 1, 988 m
2
3o )
2
7, 58 (40 − u) −
du ρA (v1 − u) − uρL2 dh
(
)dt =
=
t
dh
dt
6300 + 60
M + ρL2 h + dt t
u
60
o
1 ) Determina la evolución temporal del nivel de agua en el depósito 1. El chorro impacta sobre una placa plana que cubre un
orificio con la misma área A en un segundo depósito cuyo nivel
de lı́quido es H2 (Figura a).
3o ) Calcula el mı́nimo nivel de lı́quido del depósito 1, H1 , para
el cual la fuerza del chorro equilibra el deflector evitando la
salida del lı́quido del depósito 2. En el caso de que el chorro
impacta sobre un elemento deflector cónico, como se muestra
en la figura c, sin modificar la velocidad.
1
H2
A
A
2
Figura a
1
A
H2
H01
Ad
A
2
A
2
Figura b
H01
2o ) Encuentra el nivel mı́nimo de lı́quido del depósito 1, H1 , para
el cual la fuerza del chorro equilibra la placa evitando la salida
de agua del depósito 2. En el caso en el que el chorro impacta
sobre un elemento deflector que invierte completamente el sentido del flujo sin modificar la velocidad tal y como se muestra
en la figura b.
Ad
Ad
1
H2
El agua del depósito 1 de área Ad y grandes dimensiones, descarga
sin pérdidas a través del orificio de área A. En el instante inicial,
el nivel del agua es H01 .
H01
Problema 2.45
A
q/2
Figura c
o
4 ) Calcula el semiángulo de cono para que la fuerza del chorro sobre el deflector evite la salida de lı́quido del depósito 2, cuando
ambos niveles coinciden, H1 = H2 .
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23
Mecánica de Fluidos - Ingenierı́a de Fluidos (Sep. 2013)
Un depósito D1 de sección cuadrada de 1 m de lado esta lleno de agua hasta un altura H0 = 10 m
y descarga a través del un tubo T1 de sección circular, longitud L = 5 m, diámetro D = 0,01 m y
pérdida de carga por disipación viscosa del 20 %
de la energı́a cinética en (1).
H0 = 10
Problema 2.46
A
L=5m
T1
D1
30º
El lı́quido que sale por (2) es deflectado por una
(1)
placa guı́a ABC en reposo, que divide el caudal incidente en dos partes iguales. Como consecuencia
de los efectos disipativos, el flujo saliente desviado
por la placa ABC posee una energı́a cinética un
10 % menor que la que poseı́a el flujo en la sección
(2). Determinar, despreciando las fuerzas másicas
alrededor de la placa ABC y suponiendo flujos uniformes en todas las secciones:
B
(2)
30º
C
1o ) La velocidad del flujo en la sección (2).
2o ) La fuerza realizada por el flujo sobre la placa ABC
3o ) El tiempo que tarda en vaciarse la mitad del depósito
Solución:
1o ) v2 = 12,79 m/s
2o ) F⃗ = (12,82⃗i + 0⃗j) N
3o ) t = 5830 s
Problema 2.47 *
Un tipo especial de turbina tiene forma de aspersor como el
indicado en la figura. En su funcionamiento la turbina gira en
un plano horizontal a un régimen de giro ω = 20 rad/s. El
radio de la turbina es de 0,5 m. El agua entra en la turbina a
través de un tubo vertical de área A = 10 cm2 , coaxial al eje
de rotación de la turbina con un caudal Q = 0,1 m3 /s y una
presión manométrica p1 = 1 bar. Determinar:
r
w
q=60º
pa
Z
o
1 ) La fuerza vertical que el agua ejerce sobre la turbina
A
o
2 ) La potencia que es capaz de producir la turbina
3o ) El incremento de temperatura que se produce en el agua a
su paso por la turbina
g
A
Q, p1
Con el fin de optimizar el sistema de generación de potencia, es posible modificar el régimen de giro de
la turbina empleando para ello un generador apropiado. Determinar:
4o ) El régimen de giro con el cual se obtiene la máxima potencia en la turbina.
5o ) La máxima potencia que es capaz de dar la turbina.
