La lección de hoy es sobre Simplificar Expresiones por

LA.1.A1.6-Brenda F. James- Simplify Expressions by Factoring: Difference of Squares, Perfect squares Trinomial.
La lección de hoy es sobre Simplificar Expresiones por Factorización: la diferencia de cuadrados,
y trinomios con cuadrados perfecto. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante
LA.1.A1.6.
Veremos algunas reglas que necesitamos aprender en orden de simplificar estas expresiones
algebraicas.
La primera regla de factorización es:
1. La diferencia de cuadrados: como el (a2 – b2). ¿Cómo factorizas? Siempre se factoriza
en dos partes con los signos diferentes +, -, sería algo como, (a + b) (a – b) la a2 seria a
por a por a, y la b2 seria b por b. Notas los signos unos es positivo y el otro es negativo.
Serian opuestos, no importa en que orden, aquí el positivo es primero y el negativo de
segundo, no importa solo necesitas tener el a + b y a – b es como haces la diferencia
de cuadrados. Ahora hablaremos de,
2. Factorizar Trinomio Cuadrado Perfecto: un ejemplo de este será (x2 ± 6x + 9). ¿Cómo
sabes que es un trinomio cuadrado perfecto? Lo que vemos es que el coeficiente de x
es uno, miras el numero del centro, en este caso es 6. Este número lo divides en dos al
cuadrado y tendrás como resultado el último numero que sería un trinomio cuadrado
perfecto. Veremos seis dividido entre dos seria 3 y tres al cuadrado es 9. Quiere decir
que es un trinomio cuadrado perfecto. ¿Cómo factorizamos este? ¿Qué haremos?
Seria dividirlo entre dos factores como (x ± √9) (x ±√9) estos dos términos, la x2 seria
x por x. Y si es trinomio cuadrado perfecto para la constante tendrías que hacer √ del
último número que es √9. Ahora tendrás (x ±3) (x±3), si tendrías un -6x en el medio
entonces las dos respuestas serian x – 3 y x – 3 entonces a si es que estas reglas
trabajan, y las necesitamos aprender para simplificar estos problemas Veremos
algunos ejemplos.
Ejemplo # 1 dice: Simplifica la expresión algebraica por factorización una diferencia de
cuadrados o un trinomio cuadrado perfecto. Las dos reglas que hemos aprendido necesitamos
recordarlas para desarrollar estos ejemplos:
(x2 - 9)(x2 + 10x + 25)
X2 + 8x + 15
Primeramente veremos él:
(x2 – 9) ¿Cómo lo factorizamos? Es la diferencia del cuadrado perfecto seria (x -3) y (x + 3)
recuerda el x2 será x por x, signos opuestos y la raíz de 9 que será 3 y 3.
Ahora factoriza el:
(x2 + 10x + 25) necesitamos el 10 y lo dividimos entre 2, nos dará 5 y la √5 seria 25. Entonces
este es un trinomio cuadrado perfecto. Quiere decir que factoriza exactamente en el mismo
dos veces. Seria, (x + 5) y (x + 5), es como este factoriza.
Ahora el denominador:
X2 + 8x + 15 ¿Cómo factorizas este? Este no es un trinomio cuadrado perfecto, y no es la
diferencia de cuadrados. ¿Cómo lo factorizas? Aquí lo haces por agrupación, o por el
cuadrado, este es un trinomio regular que se puede Factorizar. Seria, (x +3) (x + 5).
Ahora todo factorizado tendremos que saber que cada uno se multiplica entre ellos. Cada
factor igual en el numerador y el denominador se cancelan.
(x – 3)(x + 3)(x + 5)(x + 5)
(x + 3)(x + 5)
Nada nos queda en el denominador solo uno, veremos el numerador que serian:
(x - 3)(x + 5) esta es nuestra respuesta simplificada para nuestra expresión (x-3) (x+5).
Ejemplo #2: Para el ejemplo dos de nuevo queremos simplificar la expresión algebraica.
9x2 – y2
9x2 – 6xy + y2
¿Cómo lo haremos?
9x2 es un cuadrado perfecto (3x) (3x) y la y2 es un cuadrado perfecto y . y.
¿Cómo factorizas nuestro cuadrado perfecto?
Seria, (3x – y) (3x + y)
Ahora el denominador, cuál sería la respuesta, este sería un trinomio cuadrado perfecto para el
numero que nos preocupa es enfrente el x2 que seria 9. Veremos el número del medio para
ver si es un cuadrado perfecto o un trinomio. Seis dividido entre dos es igual a tres y la raíz
cuadrada de tres es nueve. Este es el coeficiente aparte del uno de la y2. Este es un trinomio
cuadrado perfecto. Se factoriza en el mismo 2 veces, seria 2 términos con negativos, por que el
numero del medio es (3x – y) (3x – y).
Ahora nos preguntaremos si hay factores en el numerador y denominador que son los mismos,
y en este caso si los hay:
(3x – y)(3x + y)
(3x – y)(3x – y)
se cancelan y nos queda 3x + y en el numerador y
3x – y en el denominador. Esta es la respuesta
simplificada para nuestra expresión.
Ejemplo # 3: Para nuestro ejemplo tres tenemos,
4x2 + 28x + 49
4x2 – 49
¿Podemos Factorizar estos? Veremos un trinomio primero. Este es un poquito más difícil,
porque tenemos números enfrente del cuadrado y en la constante. Veremos si lo
Trabajaremos con la raíz cuadrada del primero y del último término, veremos:
Los dos signos son positivos y me da (2x + 7) (2x + 7) veremos y da el 28 x, que sería el siete por
dos que es catorce, y de nuevo siete por dos que es catorce. Nos dará 14 + 14 es igual a 28,
entonces si trabaja este es un trinomio cuadrado perfecto.
Ahora veremos el denominador es la diferencia del cuadrado perfecto. 4x2 será 2x y 2x. El 49
será 7 por 7 y este si trabaja, seria (2x + 7) (2x – 7) uno positivo y el otro negativo, esta es la
respuesta para el denominador.
Ahora, hay algún otro factor en el numerador o denominador que son los mismos. En este
caso, uno de los (2x + 7) en el numerador se cancela con el otro en el denominador.
(2x + 7)(2x + 7)
(2x + 7)(2x – 7)
Pero tenemos otro 2x +7 en el numerador y 2x – 7 en el denominador.
Notas esta es nuestra respuesta final. Algunas personas pensaran en cancelar estos, pero solo
necesitamos cancelar los factores iguales.
A si es que usas la diferencia de cuadrados y el trinomio cuadrado perfecto para simplificar
fracciones algebraicas.