Solución:
1o ) Fy′ = 10,1 kN
2o ) W = 33,301 kW
3o ) T = 0,933 K
4o ) ωmáx = 43,3 rad/s
5o ) Wmáx = 46,875 kW
24
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
II. Ecuaciones generales
Problema 2.48
Un flujo másico G = 10 kg/s de aire circula por una tuberı́a
circular que sufre un cambio de sentido de 180o con una reducción de la sección transversal desde un diámetro D1 = 0,3 m
en la entrada hasta uno D2 = 0,2 m en la salida. Las presiones absolutas a la entrada y a la salida son respectivamente
p1 = 1,45 bares y p2 = 1,4 bares. El fluido entra a una temperatura T1 = 295 K y recibe una potencia calorı́fica de 900 kW en
el tramo entre la entrada y la salida del conducto. Asumiendo
que los perfiles de velocidades son uniformes a la entrada y a
la salida del conducto, determinar:
p2 = 1,4 bares
D2 = 0,2 m
Q = 900 kW
T1 = 295 K
p1 = 1,45 bares
D1 = 0,3 m
patm
1o ) La temperatura y la densidad del fluido a la salida.
2o ) La fuerza que realiza el fluido sobre el conducto.
La hipótesis de perfil uniforme de velocidades no es muy adecuada. Sabiendo que los perfiles de velocidad
caracterı́sticos de flujos completamente desarrollados son:
[
( )2 ]
v = vmáx 1 − rr0
[
( )]1/6
v = vmáx 1 − rr0
para régimen laminar
para régimen turbulento
Determinar:
4o ) El número de Reynolds y el régimen del flujo.
5o ) La expresión analı́tica del perfil de velocidad a la entrada del conducto.
6o ) La temperatura del aire a la salida del conducto asumiendo el perfil de velocidades calculado en el
apartado anterior y temperatura uniforme en cada sección transversal.
Solución:
1o ) T2 = 360,61 K ; ρ2 = 1,35 kg/m3
2o ) Fx′ = 7613,3 N
3o ) Re1 = 4,24 × 106 ; Re2 = 6,3 × 106
)]1/6
[
(
r
4o ) v = 104,32 1 − 0,15
5o ) T2 = 358,97 K
Problema 2.49
Un depósito cerrado de sección transversal A1 =
1 m2 está sometido a una presión manométrica
p1m = 1 bar y descarga agua a través de un orificio
inferior de área A2 = 10 cm2 . El chorro resultante
choca sin pérdidas contra el centro de un álabe
con forma de casquete semiesférico. Dicho álabe
está rı́gidamente unido a un carro de base cuadrada de lado L = 20 cm, que está inicialmente en
reposo y puede rodar sin rozamiento impulsado
por el chorro. La masa del carro es m = 50 kg y
está lleno con 100 litros de agua.
p1m
pa = 1 bar (absoluta)
g
L = 20 cm
H0 = 3 m
A1
v2
X
A2 = 10 cm2
Determinar en el instante inicial:
1o ) La velocidad v2 del chorro en la sección de salida del depósito
2o ) La aceleración que adquiere el carro
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
25
Mecánica de Fluidos - Ingenierı́a de Fluidos (Sep. 2013)
3o ) La presión en el borde inferior izquierdo del carro (punto X), suponiendo que el agua no desborda.
Determinar también:
4o ) El tiempo que tarda en disminuir la altura de agua en el depósito de la izquierda hasta la mitad,
suponiendo que la presión p1m de la cámara de aire se mantiene constante.
Solución:
1o ) v2 = 16,09 m/s
2o ) a = 3,45 m/s2
3o ) px = 24870,15 N/m2
4o ) t = 96 s
Problema 2.50 *
Un depósito cilı́ndrico cerrado, de radio R, altura H,
parcialmente lleno de agua se vacı́a a través de cuatro
orificios tangenciales de diámetro d situados en su base. Debido al momento ejercido por el agua al salir del
depósito éste gira entorno al eje z a Ω = cte.
En un instante t0 el volumen de agua en el depósito es
V0 , la temperatura dentro del depósito T0 , la presión p0
y la velocidad angular Ω. Calcular en ese instante:
z
C
p
H
R
fd
1o ) el caudal total de agua QT que sale del depósito.
Vista superior
2o ) el par resistente (se aconseja tomar un sistema de
referencia fijo a tierra).
Con el objeto de mantener el caudal de salida QT y la velocidad de giro constantes, se introduce aire en
el depósito mediante un compresor C. Determinar:
3o ) La presión del aire en el depósito cuando el volumen de agua se reduce a la mitad.
4o ) La masa de aire proporcionada por el compresor desde el instante t0 hasta que el volumen de agua
se reduce a la mitad.
Supóngase que la temperatura del aire dentro del depósito permanece constante. R = 0,25 m; H = 1 m;
d = 2 cm; V0 = 0,15 m3 ; T0 = 20 o C; p0 = 50 Pa (manométrica); Ω = 5 rad s−1
Solución:
1o ) QT = 5,0060 l/s
2o ) T = 2,639 N/m
3o ) p = 3793 Pa
Problema 2.51
Se pretende estudiar los efectos de la lluvia sobre un tejado
inclinado un ángulo θ sobre la horizontal con longitud L y envergadura b. La lluvia descarga un gasto másico por unidad
de área horizontal ṁ(kg s−1 m−2 ) teniendo las gotas una velocidad vertical V . Una vez que se alcanza el estado estacionario,
el agua fluye sobre el tejado formando una capa de espesor h(x)
y con una velocidad paralela al tejado u(x) siendo x la distancia
al vértice superior del tejado. Se asume que las fuerzas de fricción con el tejado son prácticamente despreciables. Haciendo
uso de las ecuaciones integrales de conservación y considerando
los datos ρ, θ, ṁ, V, g, L y b, se pide:
y
g
V
x
h(x)
u(x)
L
Supuesta conocida h(x), calcular en función de ésta:
1o ) la fuerza que el tejado debe soportar en su dirección perpendicular, y
26
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
II. Ecuaciones generales
2o ) la velocidad u(x).
Considerando un volumen de control entre las secciones x y x + dx. calcular.
3o ) La ecuación diferencial que debe verificar el espesor de la capa de agua h(x).
Asumiendo ahora que la lluvia es tan intensa que el espesor de la capa de agua se hace independiente de
la gravedad, obtener:
4o ) el criterio para que la hipótesis sea válida.
5o ) las expresiones de h(x) y u(x) comentando los resultados alcanzados.
Solución:
1o ) Fy′ = −ṁ L b V cos2 θ − ρ g cos θ b
o
2 ) u(x) =
x ṁ cos θ
ρ h(x)
3o )
ṁ2 cos2 θ b d
ρ
dx
4o )
ṁ V cos θ
ρ g h(x)
[
x2
h(x)
∫L
0
h(x) dx
]
= ṁ V b cos θ sin θ + ρ g sin θ h(x) b
≫1
o
5 ) V sen θ
Problema 2.52 *
Un aspersor consta de un único brazo de longitud R y sección A. La mitad del caudal entrante sale
uniformemente por la ranura de espesor e y longitud R/3 y la otra mitad por la boquilla del extremo de
área Ab y girada un ángulo β respecto del brazo.
1o ) Calcular el par que habrı́a que ejercer sobre el aspersor para que permanezca en reposo.
2o ) Dejando girar libremente el aspersor y suponiendo despreciable el par de rozamiento, determinar la
velocidad de giro cuando el régimen se hace permanente.
Z
Q/2
Y
R
R/3
Ab
A
X
b
X
e
R/3
Q
Solución:
1o ) T = ρ Q2
2o ) ω =
27 Q
68 R2
(
R sen β
4Ab
(
3
2e
−
−
3
8e
Vista superior
)
R sen β
Ab
⃗k
)
Problema 2.53
La figura muestra los perfiles de velocidad horizontal y temperatura del aire en el entorno de un cilindro
de longitud L. El flujo incide sobre el cilindro con una velocidad U0 y una temperatura T0 . El cilindro
es calentado con una potencia Q̇, resultando que a una cierta distancia aguas abajo del cilindro, el perfil
de velocidad muestra una variación lineal entre 0 y U0 y el perfil de temperatura evidencia que el fluido
interior se ha calentado hasta una temperatura TS mientras que el fluido de la parte exterior no ha
sufrido calentamiento y se conserva a la temperatura ambiente T0 . La presión lejos del cilindro puede ser
considerada constante e igual a la ambiente. El flujo es incompresible y de densidad uniforme.
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
27
Mecánica de Fluidos - Ingenierı́a de Fluidos (Sep. 2013)
U0
U0
U0 T0
T0
TS
T0
d
6d
4d
U0 T0
Asumiendo movimiento bidimensional, determinar las siguientes variables:
1o ) El gasto másico que atraviesa las superficies horizontales del volumen de control
2o ) La fuerza necesaria para mantener el cilindro en su posición
3o ) La temperatura Ts del perfil a la salida sabiendo que el cilindro es calentado con una potencia Q̇.
Problema 2.54
Un carrito, como el mostrado en la figura, contiene un lı́quido de
densidad ρ = 103 kg/m3 . La masa total (estructura sólida + fluido)
es mT = mc + m(t) donde mc = 10 kg es la masa de la estructura
sólida y m(t) es la masa del fluido. En el instante de tiempo inicial,
t = 0 s, la masa total es mT 0 = mc + m(0) donde m(0) = 1000 kg.
Up
Ap
Patm
H(t)
Un desplazamiento lento del pistón cuadrado de área Ap = 1 m2 ,
con velocidad Up = 5 mm/s, genera un flujo de fluido constante a
través de la tobera de área de salida As = 10−4 m2 . El flujo saliente
produce un empuje que impulsa el carrito con una velocidad Vc (t).
Asumiendo que las fuerzas de arrastre aerodinámico y fricción con
el pavimento son despreciables y que el ambiente está a presión atmosférica Patm :
AS
Y
X
1o ) Obtener la altura del nivel de fluido H(t) en función de los parámetros indicados en el enunciado:
mc , m(0), ρ, Ap , As , Up y particularizar para los valores numéricos indicados.
2o ) Calcular la función temporal de la velocidad Vc (t) en función de los mismos parámetros y particularizar
para los valores numéricos indicados.
3o ) Para el instante de tiempo t = 150 s, la fuerza externa que se realiza sobre el pistón es 250 N. Calcular
la distribución de la presión P (x, y) de acuerdo con los ejes de la figura, en el interior del depósito
sabiendo que el peso del pistón es despreciable. Tomar el origen (0, 0) en el fondo del depósito en la
sección de salida.
Solución:
1o ) H =
m(0)
− Up t
ρAp
2o ) Vc =
Up Ap
m0
1010
ln
; Vc = 50 ln
As
mc + m(0) − ρUp Ap t
1010 − 5t
3o ) P (x, y) = 3180, 5 − 9800y + 961x
28
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
II. Ecuaciones generales
Problema 2.55
Una tobera de longitud L = 10 cm, diámetro de entrada De = 50 cm, salida DS = 10 cm y 10 kg de
masa, genera un chorro vertical ascendente de agua
que se supone evoluciona idealmente en aire en reposo. La presión que mide el manómetro es de Pm =
500000 Pa, estimándose la energı́a disipada en la tobera del 10 % de la energı́a cinética en la salida. La
tobera está sujeta al extremo de la tuberı́a con 6 tornillos.
Z
Ds
L
Q
Pm
De
1o ) Calcular la fuerza que debe soportar cada tornillo.
2o ) Calcular la altura máxima que alcanzará el chorro.
3o ) Si este chorro se hace incidir de forma axilsimétrica sobre un deflector circular de diámetro Df = 50cm,
masa 200kg y ángulo de deflexión θ = 20o C, ¿A qué altura Z0 permanecerá suspendido el deflector?
4o ) Indicar que información adicional serı́a necesaria para resolver el apartado anterior en el caso de que
el chorro fuera de aire.
Solución:
1o ) F = −15 202 N
2o ) h = 46, 37 m
3o ) z0 = 38, 30 m
Problema 2.56
Un turbomotor se encuentra colocado en un túnel de
viento como indica la figura, aspirando aire por la
superficie (1). Las distribuciones de velocidad en las
secciones (1) y (2) son uniformes, siendo el gasto de
combustible introducido lateralmente el 3 % del flujo másico de aire introducido en el turbomotor. Las
pérdidas por conducción se corresponden con el 2 %
del calor generado por la combustión. Asumiendo que
la composición de los gases de salida es aproximadamente la del aire, calcule:
Y
(1)
X
T=288 K
P=0.9 bar
V=150m/s
Cp=1006 J/Kg
Combustible:
T=293 K
C=1400 J/Kg K
r=650 Kg/m3
(2)
Patm=1 bar
T=950 K
P=1.2 bar
V=550m/s
Cp=1093 J/Kg K
1o ) Los gastos másicos en (1), (2) y el gasto másico de combustible
2o ) La fuerza ejercida por el turbomotor sobre el soporte de fijación
3o ) El poder calorı́fico del combustible
Datos: Constante de los gases para el aire 287,68 Jkg−1 K−1 ; diámetro del inyector de combustible 2o cm;
área de la superficie (1) 0,15 m2
Solución:
1o ) G1 = 24, 44 kg/s ; G2 = 25, 17 kg/s
2o ) F = −13 764, 58 N
3o ) △Hc = 3, 06 × 107 J/kg
UVa - Dpto. I.E.F. - Mecánica de Fluidos
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